数学理卷·2017届山东省桓台第二中学高三下学期开学考试（2017

数学理卷·2017届山东省桓台第二中学高三下学期开学考试（2017

高三寒假开学考试试题 理 科 数 学 本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．‎ ‎3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 第Ⅰ卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知不等式的解集为，函数的定义域为，则图中阴影部分表示的集合为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎2．已知，是虚数单位，命题：在复平面内，复数对应的点位 于第二象限；命题：复数的模等于.若是真命题，则实数等于 A． B． C．或 D．或1‎ ‎3．已知函数，记 ，‎ 则 的大小关系为 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知为锐角，且，则 A． B． C． D．‎ ‎5．如图，已知三棱锥的底面是等腰直 角三角形，且，侧面底面 ‎，.则这个三棱锥的三视 图中标注的尺寸分别是 A． B． C． D．‎ ‎6．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量（单位：mm）对工期延误天数的影响及相应的概率如下表所示：‎ 降水量 工期延误天数 概率 在降水量至少是的条件下，工期延误不超过天的概率为 A． B． C． D．‎ ‎7． 设实数满足约束条件，若对于任意，不等式 恒成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．如图，正方形中，是的中点，若，则 A． B．‎ C． D． ‎ ‎9．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎10．函数的定义域为，其导函数为．对任意的，总有；当时，．若，‎ 则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷(共100分)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．右图是一个算法流程图，则输出的的值 ．‎ ‎12．将函数的图象向右平移 个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是 ．‎ ‎13．二项式展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于_____．‎ ‎14．已知球的直径，在球面上，，，则棱锥的体积为 ．‎ ‎15．已知圆的方程，是椭圆上一点，过作圆的 两条切线，切点为，则的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 已知,‎ 函数的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）在中，内角的对边分别为，，‎ 若恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 如图，四边形是直角梯形，，‎ ‎//，，，‎ ‎,，直线与直线所成的角为.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求锐二面角的余弦值．‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 某公司的两个部门招聘工作人员，应聘者从、两组试题中选择一组参加测试，成绩合格者可签约．甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试，其中甲、乙两人选择使用试题，且 表示只要成绩合格就签约；丙、丁两人选择使用试题，并约定：两人成绩都合格就一同签约，否则两人都不签约．已知甲、乙考试合格的概率都是，丙、丁考试合格的概率都是，且考试是否合格互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求丙、丁未签约的概率；‎ ‎（Ⅱ）记签约人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知椭圆:的长轴长为,离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知为椭圆的左右两个顶点，为椭圆上在第一象限内的一点，为过点且垂直轴的直线，点为直线与直线的交点，点为以为直径的圆与直线的另一个交点，求证：，，三点共线.‎ ‎20．（本题满分13分）已知二次函数．数列的前项和为，点在二次函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，数列的前项和为，‎ 若对恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（Ⅲ）在数列中是否存在这样一些项：，这些项都能够构成以为首项，为公比的等比数列？若存在，求出值并写出关于的表达式；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本题满分14分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若直线是函数的切线，求的最大值；‎ ‎（Ⅲ）若方程存在两个实数根，且．‎ ‎①求证：；‎ ‎②问：函数图象上在点处的切线是否能平行轴？若存在，求出该切线；若不存在说明理由．‎ 高三寒假开学考试（理科）‎ ‎ 数学试题参考答案及评分说明 ‎ 一、选择题：‎ BACCB DDBCD 二、填空题： ‎ ‎11．；12．；13．7；14．；15．．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．‎ ‎16．解：（Ⅰ）函数 ‎ ‎ ‎ ……………………2分 ‎ 因为的最大值为，所以解得 ………………………3分 则 ………………………4分 由，‎ 可得：，，‎ 所以函数的单调减区间为 ……………………………6分 ‎（Ⅱ）（法一）由 ．‎ 可得即．‎ 解得即 ………………………………………………9分 因为所以， ……10分 因为恒成立，则恒成立 即． ………………………………………12分 ‎（法二）由，可得 即，解得即 …………9分 因为所以， ………10分 因为恒成立，则恒成立 即． ………………………………………12分 ‎17．解：（Ⅰ）因为；‎ 所以． ………………………………………2分 又因为平面,所以…………………4分 ‎（Ⅱ）在平面内，过作，‎ 建立空间直角坐标系（如图）…………5分 由题意有,，‎ 设，则，‎ ‎，‎ ‎ ． …………………………………………7分 由直线与直线所成的解为得 解得． ………………………………………………………………………9分 所以, ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则 ，即 ．‎ 取，得． ………………………………………10分 平面的法向量取为 …………………………………11分 设与所成的角为，则 ‎ 因为二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的平面角的余弦值为． ……………………12分 ‎18．解:（Ⅰ）分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为．由题意知 相互独立，且，．记事件“丙、丁未签约为”，‎ 由事件的独立性和互斥性得：‎ 方法一： …………………………………………3分 ‎ ……………………………………4分 方法二： …………………………3分 ‎ ………………………4分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为． ……………………………………5分 ‎ ‎ ； ‎ ‎；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎.‎ 所以，的分布列是：‎ ‎………………………………11分 的数学期望.…………12分 ‎19．解：（Ⅰ）由题意知：，，‎ 又，解得：‎ 所以椭圆的方程为： ………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设直线AT方程为：，设点坐标为 ‎ ………5分 由韦达定理，又点坐标为 得 ……………………………………7分 又点坐标为，所以 ………………8分 由圆的性质得：‎ 所以，要证明只要证明 ………9分 又点横坐标为，所以点坐标为，‎ ‎ …………11分 即，又， 所以，，三点共线. …………12分 ‎20．解：（Ⅰ）由题意可知， ‎ 当 时，　………………２分 当 时，适合上式 所以数列的通项公式为．　　…………………3分 ‎（Ⅱ）因为，所以 ‎ ………4分 由（Ⅰ）可知，数列是以为首项，公差为的等差数列．所以 ‎① 当时，‎ ‎ ……………………6分 ‎②当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， …………………………8分 要使对恒成立，只要使（为正偶数）恒成立，即使对为正偶数恒成立，‎ 故实数的取值范围是．…………………………………………10分 ‎（Ⅲ）由知数列中每一项都不可能是偶数．‎ ‎①如存在以为首项，公比为偶数的数列，此时中每一项除第一项外都是偶数，‎ 故不存在以为首项，公比为偶数的数列　 ……………………11分 ‎②当时，显然不存在这样的数列；当为奇数时，若存在以为首项，公比为的数列，则，，即存在满足条件的数列，且公比的奇数，‎ ‎．……………………………………………………13分 ‎21．解析：（Ⅰ）函数的导函数为：；…………………………1分 当时，得；‎ 当时，得，故函数在区间上单调递增；‎ 当时，得，故函数在区间上单调递减；‎ 所以函数在处取得极大值．……………………………………3分 ‎（Ⅱ）设函数的切点为，．‎ 显然该点处的切线为：，即为；…4分 可得：，则； ‎ 设函数；………………………………………………5分 其导函数为，显然函数当时，得或，故函数在区间和上单调递增；当时，得，故函数在区间上单调递减；‎ 函数的的极大值为，的极小值为．‎ ‎……………………………………………………………………7分 显然当时，恒成立；‎ 而当时， ，‎ 其中，，得；…………8分 综上所述，函数的的极大值为即为的最大值．…………9分 ‎（Ⅲ）①由于函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；‎ 所以，……………………………………………………………………10分 显然当时，；当和时，；‎ 得，．………………11分 ‎②由于，则，‎ 设函数，；…………………12分 其导函数为；‎ 故函数在区间上单调递减，且，；‎ 所以，即；‎ 同时，从而；‎ 由于，，函数在区间上单调递减，‎ 得，即． …………………………………………………13分 所以，，‎ 函数图象上在点处的切线斜率恒小于，在点处不存在切线平行轴．……………………………………………………………………14分