辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三下学期开学考试数学（理）试题

辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三下学期开学考试数学（理）试题

辽油二高高三年级开学考试（理科）(数学)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 若，则z的共轭复数对应的点在(     )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4}，N={2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. 2， B. C. D. 2，‎ 3. 已知，则展开式中的常数项为  （    ）‎ A. 20 B. C. D. 15‎ 4. 三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 5. 如图，给出的是计算+++…+ 值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（　　） ‎ A. ？ B. ？ C. ？ D. ？‎ 6. 已知函数（ ，）的两个零点分别在区间[和内，则的最大值为（  ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ 7. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a3=，且a2+a4=，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是（   ）‎ A. B. C. D. ‎ 1. 某人参加一次考试，4道题中答对3道题则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知双曲线离心率为，则其渐近线与圆的位置关系是（  ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 3. 已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（    ）‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知且函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）‎ A. B. C. D. ​‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 已知=（1，0），=（1，1），且（+），则λ= ______ ．‎ 6. 设数列{an}满足a1＝1，且an+1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为____________．‎ 7. 如图，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设C（p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=3|AF|，且△ACE的面积为3，则p的值为______． ‎ 8. 已知P是△ABC的边BC上任一点，且满足，x、y∈R，则+的最小值为______ ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）‎ 9. 在锐角三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，，；‎ ‎（1）若，求b的值；‎ ‎（2）求的取值范围. ‎ 1. 近年来，课堂教学改革已经步入深水区，改革的深度和宽度已经发生变化，这些变化必将对未来的课堂教学产生巨大的影响．在课堂教学中各种电子产品开始进入课堂，在帮助学生获取信息方面展现出得天独厚的优势，但是也产生了一些弊端．某教育机构对电子产品进入课堂是否对学生学习有益进行了问卷调查，随机抽取了2000名家长，对参与调查的1000人按性别以及意见进行了分类：‎ 男 女 总计 认为电子产品对学生学习有益 ‎400 ‎ ‎300 ‎ ‎700 ‎ 认为电子产品对学生学习无益 ‎100 ‎ ‎200 ‎ ‎300 ‎ 总计 ‎500 ‎ ‎500 ‎ ‎1000 ‎ ‎    （Ⅰ）根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系？‎ ‎    （Ⅱ）现按照分层抽样，从认为电子产品对学生学习无益的人员中随机抽取6人，再从6人中随机抽取2人赠送小礼品作为答谢，记男性的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎    附：，其中n＝a+b+c+d．‎ P(K2≥k) ‎ ‎0.050 ‎ ‎0.025 ‎ ‎0.010 ‎ ‎0.001 ‎ k ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎10.828 ‎ ‎ ‎ ‎19.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=，∠ACB=90°，M是线段PD上的一点（不包括端点）． （Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；       （Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值； （Ⅲ）试确定点M的位置，使直线MA与平面PCD所成角θ的正弦值为． ‎ ‎20.已知椭圆过点，且焦距为2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设过点P（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程． ‎ ‎21.已知函数f（x）=x+xlnx． （1）求函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程； （2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立，求k的最大值． ‎ ‎22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρ=4cosθ，直线l过点M（1，0）且倾斜角α=． （1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l的参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值． 23.[选修4-5：不等式选讲]‎ 已知函数 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，恒成立，求的取值范围. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查复数的运算及共轭复数的定义,同时考查复数的几何意义，利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【解答】‎ 解：因为， ‎ 则复数z的共轭复数在复平面内对应的点（-4，-3）在第三象限． ‎ 故选C．‎ ‎2.【答案】C 【解析】‎ 解：阴影部分表示的集合为N∩（∁UM）， 则∁UM={1，2，5}， 则N∩（∁UM）={2}， 故选：C 阴影部分表示的集合为N∩（∁UM），根据集合的基本运算即可得到结论． 本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．‎ ‎3.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查利用微积分基本定理求解定积分及二项展开式特定项的系数，属于中档题目. 【解答】 解：由=, 得=‎ ‎, 则展开式的通项公式为, 由6-2k=0可得k=3, 所以展开式中的常数项为. ​故选B.‎ ‎.4.【答案】B 【解析】‎ 解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC， 且底面△ABC为等腰三角形， 在△ABC中AC=4，AC边上的高为2， 故BC=4， 在Rt△SBC中，由SC=4， 可得SB=4， 故选：B．‎ ‎5.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了循直到型循环结构的应用问题，区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行循环还是不满足条件执行循环，满足条件执行循环的是当型结构，不满足条件执行循环的是直到型结构，是基础题． 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值． 【解答】 ​解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第一次循环：i=2，S=0+， 第二循环：i=4，S=+， 第三次循环：i=6，S=++‎ ‎， … 依此类推，第1008次循环： i=2016，S=+++…+， i=2018，不满足条件，退出循环，输出s的值， 所以i≤2017或i＜2017． 故选C．‎ ‎6.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】 利用二次函数零点所在区间，列出不等式组；结合线性规划求解目标函数最值. 【解答】 根据题意得,即, 画出可行域，可得直线z=a+b过直点A（-3，-1）时取最大值. z=a+b最大值为-4. 故选B.‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解：设等比数列{an}的公比为q， ∴q==， ∴a1+a3=a1（1+q2）=a1（1+）=， 解得：a1=2， ∴an=2×（）n-1=（）n-2，Sn=， ∴==2n ‎-1， 故选：D． 设出等比数列的公比为q，利用等比数列的性质，根据已知等式求出q的值，进而求出a1的值，表示出Sn与an，即可求出之比． 此题考查了等比数列，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．‎ ‎8.【答案】D 【解析】‎ 略 ‎9.【答案】B 【解析】‎ 解：他答对3道题的概率为， 他答对4道题的概率为， 故他能及格的概率为， 故选B． 先求得他答对3道题的概率为，他答对4道题的概率为，相加即得所求． 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎10.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意得，∴，双曲线是等轴双曲线，渐近线为y=±x，，则渐近线与圆的关系是相离，‎ ‎​故选C.‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查了利用导函数研究函数的单调性，解题的关键是能构造出相关函数.‎ ‎【解答】‎ 解：设g（x）=xf（x），‎ 则g（x）=[xf（x）]=xf′（x）+f（x）＞0，‎ ‎∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，‎ ‎∵，‎ 且x＞0，x+1＞1，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 故选B.‎ ‎12.【答案】D 【解析】‎ 略 ‎13.【答案】-1 【解析】‎ 解：=（1，0），=（1，1），且（+）， 可得2=1，•=1+0=1， （+λ）•=0，即得2+λ•=0， 即1+λ=0，解得λ=-1． 故答案为：-1． 由向量垂直的条件和向量数量积的坐标表示，即可得到所求值． 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件，属于基础题．‎ ‎14.【答案】 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 根据累加法求得an=，可得=2，根据裂项相消法数列{}的前n项的和Sn.‎ ‎【解答】‎ 解：由题意有 a2－ a1＝2， a3－ a2＝3，…， an－ an－1＝ n( n≥2)．‎ 以上各式相加，得 an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.‎ 又因为a1＝1，所以an＝(n≥2)．‎ 因为当n＝1时也满足此式，所以an＝(n∈N*)．‎ 所以＝＝2.‎ 所以S10＝2‎ ‎＝2×＝.‎ 故答案为.‎ ‎15.【答案】2 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 如图所示，F（，0），由于AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|．利用抛物线的定义可得xA，代入可取yA，再利用S△ACE=3，即可得出． 【解答】 解：如图所示，F（，0），|CF|=3p． ∵AB∥x轴，|CF|=3|AF|，|AB|=|AF|， ∴|CF|=3|AB|=3p，|CE|=3|BE|． ∴xA+=p，解得xA=， 代入可取yA=p， ∴S△ACE=S△ABC=‎ ‎=3 解得p=2． 故答案为:2．‎ ‎16.【答案】9 【解析】‎ 解：∵，共线 ∴存在实数λ（λ≤1），满足= ∴= = = =（1-λ）+ ∴x=1-λ，y=λ，即x+y=1 ∴+= =5 ≥5+2=9 当且仅当，即x=时，取最小值为9 故答案为：9 利用向量加法三角形法则将表示出来，找出x，y的关系，进而求出+的最小值 本题主要考察了向量加法与减法三角形法则，及不等式的求解问题，属于中档题．‎ ‎17.【答案】解：（1）由余弦定理得得，.，故或，‎ 此时c为最大边，当b=1时，，C为钝角，舍去；‎ 当b=2时，，C为锐角，成立，‎ 所以b=2；‎ ‎（2），三角形ABC为锐角三角形，‎ ‎，所以.‎ ‎，‎ 所以，，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎ 【解析】‎ ‎（1）由余弦定理得得到关于b的一元二次方程，解出b的值，检验是否使得三角形为锐角三角形即可；‎ ‎（2）把C用B表示，利用两角和的正弦公式展开，再由辅助角公式化为一个角的正弦函数，由B的范围，利用正弦函数的性质求得sinB+sinC的范围.‎ ‎18.【答案】解：(Ⅰ)依题意，在本次的试验中，K2的观测值，‎ 故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系.‎ ‎ (Ⅱ)依题意，按分层抽样，从认为电子产品增多对学习无益的女性中抽取4人，‎ 记为A，B，C，D，从认为电子产品增多对学习无益的男性中抽取2人，记为a，b，‎ ξ可以取值0，1，2. ‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ 那么ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ p ξ的期望值为.‎ ‎ 【解析】‎ 本题通过独立性检验和古典概型，考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及数据分析数学核心素养.‎ ‎(Ⅰ)由公式求出k2的观测值，与10.828比较，即可判断是否在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与性别有关系；‎ ‎(Ⅱ)，按分层抽样，在女性中抽取4人，男性中抽取2人，ξ可以取值0，1，2. ，由古典概型结合组合数公式求出ξ的每个取值对应的概率，就求得分布列，由期望的定义求得期望.‎ ‎19.1.【答案】解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC⊂平面AC，∴PA⊥BC， ∵∠ACB=90°， ∴BC⊥AC，又PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC． （Ⅱ）取CD的中点E，则AE⊥CD， ∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE， 建立如图所示空间直角坐标系， 则A（0，，0，0），P（0，0，），C（，，0），D（，-，0） ∴=（0，0，），=（，0），，， 设平面PAC的一个法向量，则， ∴，∴‎ ‎． 设平面PDC的一个法向量，则，， ∴，∴， 设二面角D-PC-A的平面角为θ， ∴cosθ=|cos＜＞|=||=||=， 故二面角D-PC-A的正切值为2． （Ⅲ）设M（x，y，z），， 则（x，y，z-）=m（）， 解得点M（），即=（）， 由sinθ=，得m=1（不合题意舍去）或m=， 所以当M为PD的中点时，直线AM与平面PCD所成角的正弦值为．‎ ‎20.【答案】解：（1）由2c=2，c=1，由a2=b2+c2=b2+1， 则，解得：b2=1，a2=2， ∴椭圆的标准方程为：； （2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2）， ，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0， 设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），AB的中点M（x0，y0）， 则x1+x2=-，x1x2=， 则y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=， △=（8k2）2-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，解得：-＜k＜， 则x0=-，y0=， 由|GA|=|GB|，则GM⊥AB， 则kGM===-，（k≠0）， 解得：k=或k=（舍）， 当k=0时，显然满足题意； ∴直线l的方程为：y=（x+2）或y=0． 【解析】‎ ‎ （1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程； （2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥‎ AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值． 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式及直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎21.【答案】解：（1）因为函数f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2， 则函数f（x）的图象在点（1，1）处的切线方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0； （2）因为f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）对任意x＞1恒成立， 即k（x-1）＜x+xlnx，因为x＞1， 也就是对任意x＞1恒成立． 令，则， 令h（x）=x-lnx-2（x＞1），则， 所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增． 因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0， 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）． 当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0， 所以函数在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． 所以． 所以k＜[g（x）]min=x0 因为x0∈（3，4）．故整数k的最大值是3． 【解析】‎ ‎ （1）求出函数的导函数，进一步得到f′（1）的值，由直线方程的点斜式写出直线方程； （2）把函数f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k，问题转化为对任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整数k的值．设函数g（x）=，求其导函数，得到其导函数的零点x0位于（3，4）内，且知此零点为函数g（x）的最小值点，经求解知g（x0）=x0，从而得到k＜x0，则正整数k的最大值可求． 本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，在求解（2）时如何求解函数g（x）=的最小值，学生思考起来有一定难度．此题属于难度较大的题目．‎ ‎22.【答案】解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ， ∴x2+y2=4x, 即（x-2）2+y2=4, 所以曲线C的直角坐标方程是（x-2）2+y2=4 , 又因为直线l过点M（1，0）且倾斜角α=, 所以直线l的参数方程是（t为参数）， 也就是（t为参数）, （2）由（1）知曲线C的圆心C（2，0），半径r=2, 而直线l的斜率，所以直线l的直角坐标方程是x-y-1=0 , 圆心到直线的距离d==， ∴|AB|=2= . 【解析】‎ ‎ （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得曲线C的直角坐标方程，设参数，可得直线l的参数方程； （2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求出圆心到直线的距离，即可求|AB|的值． 本题考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎23.【答案】解：（1）当a=3时，不等式f（x）＞0，即|x-2|-|2x-3|＞0， ∴①，或 ②，或③，‎ 解①求得，解②求得，解③求得∅.‎ 综上可得，不等式f（x）＞0的解集为{x|}.‎ ‎（2）当x∈(-∞,2)时，f(x)+x2>0恒成立，即2-x-|2x-a|+x2>0恒成立，‎ 即|2x-a|

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