河北省衡水中学2019届高三下学期大联考卷Ⅰ 文科数学（ PDF版含答案）

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姓名 准考证号 绝密 ★ 启用前 文科数学试题 第 1 页(共 4 页) 文科数学试题 第 2 页(共 4 页) 2019年全国高三统一联合考试 文科数学 本试卷4页,23小题,满分150分。考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案用 0.5mm 黑色笔迹 签字笔写在答题卡上。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的 . 1. 设集合 A={-3,-1,0,1},B={x|(x+2)(x-1)<0},则 A∩B= A.{x|-20,且λ≠1),则点P 的轨迹就是圆 . 事实上,互换该定理 中的部分题设和结论,命题依然成立 . 已知点 M(2,0),点P 为圆O:x2 +y2 =16 上的点,若存在 x 轴上的定点 N(t,0)(t>4)和常数λ,对满足已知条件的点P 均有 |PM|=λ|PN|,则λ= A.1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 文科数学试题 第 3 页(共 4 页) 文科数学试题 第 4 页(共 4 页) 12. 已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 内 接 于 半 球 O,且 底 面 ABCD 落 在 半 球 的 底 面 上,底 面 A1B1C1D1 的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为 3,AB=BC,则该长方体体积的 最大值为 A.12 3 B.6 6 C.48 D.72二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分 . 13. 已知向量a=(-2,1),b=(3,2),若a⊥(a+kb),则k= . 14. 近几年来移动支付越来越普遍,不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同 . 某学校兴趣小 组为了了解移动支付在大众中的熟知度,要对 15—75 岁的人群进行随机抽样调查,可供选 择的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样,则最合适的抽样方法是 . 15. 设实数x,y 满足约束条件 3x-y-2≥0, x-3y+2≤0, x+y-6≤0, ì î í ïï ïï 则z=|3x+4y+3| 5 的最大值为 . 16. 设函数f(x)=x-1x ,若对于 ∀x∈ [1,3 2 ] ,f(ax-1)>f(2)恒成立,则实数a 的取值范围 是 .三、解答题:共70分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第17~21题为必考题,每个试 题考生都必须作答 . 第22,23题为选考题,考生根据要求作答 .(一)必考题:共60分 . 17.(12 分) 已知等差数列{an }是递增数列,且a1+a4=0,a2a3=-1. (1)求数列{an }的通项公式; (2)设bn =3 an +4 ,数列{bn }的前n 项和为Tn ,是否存在常数λ,使得λTn -bn+1 恒为定值? 若 存在,求出λ 的值;若不存在,请说明理由 . 18.(12 分) 2014 年 1 月 25 日,中共中央办公厅、国务院办公厅专门发布了《关于创新机制扎实推进农村 扶贫开发工作的意见》,对我国扶贫开发工作做出战略性创新部署,提出建立精准扶贫工作 机制 . 某乡镇根据中央文件精神,在 2014 年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有 473户,结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施,从 2015 年至 2018 年该乡镇每年脱贫户数见 下表: 年份 2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4 脱贫户数y 55 69 71 85 (1)根据 2015—2018 年的数据,求出y 关于x 的线性回归方程^y= ^bx+ ^a; (2)利用(1)中求出的线性回归方程,试估计到 2020 年底该乡镇的 473 户贫困户能否全部 脱贫 . 附: ^b= ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 x2i -nx2 , ^a=y- ^bx. 19.(12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为 直角梯形,AB∥ DC,∠ABC=90°,∠PAB=120°,DC=PC=2,PA=AB= BC=1. (1)证明:平面PAB⊥ 平面PBC; (2)求四棱锥P-ABCD 的体积 . 20.(12 分) 已知椭圆E: x2 a2 + y2 b2 =1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,F1,F2 分别为E 的左、右焦点,过E 的右 焦点F2 作x 轴的垂线交E 于A,B 两点,△F1AB 的面积为 2. (1)求椭圆E 的方程; (2)是否存在与x 轴不垂直的直线l 与E 交于C,D 两点,且弦CD 的垂直平分线过E 的右 焦点F2? 若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由 . 21.(12 分) 已知函数f(x)=xlnx. (1)求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程; (2)当a>1 时,求证:存在c∈ (0,1a ) ,使得对任意的x∈(c,1),恒有f(x)>ax(x-1). (二)选考题:共10分 . 请考生在第22,23题中任选一题作答 . 如果多做,则按所做的第一题计分, 作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑 . 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分) 以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 M 的极坐标为(2,β),曲线C 的极坐 标方程为ρ=2sinθ,θ∈[0,2π). (1)求曲线C 的直角坐标方程; (2)过极点O 和点M 的直线与曲线C 相交所得弦长为 3,求β 的值及此时直线OM 将曲线 C 分成的两段弧长之比 . 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分) 已知函数f(x)=|x+a|+|x-2a|(a∈R),g(x)=|x|+1. (1)当a=1 时,在下面的平面直角坐标系内作出函数f(x)与g(x)的图像,并由图写出不等 式f(x)>g(x)的解集; (2)若对任意的x1∈R都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a 的取值范围 . 2019 年全国高三统一联合考试 ·文科数学· 参考答案及解析 2019年全国高三统一联合考试·文科数学 一、选择题 1.B 【解析】B={x|-2b,a>c,所 以 2a>b+c,与已知a=1,b+c=2 矛盾,所以 A= π 3 . 所 以由余弦定理得a2 =b2 +c2 -2bccosA=(b+c)2 - 3bc=4-3bc=1,解得bc=1,所以S△ABC = 1 2 bcsinA= 1 2 ×1× 3 2 = 3 4 . 选 D. 11.B 【解析】如 图,由 题 意 圆 上 的 任 意 一 点 P 均 满 足 |PM|=λ|PN|,可 知 A,B 两 点 也 满 足 该 关 系 式 . 由 A(-4,0),B(4,0),M (2,0),N (t,0),得λ=|AM| |AN|= |BM| |BN|= 6 4+t= 2t-4 ,解得t=8,λ= 1 2 . 选 B. 12.A 【解析】如图,设 AB=BC=a,CC1 =h,由长方体 内接于半球,得 ( 2 2 a) 2 +h2 =9,则h2 =9- a2 2 . 令t= a2 2 ,则a2 =2t(00,f(t)单调递增;当t∈(6,9)时, f'(t)<0,f(t)单调递减 . 所以当t=6 时,f(t)最大,即 长方体的体积V 最大,此时a=2 3,V=12 3. 选 A. ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ·1· ·文科数学· 参考答案及解析 二、填空题 13.5 4 【解析】因为a⊥(a+kb),所以a·(a+kb)=a2 + ka·b=0. 又a=(-2,1),b=(3,2),所以 5+k(-6+ 2)=0,解得k= 5 4 . 14. 分层抽样 【解析】 不同年龄 段 的 人 对 移 动 支 付 的 熟 知程度不同,因此应该按照年龄进行分层抽样 .15.5 【解析】 所求目标函数的值可转 化 为 可 行 域(包 括 边界)上的点到直线l:3x+4y+3=0 的距离,显然点 A(2,4)到直线l:3x+4y+3=0 的 距 离 最 大,且 最 大 值为|3×2+4×4+3| 5 =5. 16.( 1 2 ,2 3 ) ∪(3,+∞) 【解析】f(x)=x- 1x 为奇函 数,且在区间(-∞,0),(0,+∞)内均为增函数, 因为f - 1 2 ( ) =f(2), 所以ax-1>2 或 - 1 2 3x 或 1 2x3 或 1 2 0.{ 2 分…………………… 解得a1=-3,d=2. 4 分……………………………… 所以数列{an }的通项公式为an =2n-5(n∈N* ). 5 分……………………………………………………… (2)bn =3 an +4 =3 2n-1 =3×3 2(n-1) ,所 以 数 列 {bn }是 以 b1=3 为首项,q=9 为公比的等比数列 . 所以 Tn =3(1-9 n ) 1-9 = 3 8 (9 n -1). 8 分……………… 故λTn -bn+1=3λ 8 (9 n -1)-3×3 2n =3 λ 8 -1( )9 n -3λ 8 . 10 分…………… 所以当λ 8 -1=0,即λ=8 时,λTn -bn+1 恒为定值 -3. 12 分…………………………………………………… 18. 解:(1)因为x=1+2+3+4 4 =2.5, y=55+69+71+85 4 =70, 2 分……………………… ∑ 4 i=1 xiyi =1×55+2×69+3×71+4×85=746, ∑ 4 i=1 x2i =1+4+9+16=30, 4 分………………… 所以^b=746-4×70×2.5 30-4×2.5 2 =9.2, ^a=y- ^bx=70-9.2×2.5=47. 7 分………………… 因此,所求线性回归方程为^y=9.2x+47. 8 分……… (2)根据(1)中求得的线性回归方程可估算出 2019 年脱贫户数: ^y1=9.2×5+47=93, 2020 年脱贫户数: ^y2=9.2×6+47≈102. 10 分……… 因为 2015—2018 年 实 际 脱 贫 280 户,2019 年 和 2020年估计共脱贫 195 户, 所以 280+195=475>473,即 到 2020 年 底 该 乡 镇 的 473 户贫困户估计能够全部脱贫. 12 分……………… 19.(1)证 明:在 △PAB 中,由 PA =AB =1,∠PAB = 120°,得 PB= 3. 因为 PC =2,BC =1,PB = 3,所 以 PB2 +BC2 = PC2,即BC⊥PB. 2 分………………………………… 因为 ∠ABC=90°,所以 BC⊥AB. 因为 PB∩AB=B, 所以BC⊥ 平面 PAB. 4 分…………………………… 又BC⊂ 平面 PBC,所以平面 PAB⊥ 平面 PBC. 6 分……………………………………………………… (2)解:在平面 PAB 内,过点 P 作PE⊥AB,交 BA 的 延长线于点E. 如图,由(1)知BC⊥ 平面 PAB, 因为BC⊂ 平面 ABCD,所以平面 PAB⊥ 平面 ABCD.因为 PE⊂ 平面 PAB,平面 PAB∩ 平面 ABCD=AB, PE⊥AB,所以 PE⊥ 平面 ABCD. 9 分……………… 因为在 Rt△PEA 中,PA=1,∠PAE=60°, 所以 PE= 3 2 . 10 分…………………………………… 因为底面ABCD 是直角梯形,所以VP-ABCD = 1 3 × 1 2 × (1+2)×1× 3 2 = 3 4 . 12 分…………………………… 20. 解:(1)设 F1 (-c,0),F2 (c,0),S△F 1 AB = 1 2 ×2c× |AB|=c·2b2 a = 2,而c a = 2 2 , 2 分………………… ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ·2· 2019 年全国高三统一联合考试 ·文科数学· 则b2 =1,a2 =2, 4 分………………………………… 因此椭圆E 的方程为x2 2 +y2 =1. 5 分……………… (2)假设存在 直 线l 满 足 条 件,设 直 线l:y=kx+m, C(x1 ,y1),D(x2 ,y2),线 段 CD 的 中 点 M (x0 ,y0 ).将直线l 的方程代入椭圆方程得(1+2k2)x2 +4kmx+ 2m2 -2=0,则 2x0 =x1 +x2 = - 4km 1+2k2,所 以 x0 = - 2km 1+2k2 ,又 y0 =kx0 + m,所 以 y0 = m 1+2k2 ,即 M - 2km 1+2k2 , m 1+2k2( ) . 7 分………………………… 若CD 的 垂 直 平 分 线 过 右 焦 点 F2 (1,0),则 k · m 1+2k2 - 2km 1+2k2 -1 =-1,所以 1+2k2 =-km, 9 分……… 即x0=- 2km 1+2k2 =2,与x0∈(- 2,2)矛盾 . 故不存在这样的直线l满足条件 . 12 分……………… 21.(1)解:由f(x)=xlnx,得f'(x)=lnx+1, 1 分… 所以f(1)=0,f'(1)=1, 3 分………………………… 故所求切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0. 4 分……………………………………………………… (2)证明:由f(x)>ax(x-1),得xlnx>ax(x-1), 考虑到x>0,可得 lnx>a(x-1). 设g(x)=lnx -a(x -1),则 g'(x)= 1x -a= - a x- 1a( ) x . 当x∈ 0,1a( ) 时,g'(x)>0;当 x ∈ 1a ,+∞( ) 时, g'(x)<0. 所 以 g (x)在 区 间 0,1a( ) 内 是 增 函 数,在 区 间 1a ,+∞( ) 内是减函数 . 6 分………………………… 一方面,由g(x)在区间 1a ,1( ) 内是减函数及g(1)= 0,得当x∈ 1a ,1( ) 时,g(x)>0. ① 8 分…………… 另一方面,g(e -a )=lne -a -a(e -a -1)=-ae -a <0,则 存在x0∈ e -a ,1a( ) ,即x0∈ 0,1a( ) ,使得g(x0)=0. 10 分…………………………………………………… 又g(x)在区间 x0,1a( ) 内是增函数, 所以当x∈ x0,1a( ) 时,g(x)>0. ② 由 ①②,存在c∈ x0,1a( ) ,使g(x)>0 恒成立, 即存 在c∈ 0,1a( ) ,使 得 对 任 意 的 x∈ (c,1),恒 有 f(x)>ax(x-1). 12 分……………………………… 22. 解:(1)由ρ=2sinθ 得ρ2 =2ρsinθ,即x2 +y2 -2y= 0,即得x2 +(y-1)2 =1.所以曲线C 的直角坐标方程为x2 +(y-1)2 =1. 4 分……………………………………………………… (2)因为过极点O 与点 M 的直线方程为θ=β, 又极点O 既在直线OM 上又在曲线C 上, 所以直线与曲线C 相交所得弦长为 3 时即得ρ= 3, 所以在ρ=2sinβ 中,令ρ= 3 得 sinβ= 3 2 , 所以β= π 3 ,或β=2π 3 . 7 分…………………………… 当β= π 3 时,因为曲线C 的圆心的极坐标为C(1,π 2 ) , 所以 ∠MCO=2π 3 ,所以曲线C 被分成的两段弧长之比 为 2∶1 或 1∶2; 9 分………………………………… 同理,当β=2π 3 时,由对称性可得曲线 C 被分成的两段 弧长之比也为 2∶1 或 1∶2.因此,直线OM 将曲线C 分成的两段弧长之比为 2∶1或 1∶2. 10 分…………………………………………… 23. 解:(1)当a=1 时,f(x)=|x+1|+|x-2|= -2x+1,x<-1, 3,-1≤x≤2, 2x-1,x>2.{ 2 分……………………………… g(x)=|x|+1= x+1,x≥0, -x+1,x<0.{ 3 分……………… 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示 . 从图中可知f(x)>g(x)的解集为{x|x∈R,且x≠2}. 5 分……………………………………………………… (2)因为对任意的x1 ∈R,都有x2 ∈R,使 得 f(x1)= g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}⊆{y|y=g(x)}. 6 分…………… 又因为f(x)=|x+a|+|x-2a|≥|x+a-(x-2a)|= 3|a|,g(x)=|x|+1≥1, 8 分………………………… 所以 3|a|≥1,即得a≥ 1 3 或a≤- 1 3 . 所以实数a 的取值范围为 -∞,- 1 3 ( ] ∪ 1 3 ,+∞[ ) . 10 分…………………………………………………… ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ै ·3·