数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考（2017

数学（理）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第三次月考（2017

衡阳八中2018届高三实验班上学期第三次月考试卷 理数（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第三次月考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.在n元数集S={a1，a2，…an}中，设X（S）=，若S的非空子集A满足X（A）=X（S），则称A是集合S的一个“平均子集”，并记数集S的k元“平均子集”的个数为fs（k），已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，T={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，则下列说法错误的是（　　）‎ A．fs（4）=fs（5） B．fs（4）=fT（5）‎ C．fs（1）+fs（4）=fT（5）+fT（8） ‎ D．fs（2）+fs（3）=fT（4）‎ ‎2.复数在复平面内对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知a=，b=log2，c=log，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a ‎4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知{an}为等比数列且满足a6﹣a2=30，a3﹣a1=3，则数列{an}的前5项和S5=（　　）‎ A．15 B．31 C．40 D．121‎ ‎6.函数的图象可由函数的图象至少向右平移（　　）个单位长度得到．‎ A． B． C． D．‎ ‎7.设变量X，Y满足约束条件，且目标函数Z=+（1，b为正数）的最大值为1，则a+2b的最小值为（　　）‎ A．3 B．6 C．4 D．3+2‎ ‎8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（　　）‎ A．B．C． D．‎ ‎10.已知函数f（x）=（其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11.椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）‎ A．（，1） B．（，1） ‎ C．（0，） D．（0，）‎ ‎12.设函数f（x）在R上存在导函数f′（x），对于任意的实数x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，则实数m的取值范围是（　　）‎ A.[﹣，+∞）B.[﹣，+∞）‎ C.[﹣1，+∞） D.[﹣2，+∞）‎ ‎           ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，的夹角为45°，||=，||=3，则|2﹣|=　　．‎ ‎14.在二项式（1+）8的展开式中，x3的系数为m，则（mx+）dx=　　．‎ ‎15.抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点P，过点P作斜率为k（k＞0）的直线交抛物线于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=　　．‎ ‎16.表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为　　．‎ 三.解答题（共6题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 设函数f（x）=sinx（cosx﹣sinx）．‎ ‎（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且f（B）=0，a、b、c成公差大于零的等差数列，求的值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2，AA1=，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E，‎ ‎（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点．当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在点E，使得为定值？若存在，请指出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级．‎ 百分制 ‎85分及以上 ‎70分到84分 ‎60分到69分 ‎60分以下 等级 A B C D 为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．‎ ‎（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值；‎ ‎（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高三学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；‎ ‎（3）在选取的样本中，从A，C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数f（x）=lnx﹣，g（x）=﹣ax+b．‎ ‎（I）讨论函数h（x）=f（x）﹣g（x）单调区间；‎ ‎（II）若直线g（x）=﹣ax+b是函数f（x）=lnx﹣图象的切线，求b﹣a的最小值．‎ 选做题 请从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.选修4-4.坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=6sinθ．‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点P（1，2），设圆C与直线l交于点A，B，求|PA|+|PB|的最小值．‎ ‎23.选修4-5.不等式选讲 设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．‎ ‎（1）解不等式f（x）＜g（x）；‎ ‎（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．‎ 衡阳八中2017年下期高三实验班第三次月考理数参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C C B A D C A C A A ‎13.‎ ‎14.+‎ ‎15.‎ ‎16.27‎ ‎17.‎ ‎（1）=sinxcosx﹣sin2x ‎=sin2x﹣•（1﹣cos2x）=sin（2x+）﹣，‎ 令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+（k∈Z），得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），‎ ‎∴函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．‎ ‎∵x∈[0，π]，∴函数的增区间为[0，]，[，π]．（6分）‎ ‎（2）由（1）得，f（B）=sin（2B+）﹣=0，‎ ‎∴sin（2B+）=，‎ 由0＜B＜π得，2B+=，解得B=，（7分）‎ 由A+B+C=π得，A+C=，‎ ‎∵成公差大于零的等差数列，‎ ‎∴c＞a，b＞a，且2b=a+c，则b=，（8分）‎ 由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB ‎∴，‎ 化简得，，‎ 即，‎ 解得=或，‎ 又c＞a，则，‎ ‎∴由正弦定理得， =．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（I）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ ‎∵A1A⊥底面ABCD，‎ ‎∴AC是A1C在平面ABCD上的射影，‎ ‎∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C． （6分）‎ ‎（II）连结A1E，C1E，A1C1，‎ 与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，‎ ‎∴∠A1EC1为二面角A1﹣BD﹣C1的平面角．‎ ‎∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC=90°，‎ 又A1D1=AD=2，D1C1=DC=2，AA1=，且AC⊥BD，‎ ‎∴A1C1=4，AE=1，EC=4，∴A1E=2，C1E=2，‎ 在△A1EC1中，A1C12=A1E2+C1E2，∴∠A1EC1=90°，‎ 即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为90°．（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）由，设a=3k（k＞0），‎ 则，b2=3k2，‎ 所以椭圆C的方程为，‎ 因直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点，即，‎ 代入椭圆方程，解得y=±k，于是，即，‎ 所以椭圆C的方程为；（4分）‎ ‎（2）假设存在点E，使得为定值，设E（x0，0），‎ 当直线AB与x轴重合时，有，（5分）‎ 当直线AB与x轴垂直时，，（6分）‎ 由，解得，，‎ 所以若存在点E，此时，为定值2．（8分）‎ 根据对称性，只需考虑直线AB过点，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 又设直线AB的方程为，与椭圆C联立方程组，‎ 化简得，所以，，（9分）‎ 又，‎ 所以，‎ 将上述关系代入，化简可得．‎ 综上所述，存在点，使得为定值2．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（1）由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（3分）‎ ‎（2）不合格的概率为0.1，‎ 设至少有1人成绩是合格等级为事件A，‎ ‎∴P（A）=1﹣0.13=0.999，‎ 故至少有1人成绩是合格等级的概率为；（7分）‎ ‎（3）C等级的人数为0.18×50=9人，A等级的为3人，‎ ‎∴ξ的取值可为0，1，2，3；‎ ‎∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，（9分）‎ ‎∴ξ的分布列为 ‎ ‎ ξ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P Eξ=0×+1×+2×+3×=．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣+ax﹣b（x＞0），‎ 则h′（x）=++a=（x＞0），‎ 令y=ax2+x+1 （2分）‎ ‎（1）当a=0时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3分）‎ ‎（2）当a＞0时，△=1﹣4a，‎ 若△≤0，即a≥时，h′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．‎ ‎△＞0，即0＜a＜，由ax2+x+1=0，得x1，2=＜0，‎ 函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；‎ ‎（3）当a＜0时，△=1﹣4a＞1，‎ 由ax2+x+1=0，得x1=＞0，x2=＜0，‎ 所以函数f（x）在（0，）上单调递增； 在（，+∞）上递减 ‎ 综上，当a≥0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）； ‎ 当a＜0时，函数f（x）在（0，）上单调递增； 在（，+∞）上递减．（6分）‎ ‎（Ⅱ）设切点（m，lnm﹣），‎ 则切线方程为y﹣（lnm﹣）=（+）（x﹣m），‎ 即y=（+）x﹣（+）m+lnm﹣，‎ 亦即y=（+）x+lnm﹣﹣1，‎ 令=t＞0，由题意得﹣a=+=t+t2，b=lnm﹣﹣1=﹣lnt﹣2t﹣1，…（8分）‎ 令﹣a+b=φ（t）=﹣lnt+t2﹣t﹣1，‎ 则φ′（t）=﹣+2t﹣1=，‎ 当t∈（0，1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上单调递减；‎ 当t∈（1，+∞）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴b﹣a=φ（t）≥φ（1）=﹣1，‎ 故b﹣a的最小值为﹣1． （12分）‎ ‎22.‎ ‎（1）由ρ=6sinθ得ρ2=6ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+（y﹣3）2=9．（4分）‎ ‎（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣7=0，‎ 由△=（2cosα﹣2sinα）2+4×7＞0，故可设t1，t2是上述方程的两根，‎ ‎∴，‎ 又直线过点（1，2），故结合t的几何意义得=，‎ ‎∴|PA|+|PB|的最小值为．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，‎ ‎∴x＜﹣5或x＞1，‎ ‎∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}；（5分）‎ ‎（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax，‎ ‎2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．‎ 故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜，即a的范围为[﹣4，）．（10分）‎