专题22+数列的概念与表示法（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题22+数列的概念与表示法（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎1．数列1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)‎ B．an＝(－1)n－1(n∈N*)‎ C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)‎ D．an＝(－1)n－1(n∈N*)‎ ‎【答案】D ‎【解析】观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D。‎ ‎2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)‎ A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项和第6项 ‎【答案】D ‎【解析】令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6。‎ ‎3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B.n－1‎ C．n2 D．n ‎【答案】D ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝(　　)‎ A．36 B．35‎ C．34 D．33‎ ‎【答案】C ‎【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34。‎ ‎5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，6) B．(－∞，4‎ C．(－∞，5) D．(－∞，3‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4。‎ ‎6．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为(　　)‎ A. B. C．10 D．21‎ ‎【答案】B ‎＝6＋－1＝，所以f(5)＞f(6)，所以当n＝6时，有最小值。 学……&科网 ‎7．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　　)‎ A．1，，，，…‎ B．－1，－2，－3，－4，…‎ C．－1，－，－，－，…‎ D．1，，，…， ‎【答案】C　‎ ‎【解析】根据定义，属于无穷数列的是选项A，B，C，属于递增数列的是选项C，D，故同时满足要求的是选项C．‎ ‎8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)‎ A．31　　　　　　　 B． 42‎ C．37 D．47‎ ‎【答案】D　‎ ‎9．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．‎ 图511‎ 则第7个三角形数是(　　) ‎ A．27 B．28‎ C．29 D．30‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.‎ ‎10．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B． C．n2 D．n ‎【答案】D　‎ ‎【解析】∵an＝n(an＋1－an)，∴＝，‎ ‎∴an＝···…···a1‎ ‎＝···…···1＝n.‎ ‎11．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2 019项的乘积a1·a2·a3·…·a2 019＝(　　)‎ A． B．－ C．3 D．－3‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由题意可得，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，‎ ‎∴数列{an}是以4为周期的数列，而2 019＝4×504＋3，a1a2a3a4＝1，‎ ‎∴前2 019项的乘积为1504·a1a2a3＝3.‎ ‎12．在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的第______项．‎ ‎【答案】10　‎ ‎【解析】令＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，‎ 则(2n－5)(n－10)＝0，解得n＝10或n＝(舍去)．‎ ‎∴a10＝0.08. ‎ ‎13．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an＝__________. ‎ ‎【答案】　‎ ‎14．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，则a20的值是(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1得nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan，又因为1×a1＝1,2×a2－1×a1＝5，所以数列{nan}是首项为1，公差为5的等差数列，则20a20＝1＋19×5，解得a20＝，故选D.‎ ‎15．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎【答案】B　‎ ‎16．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝。‎ ‎17．已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，则该数列的通项公式an＝__________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵an－1－an＝(n≥2)，‎ ‎∴＝。‎ ‎∴－＝－。‎ ‎∴－＝－，－＝－，…，－＝－。‎ ‎∴－＝1－。∴＝3－。‎ ‎∴an＝。‎ ‎18．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为__________。‎ ‎1‎ ‎3　3‎ ‎5　6　5‎ ‎7　11　11　7‎ ‎9　18　22　18　9‎ ‎…‎ ‎【答案】n2－2n＋3‎ ‎【解析】由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，‎ ‎∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3。 学……&科网 ‎19．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求数列{an}的通项公式。‎ ‎20．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.‎ ‎【答案】28　‎ ‎【解析】依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.‎ ‎21．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围. ‎ ‎【解析】(1)由n2－5n＋4<0，‎ 解得1an知该数列是一个递增数列，‎ 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3.‎ 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．‎ ‎22．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4。‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值。‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围。‎ ‎23．设函数f(x)＝log2x－logx2(0－＝an。可知an＋1>an(n∈N*)，故此数列为递增数列。‎ 方法二：由＝ ‎＝<1，且an<0，得an＋1>an。‎ ‎24．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【解析】　(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.‎ 因为a1也适合此等式，‎ 所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，‎ 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n. ‎ ‎25．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2，a3，a4的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 公差为1的等差数列，故an＝n. ‎