松江区高考数学二模试卷含答案

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松江区高考数学二模试卷含答案

‎2017年松江区高考数学二模试卷含答案 一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分.‎ ‎1.已知,则 ▲ .‎ ‎2.已知集合则 ▲ . ‎ ‎3.若复数(是虚数单位),且为纯虚数,则实数= ▲ . ‎ ‎4.直线(为参数)对应的普通方程是 ▲ . ‎ ‎5.若,且,则的值为 ▲ .‎ ‎6.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的侧面积是 ▲ .‎ ‎7.若函数在区间上有零点,则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎8.在约束条件下,目标函数的最大值为 ▲ .‎ ‎9.某学生在上学的路上要经过2个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ▲ .‎ 俯视图 ‎10.已知椭圆的左、右焦点分别为,记.若此椭圆上存在点,使到直线的距离是与的等差中项,则的最大值为 ▲ .‎ ‎11.如图同心圆中,大、小圆的半径分别为2和1,点在大圆上,与小圆相切于点,为小圆上的点,则的取值范围是 ▲ . ‎ ‎12.已知递增数列共有项,且各项均不为零,,如果从中任取两项,当时,仍是数列中的项,则数列的各项和 ‎ ▲ .‎ 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. ‎ ‎13.设分别是两条异面直线的方向向量,向量夹角的取值范围为,所成角的取值范围为,则“”是“”的 ‎ ‎(A) 充要条件 ‎(B) 充分不必要条件 ‎(C) 必要不充分条件 ‎(D) 既不充分也不必要条件 ‎14. 将函数图像上的点向左平移个单位,得到点,若位于函数的图像上,则 ‎ ‎(A) ,的最小值为 (B) ,的最小值为 ‎ ‎(C) ,的最小值为 (D) ,的最小值为 ‎ ‎15.某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如图所示(收支差额车票收入支出费用),由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两条建议:建议(Ⅰ)不改变车票价格,减少支出费用;建议(Ⅱ)不改变支出费用,提高车票价格,下面给出的四个图形中,实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系,则 ‎ ‎(A) ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)‎ ‎(B) ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)‎ ‎(C) ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)‎ ‎(D) ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)‎ ‎16.设函数的定义域是,对于以下四个命题:‎ ‎(1) 若是奇函数,则也是奇函数;‎ ‎(2) 若是周期函数,则也是周期函数;‎ ‎(3) 若是单调递减函数,则也是单调递减函数;‎ ‎(4) 若函数存在反函数,且函数有零点,则函数也有零点.‎ 其中正确的命题共有 ‎ ‎(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分) ‎ 直三棱柱中,底面为等腰直角三角形,,,,是侧棱上一点,设.‎ ‎(1) 若,求的值;‎ ‎(2) 若,求直线与平面所成的角. ‎ ‎18.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分)‎ 设函数,函数的图像与函数的图像关于轴对称.‎ ‎(1)若,求的值;‎ ‎(2)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎19.(本题满分14分;第1小题6分,第2小题8分)‎ 如图所示,是某海湾旅游区的一角,其中,为了营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC,其中是宽长廊,造价是元/米,是窄长廊,造价是元/米,两段长廊的总造价为120万元,同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台,并建水上直线通道(平台大小忽略不计),水上通道的造价是元/米.‎ ‎(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目,要求的面积最大,那么和的长度分别为多少米?‎ ‎(2) 在(1)的条件下,建直线通道还需要多少钱?‎ ‎20.(本题满分16分;第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)‎ 设直线与抛物线相交于不同两点、,与圆 相切于点,且为线段中点.‎ ‎(1) 若是正三角形(是坐标原点),求此三角形的边长;‎ ‎(2) 若,求直线的方程;‎ ‎(3) 试对进行讨论,请你写出符合条件的直线的条数(直接写出结论).‎ ‎21.(本题满分18分;第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)‎ 对于数列,定义,.‎ ‎(1) 若,是否存在,使得?请说明理由;‎ ‎(2) 若,,求数列的通项公式;‎ ‎ (3) 令,求证:“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列,且为等差数列”.‎ 松江区二模考试数学试卷题(印刷稿)‎ ‎(参考答案)2017.4‎ 一.填空题(本大题共54分)第1~6题每个空格填对得4分,第7~5题每个空格填对得5分 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6.‎ ‎7. 8. 9. 10. 11 . 12.‎ 二、选择题 (每小题5分,共20分)‎ ‎13. C 14.A 15. B 16.B ‎ 三.解答题(共78分)‎ ‎17.(1)以为坐标原点,以射线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,如图所示,‎ 则,,, ……………………2分 ‎, ……………………4分 由得,即 解得. ……………………6分 ‎(2) 解法一:此时 ‎……………8分 设平面的一个法向量为 由得 ‎ 所以 ……………………10分 设直线与平面所成的角为 则 ……………12分 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 解法二:联结,则,‎ ‎,平面 …………………8分 ‎ 平面 所以是直线与平面所成的角; ……………………10分 在中, ‎ 所以 ……………………12分 所以 所以直线与平面所成的角为 ………………14分 ‎18.(1)由得 ……………………2分 所以(舍)或, ……………………4分 所以 ……………………6分 ‎(2)由得 ……………………8分 ‎ ……………………10分 而,当且仅当时取等号…12分 所以,所以.………………………………14分 ‎19.(1)设长为米,长为米,依题意得,‎ 即, ………………………………2分 ‎ …………………………4分 ‎=‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 所以当的面积最大时,和AC的长度分别为750米和1500米……6分 ‎(2)在(1)的条件下,因为.‎ 由 …………………………8分 得 ‎ …………………………10分 ‎ ‎ ‎, …………………………12分 ‎ 元 所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分 解法二:在中, ‎ ‎ ………8分 ‎ 在中,‎ ‎ …………………………10分 在中,‎ ‎= …………12分 元 所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分 解法三:以A为原点,以AB为轴建立平面直角坐标系,则,‎ ‎,即,设 ………8分 由,求得, 所以 …………10分 所以,……………………12分 元 所以,建水上通道还需要万元. …………………………14分 ‎20. (1)设的边长为,则的坐标为………2分 所以所以 此三角形的边长为. ……………………………4分 ‎(2)设直线 当时,符合题意 ……………………………6分 当时, …………………8分 ‎,舍去 综上所述,直线的方程为: ……………………………10分 ‎(3)时,共2条;……………………………12分 时,共4条; ……………………………14分 时,共1条. ……………………………16分 ‎21.:(1)由,可知数列为递增数列,……………………………2分 ‎ 计算得,,‎ ‎ 所以不存在,使得; ………………………4分 ‎(2)由,可以得到当时,‎ ‎, ……………………6分 又因为,‎ ‎ 所以, 进而得到,‎ ‎ 两式相除得,‎ 所以数列,均为公比为6的等比数列, ……………………8分 由,得,‎ 所以; ………… …………10分 ‎ (3)证明:由题意,‎ ‎ 当时,,‎ ‎ 因此,对任意,都有. …………12分 ‎ 必要性():若为等差数列,不妨设,其中为常数,‎ ‎ 显然,‎ ‎ 由于=,‎ ‎ 所以对于,为常数,‎ ‎ 故为等差数列; …………14分 充分性():由于的前4项为等差数列,不妨设公差为 ‎ 当时,有成立。…………15分 假设时为等差数列,‎ 即 …………16分 当时,由为等差数列,得,‎ ‎ 即:,‎ ‎ 所以 …………17分 ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 因此,‎ ‎ 综上所述:数列为等差数列. …………18分
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