数学理卷·2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末考试（2018

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才 学校2018届高三上学期期末考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是虚数单位，则复数的虚部是（ ）‎ A． B．1 C． D． ‎ ‎2.设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.若，且为第二象限角，（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知向量与的夹角为，，则 （ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（ ）‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎6.已知数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若满足约束条件，则的最大值是（ ）‎ A． B．0 C．2 D．4‎ ‎8.把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）‎ A.12种 B. 24种 C.36种 D.48种 ‎9.已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（ ）‎ A.甲、乙、丙 B.甲、丙、乙 C.乙、甲、丙 D.丙、甲、乙 ‎12.已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知实数满足，则 ．‎ ‎14.如图是一个算法的流程图，则输出的的值是 ．‎ ‎15.已知双曲线的两个焦点为，渐近线为，则双曲线的标准方程为 ．‎ ‎16.等比数列的前项和记为，若，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，边上的高为，求的值.‎ ‎18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：‎ 甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133 ‎ 乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146‎ ‎（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；‎ ‎（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.‎ ‎(注：方差，其中为的平均数）‎ ‎19.如图，在底面是菱形的四棱锥中,平面，，点分别为的中点，设直线与平面交于点.‎ ‎（1）已知平面平面，求证：.‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20.已知直线与抛物线交于两点，‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）时，求在上的单调区间；‎ ‎（2）且，均恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，且），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.已知直线与曲线交于两点，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）过分别作的垂线与轴交于两点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在，使成立，求的取值范围. ‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BCBBB 6-10: DCCAA 11、12：BD 二、填空题 ‎13. 14. 7 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）由已知，，∵，∴‎ 又∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎18.（1）茎叶图略，，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩 ‎ ‎（2）由已知，的可能取值为0，1，2，‎ ‎，，‎ 的分布列为（略） ‎ ‎19.（1）∵,平面,平面.‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,平面平面 ‎∴.‎ ‎（2）∵底面是菱形，为的中点 ∴ ‎ ‎∴ ∵平面，则以点为原点，直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系则 ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，有得 设，则，‎ 则解之得，∴，‎ 设直线与平面所成角为 则 ‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎20.解：（1）与联立得 由得，设，则 ‎ ‎∵,∴‎ ‎∴，∴ ∴‎ ‎，满足题意.‎ ‎（2）设弦的中点为,则，‎ ‎∵ ∴ ∴，‎ 则，∴，∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ ‎∴面积为 ‎21.（1）时，，设，‎ 当时，，则在上是单调递减函数，即则在上是单调递减函数，‎ ‎∵∴时，；时，‎ ‎∴在上的单调增区间是，单调减区间是；‎ ‎（2） 时，,即；‎ 时，,即；‎ 设 则 ‎ 时，，∵，∴在上单调递增 ‎∴时，；时，，∴符合题意;‎ 时，，时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴当时，，与时，矛盾；舍 时，设为和0中的最大值，当时，，‎ ‎∴在上单调递减，∴当时，，与时，矛盾；舍 综上，‎ ‎22.（1）由已知，直线的方程为，∵，‎ ‎，∴到直线的距离为3，则，解之得 ‎∵且，∴‎ ‎（2）‎ ‎23.（1）由已知 ‎ ‎ 时，解得，则；‎ 时，解得，则 时，解得，则 综上：解集为或 ‎（2）∵‎ ‎∴ ‎ 当且仅当且时等号成立.‎ ‎∴，解之得或，‎ ‎∴的取值范围为.‎