专题21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

专题21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板

‎【高考地位】‎ 平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.‎ ‎【方法点评】‎ 方法一 利用基本不等式求平面向量的最值 使用情景：一般平面向量求最值问题 解题模板：第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；‎ 第二步 运用基本不等式求其最值问题；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1.已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________‎ ‎【答案】‎ 例2 如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）‎ A．2 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【变式演练1】如图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且,则的最小值为（ ）‎ C M N A B G Q A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：向量共线，基本不等式求最值 ‎ ‎【变式演练2】已知点A（1, -1），B（4,0），C（2,2）．平面区域D由所有满足（1≤l≤a，1≤m≤b）的点P（x,y）组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为 ．‎ ‎【答案】4‎ 考点：1、平面向量的线性运算；2、基本不等式．‎ ‎【变式演练3】平行四边形中，为平行四边形内一点，且，若，则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：对 两边平方可得可化为，据已知条件可得，即，又，则.故本题填.‎ 考点：向量的数量积运算；基本不等式 方法二 利用向量的数量积求最值或取值范围 使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题 解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；‎ 第二步 运用向量的数量积的性质求解；‎ 第三步 得出结论.‎ 例3 已知的顶点坐标为，，， 点P的横坐标为14，且，点是边上一点，且.‎ ‎（1）求实数的值与点的坐标；‎ ‎（2）求点的坐标；‎ ‎（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）.‎ 考点：向量的数量积，向量共线.‎ ‎【点评】其解题思路为：（1）由，根据向量共线，设出P点坐标即可得；（2）设出Q点坐标,根据可得一个方程，然后利用Q在AB上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得Q点坐标；（3）由R在线段OQ上可利用向量共线设R坐标，注意引入的变量范围，然后分别表示出向量利用数量积得出一个关于的二次函数，求这个关于的二次函数的最值即可得.‎ ‎【变式演练4】已知向量不共线，为实数．‎ ‎（Ⅰ）若，，，当为何值时，三点共线；‎ ‎（Ⅱ）若，且与的夹角为，实数，求 的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎（Ⅱ）由，则，‎ 因为，当时，的最小值为 当时，的最大值为 所以的取值范围是 考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平行向量与共线向量. ‎ ‎【变式演练5】若直线与圆交于、两点（其中为坐标原点），则的最小值为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】D 考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．‎ 方法三 建立直角坐标系法 使用情景：一般向量求最值或取值范围类型 解题模板：第一步 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标；‎ 第二步 将平面向量数量积的运算坐标化；‎ 第三步 运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解即 可.‎ 例3. 在中， ， ，点是所在平面内一点，则当 取得最小值时， （ ）‎ A. B. C. D. 24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 以C为坐标原点，直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系，则，设 ‎ 当时取得最小值， ，选D.‎ ‎【点评】：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. ‎ ‎(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.‎ 例4 在中,,若长为的线段以点为中点,问与的夹角取何值时的值最大?并求出这个最大值.‎ ‎【答案】.‎ 当即(与同向)时,的最大值为.‎ ‎【点评】通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化，从而转化常见的求函数最值问题.‎ ‎【变式演练6】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D，E是线段BC上的点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ ‎ 考点：平面向量数量积的运算．‎ ‎【变式演练7】在平面上，．若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：平面向量的性质．‎ ‎【高考再现】‎ ‎1.【2017全国II卷文，4】设非零向量，满足则 A.⊥ B. C. ∥ D. ‎ ‎【答案】A ‎2.【2017全国II卷理，12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎ ‎3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【考点】 平面向量数量积运算 ‎【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用． 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求，，进而解得．‎ ‎4. 【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足 =1，=，则的最大值是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知 ‎，得，又 ‎，它表示圆上点与点距离平方的，，故选B．‎ 考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题. ‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时动点的轨迹是圆，，因此可用圆的性质得出最值．‎ ‎5.【2015高考福建，理9】已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）‎ A．13 B．15 C．19 D．21‎ ‎【答案】A ‎【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．‎ ‎【名师点睛】本题考查平面向量线性运算和数量积运算，通过构建直角坐标系，使得向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合，同时将数量积的最大值问题转化为函数的最大值问题，本题容易出错的地方是对的理解不到位，从而导致解题失败．‎ ‎6.【2015高考湖南，理8】已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（ ）‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎【答案】B.‎ ‎【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中 档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的 最值问题，即圆上的动点到点距离的最大值.‎ ‎7.【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．‎ ‎【答案】4，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设向量的夹角为，由余弦定理有：，‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 令，则，‎ 据此可得：，‎ 即的最小值是4，最大值是．‎ ‎【考点】平面向量模长运算 ‎【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式， 解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．‎ ‎8.【2017北京文，12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】所以最大值是6. ‎ ‎9.【2017江苏，13】在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】直线与圆，线性规划 ‎【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎10.【2017全国I卷理，13】已知向量，的夹角为，，，则________．‎ 【答案】 【解析】 ‎ ∴‎ ‎11.【2017全国I卷文，13】已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题得，因为，所以，解得 ‎【考点】平面向量的坐标运算 ，垂直向量 ‎【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则ab的充要条件是x1x2+y1y2＝0．‎ ‎12．【2017全国Ⅲ卷文，13】已知向量，且，则m= .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得：.‎ ‎【考点】向量数量积 ‎【名师点睛】(1)向量平行：，,‎ ‎(2)向量垂直：，‎ ‎(3)向量加减乘： ‎ ‎13.【2017山东理，12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ .‎ ‎2.由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．‎ ‎3.本题主要利用向量的模与向量运算的灵活转换，应用平面向量的夹角公式，建立的方程.‎ ‎14.【2017天津理，13】在中，，，.若，，且，则的值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 15．【2016高考浙江理数】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若对任意单位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,则a·b的最大值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，即最大值为 考点：平面向量的数量积．‎ ‎【易错点睛】在两边同时平方，转化为的过程中，很容易忘记右边的进行平方而导致错误．‎ ‎16.【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 分别在线段 和 上,且, 则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.‎ ‎17.【2015高考浙江，理15】已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意，，则 ‎ ， ， ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【考点定位】1.平面向量的模长；2.函数的最值 ‎【名师点睛】本题主要考查了以平面向量模长为背景下的函数最值的求解，属于较难题，分析题意可得问 题等价于当且仅当，时取到最小值1，这是解决此题的关键突破口，也是最 小值的本质，两边平方后转化为一个关于，的二元二次函数的最值求解，此类函数最值的求解对考生 来说相对陌生，此时需将其视为关于某个字母的二次函数或利用配方的方法求解，关于二元二次 函数求最值的问题，在14年杭州二模的试题出现过类似的问题，在复习时应予以关注.‎ ‎18.【2015高考上海，文13】已知平面向量、、满足，且，则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】平向量的模，向量垂直.‎ ‎【名师点睛】本题考查分析转化能力.设向量、、的坐标，用坐标表示，利用辅助角公式求三角函数的最值.即可求得的最大值.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1．【江西省赣州市红色七校2017-2018届高三第一次联考数学（文）试题】已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则的取值范围是（ ）‎ A. [-1，0] B. [-1，2] C. [-1，3] D. [-1，4]‎ ‎【答案】C ‎ 2．【全国名校大联考2018届高三第二次联考数学（理）试题】设向量满足， ， ，则的最大值等于（ ）‎ A. 4 B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为， ，所以,.‎ 如图所以，设，则,,.‎ 所以，所以，所以四点共圆.‎ 不妨设为圆M，因为,所以.‎ 所以,由正弦定理可得的外接圆即圆M的直径为.‎ 所以当为圆M的直径时， 取得最大值4.‎ 故选A.‎ 点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．‎ ‎3．【山东省德州市2017-2018学年高三年级上学期期中预测数学（文科）试题】已知向量， 夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|-|，则|t-|+|t-|（t∈R）的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 4．【河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试（期中）数学（文）试题】已知是边长为4的等边三角形， 为平面内一点，则的最小值为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 如图建立坐标系， ，设，‎ 则，‎ ‎，‎ 最小值为，故选B。‎ 点睛：已知图形的向量问题采用坐标法，可以将几何问题转化为计算问题，数形结合的思想应用。坐标法后得到函数关系，求函数的最小值。向量问题的坐标化，是解决向量问题的常用方法。‎ ‎5．【河北省武邑中学2018届高三上学期第二次调研数学（理）试题】设为单位向量且相互垂直，若向量满足，则的最大值是（ ）‎ A. B. 2 C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎ 6．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考数学（理）试题】已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵O是锐角△ABC的外心，‎ ‎∴O在三角形内部，不妨设锐角△ABC的外接圆的半径为1，‎ 又，‎ ‎∴||=| |，‎ 可得=++2mn⋅，‎ 而⋅=||⋅||cos∠A0B<||⋅||=1.‎ ‎∴1=++2mn⋅<+2mn，‎ ‎∴ <−1或 >1，如果 >1则O在三角形外部，三角形不是锐角三角形，‎ ‎∴ <−1，故选：C.‎ ‎7．【江西省南昌市2018届上学期高三摸底考试文科数学试卷】已知是圆上的动点，且，若点的坐标是，则的最大值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 8．【浙江省名校协作体2017-2018学年高二上学期考试数学试题】已知坐标平面上的凸四边形满足，那么的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得， 由于是凸四边形，所以AC与BD相交于点O，如下图,设OA=x,OB=y, ‎ ‎== ，选C.‎ ‎9．【安徽省蒙城县2018届高三上学期“五校”联考数学（文）试题】在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点不重合），若，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 10．【全国名校大联考2017-2018年度高三第二次联考数学（文）试题】已知的三边垂直平分线交于点， 分别为内角的对边，且，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ 11．【河北省衡水中学2018届高三上学期二调考试数学（理）试题】已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，设， 的外接圆的半径为1， .‎ ‎ 12．【河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（理）试题】已知两个不共线的向量满足， ， .‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ 试题解析：解：（1）由条件知， ，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以 ，故 .‎ ‎（2）由，得，‎ 即，‎ 即， ，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，‎ ‎，即，又因为，所以.‎