数学（理）卷·2017届湖北省荆州中学高三1月质量检测（2017

数学（理）卷·2017届湖北省荆州中学高三1月质量检测（2017

荆州中学高三年级1月质量检测数学卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数(为虚数单位)的共轭复数等于（ ）‎ A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i ‎2.下列命题正确的个数是 ( )‎ ‎①命题“”的否定是“”；‎ ‎②函数的最小正周期为是“”的必要不充分条件；‎ ‎③在上恒成立在上恒成立；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎3.已知两条不同的直线和两个不同的平面，以下四个命题中正确命题的个数是（ ）‎ ‎①若，且，则 ②若，且，则 ‎③若，且，则 ④若，且，则 A．4 B．3 C. 2 D．1‎ ‎4.已知数列为等差数列，满足，其中在一条直线上， 为直线外一点，记数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2016 D. ‎ ‎5.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 (的单位：s，的单位：m/s)行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知角的顶点与原点重合，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.过点的直线，将圆形区域分两部分，使得这两部分的面积之差的绝对值最大，则该直线的方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.《九章算术》是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺,问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺,问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（ ） ‎ ‎（注：1丈=10尺=100寸，，）‎ A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 ‎10.已知是单位圆上的两点（为圆心），，点是线段上不与重合的动点．是圆的一条直径，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（　）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知常数，定义在上的函数满足：，‎ ‎，其中表示的导函数．若对任意正数，都有,‎ 则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）‎ ‎13. 如图，已知，，，，则 ．‎ ‎14. 已知，若是的充分条件，则实数的取值范围是____． ‎ ‎15. 过点且被圆截得弦长为的直线的方程为 .‎ ‎16. 对于数列，定义为的“优值”.现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. （本小题满分12分）已知.‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知数列 的前项和，是等差数列，且 ‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）令，求数列的前项和.‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧面底面,,‎ 为的中点，底面是直角梯形，,，,．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）设为棱上一点，,试确定的值使得二面角为．‎ ‎20．(本小题满分12分)如图，OM，ON是两条海岸线，Q为大海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知，，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3 km， km．现要在海岸线ON上再建一个码头B，使得水上旅游线路AB（直线）经过小岛Q． ‎ ‎（Ⅰ）求水上旅游线路AB的长；‎ ‎（Ⅱ）若小岛正北方向距离小岛6 km处的海中有一个圆形强水波P，水波生成t h时的半径为（其中）．强水波开始生成时，一游轮以 km/h的速度自码头A开往码头B，问强水波是否会波及游轮的航行，并说明理由．‎ ‎21. （本小题满分12分）函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若是极大值点.‎ ‎（ⅰ）当时，求的取值范围；‎ ‎（ⅱ）当为定值时，设是的3个极值点.问：是否存在实数，可找到实数使得的某种排列成等差数列？若存在，求出所有的的值及相应的；若不存在，说明理由.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在极坐标系中的方程； ‎ ‎（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）解不等式； ‎ ‎（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．‎ 荆州中学高三年级1月质量检测数学卷 参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C A C D C A D A B A ‎13. 3 14. 15. 或 16. ‎ ‎12. 简解：由，可得，令，则，所以，，令，则，易知，所以，在单调递减，原不等式即，，或.‎ ‎17. 解：(Ⅰ) , ……………………3分 故周期 . ……………………4分 令则 所以单调增区间为. ……………………6分 ‎ （Ⅱ） 由可得 ， ……………………8分 所以cosA＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ 可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，‎ 即bc≤2＋，且当b＝c时等号成立 ， ……………………10分．‎ 因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为. ……………………12分 ‎18. 解 ：(Ⅰ)因为数列的前项和，‎ ‎ 所以，当时，，‎ 又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，则．‎ 当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．‎ ‎(Ⅱ)由，‎ 于是，‎ 两边同乘以２，得 ‎，‎ 两式相减，得 ‎,‎ ‎ .‎ ‎19. 解：（Ⅰ）令中点为，连接， 点分别是的中点， ,.‎ 四边形为平行四边形. ,又平面, 平面,.‎ ‎（Ⅱ）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系（如图），则，，，， ，，‎ ‎，设平面的法向量为，则且，即 且，取，得，,平面的一个法向量为.‎ 又，所以为平面的一个法向量，由，又，所以.‎ ‎ ‎ ‎20． 解：（Ⅰ）以点O为坐标原点，直线OM为轴，建立直角坐标系如图所示．‎ 则由题设得：，直线ON的方程为 ．‎ 由，解得，所以． ……………2分 故直线AQ的方程为，由得 即，故， …………………………………… 5分 答：水上旅游线的长为km． ………………………………………6分 ‎（Ⅱ）设试验产生的强水波圆P，由题意可得P（3，9），生成小时时，游轮在线段AB上的点C处，则，所以．若强水波不会波及游轮的航行即 ‎ 即， ………………………10分 当时恒成立； ‎ 当. ，，当且仅当时等号成立，所以当时恒成立，‎ 由于，所以强水波不会波及游轮的航行． ……12分 ‎21.解：（Ⅰ）当时，，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎, 故有两根，不妨设，‎ 当与有一个为零时，不是的极值点，故与均不为0；‎ 当或时，是函数的极小极点，不合题意；‎ 当时，是函数的极大值.‎ ‎∴，即，∴.的取值范围为.‎ ‎（ⅱ），令，‎ ‎，因此，有两根，不妨设，又因为为极大值点，所以的三个极值点分别为，且，则是的一个排列，其中，‎ ‎①若或成等差数列即，即也即时有：或 ‎，所以，‎ 或；‎ ‎②若不成等差数列，则需：或，‎ 当时，，于是，‎ 即，故时，，‎ ‎，此时，，‎ 同理当时， ，.‎ 综上所述：当时，；当时，；‎ 当时，.‎ ‎22.解:（Ⅰ）曲线的普通方程为，‎ 即，将代入方程化简得．‎ 所以，曲线的极坐标方程是． ………………5分 ‎（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，‎ 由得直线与曲线C的交点坐标为，所以弦长． ……10分 ‎23. 解：(Ⅰ)① 当时，，所以;‎ ‎② 当时，，所以为;‎ ‎③ 当时，，所以.综合①②③不等式的解集为 ‎ .……5分 ‎(Ⅱ)即，由绝对值的几何意义，只需 .……10分