内蒙古包钢一中2020届高三上学期10月月考数学（理）试卷

内蒙古包钢一中2020届高三上学期10月月考数学（理）试卷

数学（理科）试卷 注意事项：‎ ‎1.本试卷共分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级涂写在答题卡上.本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，务必直接填写在答题纸上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.回答第Ⅱ卷时，将答案直接填写在对应的答题纸上，写在本试卷上无效.‎ ‎4.考试结束后，只需将答题纸交回.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.‎ ‎1.设集合，，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将等价转化为范围问题，再利用集合关系判断充分不必要条件．‎ ‎【详解】，则“”是“”的充分不必要条件 故选A ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，根据集合关系判断是解决问题的关键，属于基础题．‎ ‎2.如图所示的韦恩图中是非空集合，定义集合A*B为阴影部分表示的集合．若,则A*B（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ A*B，选D.‎ ‎3.下列函数中既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 是奇函数,但是,[−1,1]上单调增函数．‎ 不是奇函数，‎ 对于,因为,所以是奇函数,在[−1,1]上单调减函数，‎ 是偶函数,[−1,1]上单调递增．‎ 故选C.‎ ‎4.设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】则函数增；‎ 则函数减；‎ 则函数减；‎ 则函数增；选D.‎ ‎【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 ‎5.已知定义域为的奇函数，则的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 奇函数定义域必关于原点对称，求出a的值．定义域有原点的奇函数必过原点 ‎【详解】奇函数定义域必关于原点对称，即 ‎，‎ 即，‎ 故选A ‎【点睛】本题考查奇函数的相关性质，属于基础题．‎ ‎6.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )‎ A. 为真命题 B. 为真命题 C. 为真命题 D. 为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.‎ ‎【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，‎ 对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，‎ 又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，‎ 由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由 ‎，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，‎ 有，‎ 又由在上单调递增，则有，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．‎ ‎8.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，则为奇函数，故其图象关于原点对称，排除C；当时，，，故，故排除A、D，‎ 故选B.‎ 考点：函数的图象.‎ ‎9.下列五个命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎（1）若是奇函数，则的图像关于轴对称；‎ ‎（2）若，则；‎ ‎（3）若函数对任意满足，则8是函数的一个周期；‎ ‎（4）命题“存在，”的否定是“任意，”；‎ ‎（5）已知函数，若，则.‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数奇偶性的性质判断①；由对数函数的性质结合不等式判断②；由已知求出函数的周期判断③；写出命题的否定判断④；由函数的奇偶性及单调性即可判断⑤．‎ ‎【详解】解：①若是奇函数，则是偶函数，其图象关于轴对称，故①正确；‎ ‎②若，则，，则，故②错误；‎ ‎③若函数对任意满足，则，‎ ‎，则8是函数的一个周期，故③正确；‎ ‎④命题“存在，”的否定是“任意，”，故④错误．‎ ‎⑤因为，所以，即为奇函数，且恒成立，故在定义域上单调递增，若，即，‎ 所以，所以，故⑤正确；‎ 真命题的个数是3个．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判定方法，考查函数的性质，属于中档题．‎ ‎10.已知函数，下列结论中错误的是（ ）‎ A. 的图像关于点中心对称 B. 的图像关于直线对称 C. 的最大值为 D. 既是奇函数，又是周期函数 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：对于选项，只需考虑即可，而，故正确；‎ 对于选项，‎ 只需考虑是否成立即可，‎ 而，故正确；‎ 对于选项，‎ ‎，‎ 故是奇函数，有，故周期是，故正确；‎ 对于选项，‎ ‎，‎ 令，则，求导，令解得，故在上单增，在与上单减，又当时；又当时，故C错误.‎ 考点：1.三角函数的对称性、周期性、奇偶性；2.函数的最值求解.‎ ‎11.若将函数y＝2cosx（sinx+cosx）﹣1的图象向左平移个单位，得到函数是偶函数，则的最小正值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式化简函数解析式为，利用函数平移法则可得，由奇偶性可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】化简函数 ‎ ，‎ 向左平移个单位可得，‎ 因为是偶函数，‎ ‎，，‎ 由可得 的最小正值是，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及三角函数图象的“平移变换”法则，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2） 时，是偶函数.‎ ‎12.已知函数导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由导函数为偶函数，得出，由，得出，将问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围，然后作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出实数的取值范围．‎ ‎【详解】，，‎ 导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，‎ ‎，令，即，得.‎ 问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围．‎ ‎，令，得，列表如下：‎ 极大值 所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，，‎ 又，，显然，，如下图所示：‎ 结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，本题的关键在于利用参变量分离的方法，将问题转化为直线与函数的图象的交点个数，在画函数的图象中，需要用到导数研究函数的单调性、极值以及端点值，通过这些来确定函数图象，考查数形结合思想，属于中等题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡上.‎ ‎13.若，则__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎ ， ，则.‎ ‎14.已知是上的增函数，那么实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，当时，为增函数，则，解得，当时，为增函数，则，又由函数是上的增函数，则当时，，解得，综上所述，实数的取值范围是.‎ 考点：函数的单调性及其应用.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性及其应用，其中解答中涉及到分段的解析式，一次函数的单调性、对数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记一次函数和对数函数的单调性，以及分段函数的单调性的判断方法是解答的关键，试题属于中档试题.‎ ‎15.已知定义在上的函数同时满足下列三个条件：（1）；（2）对任意都有；（3）时，则______；不等式的解集为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 给已知中的等式中的，都赋值3求出；给，都赋值求出．‎ 再证明函数的单调性，利用函数单调性的定义证明，只要将，利用已知中的等式及时，函数值的符号证出．）将不等式中的用代替；利用已知等式将用一个函数值代替，利用函数的单调性脱去，求出不等式的解集．‎ 详解】解：令得，‎ ‎，‎ 令得，‎ 设，，‎ 当时，，‎ 则，‎ 在上为减函数．‎ 因为，‎ 所以 所以 不等式等价于，解得，即．‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出的形式，属于中档题．‎ ‎16.已知函数若的两个零点分别为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，‎ 所以令得：，‎ 所以直线和曲线 的交点横坐标，‎ 直线和曲线的交点横坐标为，‎ 如图，两曲线关于对称，直线和关于对称；‎ 所以；‎ 所以．‎ 考点：函数的零点问题．‎ 点睛：本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及知识函数与对数函数的图象与性质，函数零点的概念，两条直线的位置关系等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中正确作出函数的图象是解答问题的关键．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.‎ ‎17.已知函数．‎ ‎（1）当时，求该函数的值域；‎ ‎（2）若对于恒成立，求的取值范围;‎ ‎【答案】（1）（2）m≤0‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）换元，令，将函数转化为关于的二次函数，由二次函数的性质，‎ ‎　　即可求得函数的值域；‎ ‎（2）换元，令，将不等式转化为含参的一元二次不等式恒成立问题，通过分离参数法，将其再转化为求函数的最值，即可求出．‎ ‎【详解】（1）因为，令，因为，所以， ‎ 此时，．，∵∴‎ 所以函数的值域为；‎ ‎（2）对于对于x∈[4，16]恒成立，令，‎ 即2t2﹣3t+1≥mt对t∈[1，2]恒成立，∴对恒成立．‎ 由对勾函数的单调性可知，在上单调递增，‎ ‎∴g（t）min＝g（1）＝0，∴m≤0．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的运算性质、二次函数值域的求解，一元二次不等式恒成立问题的解法等，解题关键是通过换元将含对数式的函数转化为二次函数，含对数式的不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，意在考查学生的转化与化归以及数学运算能力．‎ ‎18.在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，直线过定点且倾斜角为，交曲线于两点．‎ ‎（1）把曲线化成直角坐标方程，并求的值；‎ ‎（2）若，，成等比数列，求直线的倾斜角．‎ ‎【答案】(1) 答案见解析 (2) 或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x，由ρcosθ=1得x=1，联立直线与抛物线解得M，N的坐标后可求得|MN|； ‎ ‎（2）因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，∴|PA||PB|=|MN|2=16，联立直线l的参数方程与抛物线，根据参数的几何意义可得．‎ ‎【详解】解：（1）由ρ（1-cos2θ）=8cosθ得ρ2-ρ2cos2θ+ρ2sin2θ=8ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2-x2+y2=8x，即y2=4x．‎ 由ρcosθ=1得x=1，‎ 由的M（1，2），N（1，-2），∴|MN|=4．‎ ‎（2）直线l的参数方程为：(t为参数)，联立直线l的参数方程与曲线C：y2=4x，‎ 得t2sin2α-4tcosα-8=0，‎ 设A，B两点对应的参数为t1，t2，‎ 则t1+t2=，t1t2=-，‎ 因为|PA|，|MN|，|PB|成等比数列，‎ ‎∴|PA||PB|=|MN|2=16，‎ ‎∴|t1||t2|=16，∴|t1t2|=16，‎ ‎∴=16，∴sin2α=， ‎ ‎∵0≤α＜π，‎ ‎∴sinα=，‎ ‎∴α=或α=．‎ ‎【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标方程与普通方程转化的公式为；在解决直线与抛物线相交的问题时，有时利用直线参数方程的几何意义能优化运算过程，解题时应灵活应用．‎ ‎19.已知函数，关于的不等式的解集为．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）已知，且，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接对不等式化简得，然后对比它的解集，即可求出m.‎ ‎(2)直接利用柯西不等式化简．‎ 详解】（1），由题意，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ 由柯西不等式可得，‎ 所以.‎ 当且仅当，即，，时等号成立，‎ ‎ 最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式和柯西不等式，属于中档题．‎ ‎20.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若的面积，且，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；‎ ‎（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）因为，所以由，‎ 即，由正弦定理得，‎ 即，∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，∴，∴，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴ .‎ ‎21.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；‎ ‎(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）最大值为；（2）实数的取值范围是．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求得函数定义域和函数导数,将代入函数的导数,利用导数值为解方程求得的值.再根据函数的单调性求出函数在区间上的最大值.(2)对函数求导后,对分成,两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ ‎，∴‎ 在上，单调递减，在上，单调递增，‎ 所以时取极小值.所以在上单调递增，在上单调递减；‎ 又，，.‎ 当时，在的最大值为 ‎ ‎（2）由于 ‎①当时，，是增函数，‎ 且当时，‎ 当时，，‎ ‎，取，则，‎ 所以函数存在零点 ‎ ‎②时，，.在上，单调递减，‎ 在上，单调递增，‎ 所以时取最小值.解得 综上所述：所求的实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.‎ ‎22.已知函数，且直线是函数的一条切线.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）对任意的，都存在，使得，求的取值范围；‎ ‎（3）已知方程有两个根，若，求证:.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ;(3) 详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）对函数求导，，设直线与函数相切与点，根据导数的几何意义可得，‎ ‎，解得，求出；（2）对任意的 ，都存在，使得，只需要的值域是值域的子集，利用导数的方法分别求、的值域，即可求出的取值范围；（3）根据题意得,两式相减得，，所以，令，则，则，令，对求导，判断的单调，证明.‎ 试题解析：(1)设直线与相切于点，依题意得，解得，所以，经检验：符合题意.‎ ‎(2) 由（1）得，所以，当，时，，所以在上单调递减，所以当时，‎ ‎ ，，当时，，所以在上单调递增，所以当时，‎ ‎，依题意得 ，所以，解得.‎ ‎(3) 依题意得,两式相减得，所以，方程可转化为，即，令，则，则，令，因为，所以在上单调递增，所以，所以，即.‎