专题24+等比数列及其前n项和（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

专题24+等比数列及其前n项和（题型专练）-2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍

‎1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D．3‎ ‎【解析】因为S1，S2＋a2，S3成等差数列，所以2(S2＋a2)＝S1＋S3,2(a1＋a2＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，a3＝3a2，q＝3。选D。‎ ‎【答案】D ‎2．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)‎ A．12 B．10‎ C．8 D．2＋log35‎ ‎【答案】B ‎3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ ‎【解析】∵ ‎∴ 由(1)除以(2)可得＝2，解得q＝，‎ 代入(1)得a1＝2，∴an＝2×n－1＝，‎ ‎∴Sn＝＝4，‎ ‎∴＝＝2n－1，选D。 ‎ ‎【答案】D ‎7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于(　　)‎ A．－3 B．5‎ C．－31 D．33‎ ‎【答案】D ‎8．设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于(　　)‎ A．－2 B．－1‎ C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q＝－1(舍去)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1，故选B.‎ ‎9．在等比数列{an}中，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D．－或 ‎【答案】D ‎【解析】由a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，可得a2＋a16＝－6，a2×a16＝2，显然两根同为负值，aq16＝2，即有a＝2，则的值为a9＝±.故选D.‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，n∈N*，则(　　)‎ A．{an}是递增的等比数列 B．{an}是递增数列，但不是等比数列 C．{an}是递减的等比数列 D．{an}不是等比数列，也不单调 ‎【答案】B ‎11．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10等于(　　)‎ A．5 B．9‎ C．log345 D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，‎ 则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10.‎ ‎12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了(　　)‎ A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 ‎【答案】B ‎【解析】设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝，‎ 由题意得＝378，‎ 解得a1＝192，则a2＝192×＝96，‎ 即第二天走了96里，故选B.‎ ‎13．已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且S2＝3，S4＝15，则a3＝________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】S4－S2＝a3＋a4＝12，S2＝a1＋a2＝3，‎ ‎∴＝q2＝＝4，q＝2或q＝－2(舍去)，‎ ‎∴a3＋a4＝a3(1＋q)＝3a3＝12，a3＝4.‎ ‎14．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．‎ ‎【答案】4‎ ‎15．已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和为________．‎ ‎【答案】2n－1‎ ‎【解析】设等比数列的公比为q，则有 解得或又{an}为递增数列，∴ ‎∴数列{an}的前n项和为＝2n－1.‎ ‎16．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵an＋Sn＝1，①‎ ‎∴an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②‎ 由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，‎ 又a1＝，‎ ‎∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，‎ 则an＝×n－1＝.‎ ‎17．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝__________，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝__________。‎ ‎【解析】由题意得公比q3＝＝8，q＝2，an＝2·2n－1＝2n。因此bn＝n，Sn＝。‎ ‎【答案】2n　 ‎18．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝S5，则S2 014＝__________。‎ ‎【解析】根据数列前n项和的定义知S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝a5，故a1＋a2＋a3＋a4＝0，即a1(1＋q＋q2＋q3)＝a1(1＋q)(1＋q2)＝0，从而1＋q＝0，q＝－1，所以这个等比数列的相邻两项的和都是0，所以S2 014＝0。 ‎ ‎23．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝。‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在正整数n，使得Sn－Sn＋2＝成立，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由。‎ ‎24．在数列{an}中，a1＝－，2an＝an－1－n－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋n。‎ ‎(1)证明：数列{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求数列{nbn}的前n项和Tn；‎ ‎(3)若cn＝n－an，Pn为数列{}的前n项和，求不超过P2 014的最大的整数。‎ ‎【解析】(1)证明：由2an＝an－1－n－1两边加2n得，‎ ‎2(an＋n)＝an－1＋n－1，‎ 所以＝，即＝。‎ 故数列{bn}是公比为的等比数列，其首项为b1＝a1＋1＝－＋1＝，所以bn＝n。‎ ‎ ‎