专题20+不等式选讲-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

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专题20+不等式选讲-2017年高考数学(理)备考学易黄金易错点

‎1.已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.‎ ‎(1)求M;‎ ‎(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.‎ ‎(1)解 f(x)= 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,即(a+b)2<(1+ab)2,因此|a+b|<|1+ab|.‎ ‎2.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.‎ 当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;‎ 当-10,解得0,解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得,f(x)= 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),‎ ‎△ABC的面积为(a+1)2.‎ 由题设得(a+1)2>6,故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2,+∞).‎ ‎3.解不等式|x+3|-|2x-1|<+1.‎ ‎4.设a,b,c均为正实数,试证明不等式++≥++,并说明等号成立的条件.‎ 解 因为a,b,c均为正实数,‎ 所以≥≥,‎ 当且仅当a=b时等号成立;‎ ≥≥,当且仅当b=c时等号成立;‎ ≥≥,当且仅当a=c时等号成立.‎ 三个不等式相加,得++≥++,‎ 当且仅当a=b=c时等号成立.‎ ‎5.若a、b、c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a、b、c中至少有一个大于0.‎ 证明 假设a、b、c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,‎ 所以a+b+c≤0.‎ 而a+b+c=(x2-2y+)+(y2-2z+)+(z2-2x+)‎ ‎=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π ‎=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3.‎ 所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,‎ 故a、b、c中至少有一个大于0.‎ 易错起源1、含绝对值不等式的解法 例1、已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.‎ ‎(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),‎ 则h(x)= 由|h(x)|≤2,解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},‎ 所以于是a=3‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.‎ ‎(1)证明:-3≤f(x)≤3;‎ ‎(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.‎ ‎(1)证明 f(x)=|x-2|-|x-5|= 当2a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a;‎ ‎(2)|f(x)|0)⇔-ay.求证:2x+≥2y+3.‎ ‎(2)已知实数x,y满足:|x+y|<,|2x-y|<,‎ 求证:|y|<.‎ 证明 (1)因为x>0,y>0,x-y>0,‎ ‎2x+-2y ‎=2(x-y)+ ‎=(x-y)+(x-y)+ ‎≥3=3,‎ 所以2x+≥2y+3,‎ ‎【变式探究】(1)若a,b∈R,求证:≤+.‎ ‎(2)已知a,b,c均为正数,a+b=1,求证:++≥1.‎ 证明 (1)当|a+b|=0时,不等式显然成立.‎ 当|a+b|≠0时,由0<|a+b|≤|a|+|b|⇒≥,所以=≤=≤+.‎ ‎(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,‎ 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),‎ 即++≥a+b+c,‎ 所以++≥1.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤:①作差;②分解因式;③与0比较;④结论.关键是代数式的变形能力.‎ ‎(2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ ‎1.含有绝对值的不等式的性质 ‎|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ ‎2.算术—几何平均不等式 定理1:设a,b∈R,则a2+b2≥2ab.当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.‎ 定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.‎ 定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1,a2,…,an为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.‎ 易错起源3、柯西不等式的应用 例3 (2015·福建)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ (4+9+1)≥2=(a+b+c)2=16,‎ 即a2+b2+c2≥.当且仅当==,‎ 即a=,b=,c=时等号成立.‎ 故a2+b2+c2的最小值为.‎ ‎【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.‎ ‎(1)解 因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,‎ 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.‎ ‎【名师点睛】‎ ‎(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.‎ ‎(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为 ‎(a+a+…+a)(++…+)≥(1+1+…+1)2=n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.‎ ‎【锦囊妙计,战胜自我】‎ 柯西不等式 ‎(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.‎ ‎(2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b ‎)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.‎ ‎1.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|-1时,不等式的解集不是空集.‎ 即实数a的取值范围是(-1,+∞).‎ ‎2.设x>0,y>0,若不等式++≥0恒成立,求实数λ的最小值.‎ 解 ∵x>0,y>0,∴原不等式可化为-λ≤(+)·(x+y)=2++.‎ ‎∵2++≥2+2=4,‎ 当且仅当x=y时等号成立.‎ ‎∴(+)(x+y)]min=4,∴-λ≤4,λ≥-4.即实数λ的最小值是-4.‎ ‎3.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.‎ 任意实数x恒成立,所以≥a2+a+2.解不等式≥a2+a+2,得-1≤a≤,故a的取值范围为-1,].‎ ‎4.设不等式|x-2||x+1|成立,求实数x的取值范围.‎ 解 由柯西不等式知 ‎12+()2+()2]a2+(b)2+(c)2]‎ ‎≥(1·a+·b+·c)2‎ 即6×(a2+2b2+3c2)≥ (a+2b+3c)2.‎ 又∵a2+2b2+3c2=6,‎ ‎∴6×6≥(a+2b+3c)2,‎ ‎∴-6≤a+2b+3c≤6,∵存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立.‎ ‎∴|x+1|<6,∴-70.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.‎ 解 (1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤-1.‎ 故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.‎ ‎(2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.‎ 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-}.‎ 由题设可得-=-1,故a=2. ‎ ‎8.已知函数f(x)=|2x-a|+a.‎ ‎(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;‎ ‎(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.‎ 解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是2,+∞).‎
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