广西省桂林市龙胜中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷

广西省桂林市龙胜中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试卷

‎2019—2020学年第一学期半期考 高三（文科）数学试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。)‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎3.“在内”是“在内单调递减”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4.已知在平面直角坐标系中，，，若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设变量满足，则目标函数的最小值为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若，则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8．我们知道：在平面内，点到直线的距离公式，‎ 通过类比的方法，可求得：在空间中，点到直线的距离为(　　)‎ A． B． C. D．‎ ‎9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当 与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此 时扇形的圆心角的弧度数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.函数的图像为，以下结论错误的是（ ）‎ A.图像关于直线对称 ‎ B.图像关于点对称 C.函数在区间内是增函数 ‎ D.由图像向右平移个单位长度可以得到图像 ‎11．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知实数满足，，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将正确答案填入答题卷中。）‎ ‎13.已知第一象限的点在直线上，则的最小值为_________.‎ ‎14.数列中，若，，则 .‎ ‎15.在中，内角所对应的边长分别为，且，，则的外接圆面积为__________．‎ ‎16.已知是上的偶函数，且，若关于的方程 有三个不相等的实数根，则的取值范围_______.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2），记数列的前项和为，求证:.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）若函数在上是增函数，求实数的最大值．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知， ，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知,.‎ ‎（1）试讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若使得都有恒成立，且，求满 ‎ 足条件的实数的取值集合．‎ 选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目 计分．‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（1）设的解集为，求集合；‎ ‎（2）已知为（1）中集合中的最大整数，且（其中，，均为正 实数），求证：.‎ 数学(文科)参考答案 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.)‎ ‎1-5 BBABA 6-10 DCCDD 11-12 CB 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13、9 14、 15、 16、‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.解：(1）‎ ‎. …3分 由，，得，.‎ ‎∴函数的单调递减区间为，. …………6分 （2） 由（1）得,‎ ‎∵，∴, …………8分 ‎∴， …………10分 ‎∴. ‎ 即的取值范围为. …………12分 ‎18. 解：（1）当时，; …………1分 当时，. …………5分 又满足上式,‎ ‎. …………6分 ‎(2)由（1）得.‎ ‎∴ , …………8分 ‎ …………11分 又，∴. …………12分 ‎19.解　(1)∵∴， …………1分 则由题意知，即. …………3分 ‎∴，则 于是.‎ ‎∴. …………5分 ‎(2)由题意，即恒成立，∴恒成立． …………6分 设，则. …………7分 令，得 ‎∴当时，，为减函数；‎ 当时，，为减函数，‎ ‎∴.‎ ‎∴，即的最大值为. …………12分 ‎20.解：（1）设为的中点，连接，， …………1分 ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，‎ 又平面，且，‎ 平面，又平面，‎ ‎∴. ………5分 ‎（2）∵在中，，，为的中点，‎ ‎∴为等腰直角三角形，且，， …………6分 ‎∵在中，，为的中点，‎ ‎∴为等边三角形,且， …………7分 ‎∵在中，，∴为直角三角形，且，…8分 ‎∴又，且，‎ ‎∴平面. …………10分 ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎. …………12分 ‎21、解：由题意知 …………1分 ‎（1） …………2分 ‎ ①当时，上恒成立, ‎ 上单调递增. …………3分 ‎ ②当时，由得， 由 得 上单调递减，在 上单调递增. …………4分 综上：①当时，上单调递增，无递减区间;‎ ‎ ②当时，上单调递减，在 上单调递增. …………5分 ‎（2）由题意函数存在最小值且, …………6分 ‎①当时，由（1）上单调递增且,‎ ‎ 当时，不符合条件; …………7分 ‎ ②当时，上单调递减，在 上单调递增,‎ ‎ ， ‎ 只需即, …………8分 记 则 …………9分 ‎ 由得，由 得 ,‎ 上单调递增，上单调递减, …………10分 ‎ ‎ ‎ 即. …………11分 即满足条件的取值集合为. …………12分 ‎ ‎22.解：（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由，，可得直线的直角坐标方程为. …………2分 将曲线的参数方程消去参数，‎ 得曲线的普通方程为.(注：漏，扣1分) …………5分 ‎（2）设， …………6分 点的极坐标化为直角坐标为，‎ ‎ 则. …………7分 ‎∴点到直线的距离.‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为. …………10分 ‎23.解：（1），即， …………1分 当时，不等式化为，解得：；‎ 当时，不等式化为，解得：；‎ 当时，不等式化为，解得：.‎ 综上可知，集合. …………5分 （2） 由（1）知，则. …………6分 又，，均为正实数，‎ 则>0,同理>0,>0,‎ 则 即. …………10分