2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷

2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷

‎2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）‎ ‎1．（3分）|（﹣3）﹣5|等于（　　）‎ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8‎ ‎2．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6‎ ‎5．（3分）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）‎ A．65° B．50° C．55° D．60°‎ ‎6．（3分）能使式子+成立的x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2‎ ‎7．（3分）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）下面几何体的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定 ‎10．（3分）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（　　）‎ A．120° B．100° C．60° D．30°‎ ‎11．（3分）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）‎ A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8‎ ‎12．（3分）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（　　）‎ A．18或10 B．18 C．10 D．26‎ ‎　‎ 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）分解因式：xy2+8xy+16x=　 　．‎ ‎14．（3分）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．‎ ‎15．（3分）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　 　．‎ ‎16．（3分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）‎ ‎17．（6分）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．‎ ‎18．（6分）已知平行四边形ABCD．‎ ‎（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．‎ ‎19．（10分）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：‎ ‎（1）求此次抽查的学生人数；‎ ‎（2）将图2补充完整，并求图1中的x；‎ ‎（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）‎ ‎20．（10分）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）‎ ‎21．（10分）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．‎ ‎（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．‎ ‎22．（10分）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．‎ ‎（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；‎ ‎（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．‎ ‎23．（12分）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．‎ ‎（1）求证：AM是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．‎ ‎24．（12分）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，‎ 即S△ABC=absin∠C[来源:Zxxk.Com]‎ 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：‎ 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：‎ ‎（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ 解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　 　；‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　 　．‎ ‎（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．‎ ‎25．（12分）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．‎ ‎（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；‎ ‎（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．‎ ‎（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．‎ ‎26．（14分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；‎ ‎（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017年内蒙古赤峰市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共计36分）‎ ‎1．（3分）（2017•赤峰）|（﹣3）﹣5|等于（　　）‎ A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8‎ ‎【分析】根据分式的减法和绝对值可以解答本题．‎ ‎【解答】解：|（﹣3）﹣5|‎ ‎=|﹣3﹣5|‎ ‎=|﹣8|‎ ‎=8，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查有理数的减法和绝对值，解答本题的关键是明确有理数减法的计算方法．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2017•赤峰）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2017•赤峰）风景秀美的赤峰有“草原明珠”的美称，赤峰市全域总面积为90021平方公里．90021用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.0021×105 B．9.0021×104 C．90.021×103 D．900.21×102‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：90021用科学记数法表示为9.0021×104．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2017•赤峰）下列运算正确的是（　　）‎ A．3x+2y=5（x+y） B．x+x3=x4 C．x2•x3=x6 D．（x2）3=x6‎ ‎【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的计算法则计算，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；‎ B、不是同类项不能合并，故B错误；‎ C、x2•x3=x5，故C错误；‎ D、（x2）3=x6，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2017•赤峰）直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，若∠1=35°，则∠2等于（　　）‎ A．65° B．50° C．55° D．60°‎ ‎【分析】先根据直角为90°，即可得到∠3的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC的直角顶点C在直线a上，∠1=35°，‎ ‎∴∠3=90°﹣35°=55°，‎ 又∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠3=55°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行同位角相等．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2017•赤峰）能使式子+成立的x的取值范围是（　　）‎ A．x≥1 B．x≥2 C．1≤x≤2 D．x≤2‎ ‎【分析】根据二次根式的意义：被开方数大于等于0，就可以求解．[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：1≤x≤2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2017•赤峰）小明向如图所示的正方形ABCD区域内投掷飞镖，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．如果小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积=S△CEB，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：连接BE，‎ 可得，AE=BE，∠AEB=90°，‎ 且阴影部分面积=S△CEB=S△BEC=S正方形ABCD，‎ 故小明投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了几何概率，正确利用正方形性质得出阴影部分面积=S△CEB是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2017•赤峰）下面几何体的主视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎【解答】解：从正面看，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单主题的三视图，从正面看得到的图形是主视图．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2017•赤峰）点A（1，y1）、B（3，y2）是反比例函数y=图象上的两点，则y1、y2的大小关系是（　　）‎ A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定 ‎【分析】根据反比例函数图象的增减性进行填空．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=中的9＞0，‎ ‎∴经过第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，‎ 又∵A（1，y1）、B（3，y2）都位于第一象限，且1＜3，‎ ‎∴y1＞y2，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数图象与系数的关系以及函数图象的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2017•赤峰）如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2，则∠A=（　　）‎ A．120° B．100° C．60° D．30°‎ ‎【分析】连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF∥BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠A=2∠BAO．‎ ‎【解答】解：‎ 连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵A沿EF折叠与O重合，‎ ‎∴EF⊥AC，EF平分AO，‎ ‎∵AC⊥BD，‎ ‎∴EF∥BD，‎ ‎∴E、F分别为AB、AD的中点，‎ ‎∴EF为△ABD的中位线，‎ ‎∴EF=BD，‎ ‎∴BD=2EF=4，‎ ‎∴BO=2，‎ ‎∴AO==2，‎ ‎∴AO=AB，‎ ‎∴∠ABO=30°，‎ ‎∴∠BAO=60°，‎ ‎∴∠BAD=120°．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2017•赤峰）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（　　）‎ A．y=2x﹣5 B．y=2x+5 C．y=2x+8 D．y=2x﹣8‎ ‎【分析】根据函数图象上加下减，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 y=2x﹣3+8，‎ 即y=2x+5，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律是解题关键．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2017•赤峰）正整数x、y满足（2x﹣5）（2y﹣5）=25，则x+y等于（　　）‎ A．18或10 B．18 C．10 D．26‎ ‎【分析】易得（2x﹣5）、（2y﹣5）均为整数，分类讨论即可求得x、y的值即可解题．‎ ‎【解答】解：∵x、y是正整数，且最小的正整数为1，‎ ‎∴2x﹣5是整数且最小整数为﹣3，2y﹣5是整数且最小的整数为﹣3‎ ‎∵25=1×25，或25=5×5，‎ ‎∴存在两种情况：①2x﹣5=1，2y﹣5=25，解得：x=3，y=15，；‎ ‎②2x﹣5=2y﹣5=5，解得：x=y=5；‎ ‎∴x+y=18或10，‎ 故选 A．‎ ‎【点评】本题考查了整数的乘法，本题中根据25=1×25或25=5×5分类讨论是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）（2017•赤峰）分解因式：xy2+8xy+16x=　x（y+4）2　．‎ ‎【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．‎ ‎【解答】解：xy2+8xy+16x ‎=x（y2+8y+16）‎ ‎=x（y+4）2．‎ 故答案为：x（y+4）2．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2017•赤峰）如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜2　．‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，‎ 解得：m＜2．‎ 故答案为：m＜2．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2017•赤峰）数据5，6，5，4，10的众数、中位数、平均数的和是　16　．‎ ‎【分析】根据众数、中位数和平均数的概念分别求出这组数据的众数、中位数和平均数，再相加即可．‎ ‎【解答】解：数据5出现了2次，次数最多，所以众数是5；‎ 数据按从小到大排列为4，5，5，6，10，中位数为5；‎ 平均数=（5+6+5+4+10）÷5=6；‎ ‎5+5+6=16．‎ 故答案为16．‎ ‎【点评】本题考查了平均数，中位数，众数的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2017•赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P'（﹣y+1，x+2），我们把点P'（﹣y+1，x+2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为　（2，0）　．‎ ‎【分析】求得点P2、P3、P4、P5的值，即可发现其中规律，即可解题．‎ ‎【解答】解：P1 坐标为（2，0），则P2坐标为（1，4），P3坐标为（﹣3，3），P4坐标为（﹣2，﹣1），P5坐标为（2，0），‎ ‎∴Pn的坐标为（2，0），（1，4），（﹣3，3），（﹣2，﹣1）循环，‎ ‎∵2017=2016+1=4×504+1，‎ ‎∴P2017 坐标与P1点重合，‎ 故答案为（2，0）．‎ ‎【点评】本题考查了学生发现点的规律的能力，本题中找到Pn坐标得规律是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共10题，满分102分）‎ ‎17．（6分）（2017•赤峰）（﹣）÷，其中a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°．‎ ‎【分析】先化简分式，然后再化简a的值，从而可求出原式的值．‎ ‎【解答】解：原式=×﹣×‎ ‎=﹣‎ ‎=‎ 由于a=2017°+（﹣）﹣1+tan30°，‎ ‎∴a=1﹣5+3=﹣1‎ ‎∴原式=﹣=﹣2‎ ‎【点评】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2017•赤峰）已知平行四边形ABCD．‎ ‎（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）在（1）的条件下，求证：CE=CF．‎ ‎【分析】（1）作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F即可；‎ ‎（2）先根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AD∥BC，故∠1=∠2，∠3=∠‎ ‎4．再由AF平分∠BAD得出∠1=∠3，故可得出∠2=∠4，据此可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，AF即为所求；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DC，AD∥BC，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4．‎ ‎∵AF平分∠BAD，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∴CE=CF．‎ ‎【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（10分）（2017•赤峰）为了增强中学生的体质，某校食堂每天都为学生提供一定数量的水果，学校李老师为了了解学生喜欢吃哪种水果，进行了抽样调查，调查分为五种类型：A喜欢吃苹果的学生；B喜欢吃桔子的学生；C．喜欢吃梨的学生；D．喜欢吃香蕉的学生；E喜欢吃西瓜的学生，并将调查结果绘制成图1和图2 的统计图（不完整）．请根据图中提供的数据解答下列问题：‎ ‎（1）求此次抽查的学生人数；‎ ‎（2）将图2补充完整，并求图1中的x；‎ ‎（3）现有5名学生，其中A类型3名，B类型2名，从中任选2名学生参加体能测试，求这两名学生为同一类型的概率（用列表法或树状图法）‎ ‎【分析】（1）根据百分比=计算即可；‎ ‎（2）求出B、C的人数画出条形图即可；‎ ‎（3）利用树状图，即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）此次抽查的学生人数为16÷40%=40人．‎ ‎（2）C占40×10%=4人，B占20%，有40×20%=8人，‎ 条形图如图所示，‎ ‎（3）由树状图可知：两名学生为同一类型的概率为=．‎ ‎【点评】本题考查列表法、树状图法、扇形统计图、条形统计图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•赤峰）王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图1所示．已知AC=20cm，BC=18cm，∠ACB=50°，王浩的手机长度为17cm，宽为8cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）‎ ‎【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以求得AD和CD的长，进而可以求得DB的长，然后根据勾股定理即可得到AB的长，然后与17比较大小，即可解答本题．‎ ‎【解答】解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内．‎ 理由：作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵∠C=50°，AC=20cm，‎ ‎∴AD=AC•sin50°=20×0.8=16cm，‎ CD=AC•cos50°=20×0.6=12cm，‎ ‎∵BC=18cm，‎ ‎∴DB=BC﹣CD=18﹣12=6cm，‎ ‎∴AB==，‎ ‎∵17=＜，‎ ‎∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三角形的相关知识解答．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•赤峰）如图，一次函数y=﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC．‎ ‎（1）若点C在反比例函数y=的图象上，求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点P（2，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在，请加以说明．‎ ‎【分析】（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；‎ ‎（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）在y=﹣x+1中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，‎ ‎∴A（，0），B（0，1），‎ ‎∴tan∠BAO===，‎ ‎∴∠BAO=30°，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴∠CAO=90°，‎ 在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴C（，2），‎ ‎∵点C在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k=2×=2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=；‎ ‎（2）∵P（2，m）在第一象限，‎ ‎∴AD=OD﹣OA=2﹣=，PD=m，‎ 当△ADP∽△AOB时，则有=，即=，解得m=1，此时P点坐标为（2，1）；‎ 当△PDA∽△AOB时，则有=，即=，解得m=3，此时P点坐标为（2，3）；‎ 把P（2，3）代入y=可得3≠，‎ ‎∴P（2，3）不在反比例函数图象上，‎ 把P（2，1）代入反比例函数解析式得1=，‎ ‎∴P（2，1）在反比例函数图象上；‎ 综上可知P点坐标为（2，1）．‎ ‎【点评】本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．‎ ‎（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；‎ ‎（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．‎ ‎【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；‎ ‎（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．‎ ‎【解答】解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，‎ 依题意得：=，‎ 解得x=5．‎ 经检验x=5是原方程的解，且符合题意．‎ 答：梨树苗的单价是5元；‎ ‎（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买（1100﹣a）棵，‎ 依题意得：（5+2）（1100﹣a）+5a≤6000，‎ 解得a≥850．‎ 答：梨树苗至少购买850棵．‎ ‎【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•赤峰）如图，点A是直线AM与⊙O的交点，点B在⊙O上，BD⊥AM垂足为D，BD与⊙O交于点C，OC平分∠AOB，∠B=60°．‎ ‎（1）求证：AM是⊙O的切线；‎ ‎（2）若DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．‎ ‎【分析】（1）由已知条件得到△BOC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠1=∠2=60°，由角平分线的性质得到∠1=∠3，根据平行线的性质得到∠‎ OAM=90°，于是得到结论；‎ ‎（2）根据等边三角形的性质得到∠OAC=60°，根据三角形的内角和得到∠CAD=30°，根据勾股定理得到AD=2，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠B=60°，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴∠1=∠2=60°，‎ ‎∵OC平分∠AOB，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴OA∥BD，‎ ‎∴∠BDM=90°，∴∠OAM=90°，‎ ‎∴AM是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠3=60°，OA=OC，‎ ‎∴△AOC是等边三角形，‎ ‎∴∠OAC=60°，‎ ‎∵∠OAM=90°，‎ ‎∴∠CAD=30°，‎ ‎∵CD=2，‎ ‎∴AC=2CD=4，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∴S阴影=S梯形OADC﹣S扇形OAC=（4+2）×2﹣=6﹣．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•赤峰）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，‎ 即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：‎ 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：‎ ‎（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．‎ 解：S△DEF=EF×DFsin∠F=　6　；‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=　49　．‎ ‎（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．‎ ‎【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；‎ ‎（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；‎ 方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，‎ ‎∴EF=3，DF=8，‎ ‎∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，‎ DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，‎ 故答案为：6，49；‎ ‎（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，‎ ‎∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，‎ 两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，‎ ‎∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，‎ ‎∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，‎ ‎∴S2=S4+S3﹣S1，‎ ‎∴S1+S2=S3+S4，‎ 方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，‎ ‎∴S1=absin∠C=absin60°=ab ‎∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，‎ ‎∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，‎ ‎∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），‎ ‎∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，‎ ‎∴a2+b2=c2+ab，‎ ‎∴S1+S2=S3+S4．‎ ‎【点评】此题是三角形综合题，主要考查了新定义的理解和应用，解本题的关键是理解新定义，会用新定义解决问题．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2017•赤峰）△OPA和△OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点．‎ ‎（1）当∠AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；‎ ‎（2）将△OQB绕点O逆时针方向旋转，当∠AOB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明．‎ ‎（3）仍将△OQB绕点O旋转，当∠AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使△ABG为等边三角形如图3，求∠AOB的度数．‎ ‎【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出△APE≌△BFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；‎ ‎（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出△EPC≌△QED即可得出结论；‎ ‎（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，‎ ‎∵△APO和△BQO是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠APO=∠BQO=90°，∠AOP=∠BOQ=45°，‎ ‎∵∠AOB=90°，‎ ‎∴∠AOP+∠AOB+∠BOQ=180°，‎ ‎∴点P，O，Q在同一条直线上，‎ ‎∵∠APO=∠BQO=90°，‎ ‎∴AP∥BQ，‎ ‎∴∠PAE=∠FBE，‎ ‎∵点E是AB中点，‎ ‎∴AE=BE，‎ ‎∵∠AEP=∠BEF，‎ ‎∴△APE≌△BFE，‎ ‎∴PE=EF，‎ ‎∴点E是Rt△PQF的斜边PF的中点，‎ ‎∴EP=EQ；‎ ‎（2）成立，‎ 证明：∵点C，E分别是OA，AB的中点，‎ ‎∴CE∥OB，CE=OB，‎ ‎∴∠DOC=∠ECA，‎ ‎∵点D是Rt△OQB斜边中点，‎ ‎∴DQ=OB，‎ ‎∴CE=DQ，‎ 同理：PC=DE，∠DOC=∠BDE，‎ ‎∴∠ECA=∠BDE，‎ ‎∵∠PCE=∠EDQ，‎ ‎∴△EPC≌△QED，‎ ‎∴EP=EQ；‎ ‎（3）如图2连接GO，∵点D，C分别是OB，OA的中点，△APO与△QBO都是等腰直角三角形，‎ ‎∴CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，‎ ‎∴GB=GO=GA，‎ ‎∴∠GBO=∠GOB，∠GOA=∠GAO，‎ 设∠GOB=x，∠GOA=y，‎ ‎∴x+x+y+y+60°=360°‎ ‎∴x+y=150°，‎ ‎∴∠AOB=150°．‎ ‎【点评】‎ 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解（1）的关键是构造全等三角形，解（2）的关键是判断出CE=DQ，解（3）的关键是判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，是一道中等难度的题目．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．‎ ‎（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；‎ ‎（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；‎ ‎（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．‎ ‎【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；‎ ‎（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；‎ ‎（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），‎ ‎∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，‎ ‎∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，‎ ‎∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，‎ ‎∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，‎ ‎∴D点坐标为（0，3），‎ ‎∴可设直线BD解析式为y=kx+3，‎ 把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，‎ ‎∴直线BD解析式为y=﹣x+3；‎ ‎（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），‎ ‎∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，‎ ‎∴当m=时，PM有最大值；[来源:学#科#网]‎ ‎（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，‎ 设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），‎ ‎∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，‎ ‎∵△BOD是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DBO=45°，‎ ‎∴∠HGQ=∠BGE=45°，‎ 当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，‎ ‎∴QG=×2=4，‎ ‎∴|﹣x2+3x|=4，‎ 当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，‎ 当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，‎ ‎∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），‎ 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．‎ ‎【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．‎ ‎　‎