数学理卷·2018届福建省闽侯第一中学高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届福建省闽侯第一中学高三上学期期中考试（2017

‎2018届高三第一学期期中质量检测 数学(理科)试卷 ‎（共5页；完卷时间120分钟；满分150分） ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ ‎1.已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（　　）‎ A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}‎ ‎2.若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎4.已知d为常数，p：对于任意n∈N*，an+2﹣an+1=d；q：数列 {an}是公差为d的等差数列，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（　　）‎ A．6 B．‎7 ‎C．8 D．9‎ ‎6.函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.O为△ABC内一点，且2++=， =t，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为‎2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]‎ ‎10.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＜b），在R上是单调递增函数，则的最小值是（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎11.设f（x）=，g（x）=ax+3﹣‎3a（a＞0），若对于任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[2，+∞） B．[1，2] C．[0，2] D．[1，+∞）‎ ‎12.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•ex，且f（0）=，则的最大值为（　　）‎ A．0 B． C．1 D．2‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ ‎13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足4bsinA=a，若a，b，c成等差数列，且公差大于0，则cosA﹣cosC的值为　　． ‎ ‎14.已知，则二项式展开式中的常数项是　　．‎ ‎15.如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点，则异面直线AC与DE所成角的大小为　 　．‎ ‎16.函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数，函数．若关于x的方程f（x）+g（x）=﹣2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α﹣β）的值为　　．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=1，AD=2．‎ ‎（I）若BD=，求角C；‎ ‎（II）若BC=3，CD=4，求四边形ABCD的面积．‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A）＞0，ω＞0，﹣＜φ＜的部分图象如图所示，B，C分别是图象的最低点和最高点，‎ 其中|BC|=．‎ ‎（I）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（II）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=，a=2，求△ABC周长的取值范围．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}中各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，数列{bn}的公比．‎ ‎（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{（﹣1）nan•bn}的前2n项的和．‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD；‎ ‎（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数f（x）=lnx，‎ ‎（1）当a=1时，若曲线y=f（x）在点M（x0，f（x0））处的切线与曲线y=g（x）在点P（x0，g（x0））处的切线平行，求实数x0的值；‎ ‎（2）若∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．‎ ‎22.(本小题满分10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），直线C2的方程为 y=x，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线C2与曲线C2交于P，Q两点，求|OP|•|OQ|的值．‎ ‎2018届高三第一学期期中质量检测 数学(理科)试卷参考答案 第Ⅰ卷 （选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ ‎1-5 ACAAD 6-10DBCBB 11-12 BD ‎13. 14.240 15. 16.‎ ‎17.解：（I）在△ABD中，由余弦定理得，cosA==﹣．‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴A=．‎ ‎∵四边形ABCD是圆的内接四边形，‎ ‎∴C=π﹣A=．…（6分）‎ ‎（II）因为BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=5﹣4cosA，‎ 且BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cos（π﹣A）=25+24cosA，‎ ‎∴cosA=﹣．…（9分）‎ 又0＜A＜π，‎ ‎∴sinA==．‎ ‎∴S△BCD=S△ABD+S△CBD=+=2．…（12分）‎ ‎18.解（Ⅰ）由图象可得：f（x）的周期T=[﹣（﹣）]=π，‎ 即：=π得ω，‎ 又由于B（﹣，﹣A），C（，A），∴|BC|==，∴A=2，‎ 又将C（，2）代入f（x）=2sin（2x+φ），2sin（2×+φ）=2，‎ ‎∵﹣＜φ＜解得φ=﹣，‎ ‎∴f（x）=2sin（2x﹣），‎ ‎（Ⅱ）∵f（A）=2sin（‎2A﹣）=，‎ ‎∴‎2A﹣=或‎2A﹣=，‎ 解得A=或A=（舍去）‎ 正弦定理=== 得：‎ b+c=（sinB+sinC）=[sinB+sin（B+）]=4sin（B+），‎ ‎△ABC 是锐角三角形，∴B+C=，0＜B＜，0＜C＜，‎ ‎∴＜B＜，＜B+＜‎ ‎∴2＜b+c≤4，‎ ‎∴求△ABC周长的取值范围为（2+2，6]‎ ‎19.解：（1）∵a1=3，b2+S2=12，b1=1，‎ ‎∴S2=12﹣b2=12﹣q，‎ 又∵q=，‎ ‎∴，‎ 解得：q=3或q=﹣4（舍去），S2=9，‎ d=a2﹣a1=S2﹣‎2a1=3，‎ ‎∴an=3+3（n﹣1）=3n，‎ bn=3n﹣1；‎ ‎（2）由（1）可知，cn=（﹣1）nan•bn=（﹣1）nn•3n，‎ 记数列{（﹣1）nan•bn}的前2n项的和为T2n，则 T2n=﹣1•31+2•32﹣3•33+…﹣（2n﹣1）•32n﹣1+（2n）•32n，‎ 记T2n′=2•32+4•34+…+（2n）•32n，‎ 则9T2n′=2•34+4•36+…+（2n）•32n+2，‎ 两式相减得：‎ ‎=，‎ ‎∴，‎ 同理，记T2n″=1•31+3•33+…+（2n﹣1）•32n﹣1，利用错位相减法计算可知 T2n″=+，‎ ‎∴T2n=T2n′﹣T2n″=．‎ ‎20.解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．‎ 因为PA∥BE，且PA=4，BE=2，‎ 所以BE∥AG且BE=AG，‎ 所以四边形BEGA为平行四边形．‎ 所以EG∥AB，且EG=AB．‎ 因为正方形ABCD，所以CD∥AB，CD=AB，‎ 所以EG∥CD，且EG=CD．‎ 所以四边形CDGE为平行四边形．‎ 所以CE∥DG．‎ 因为DG⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，‎ 所以CE∥平面PAD．　　…‎ ‎（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B（4，0，0），C（4，4，0），‎ E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），‎ 所以=（4，4，﹣4），=（4， 0，﹣2），=（0，4，﹣4）．‎ 设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），‎ 所以，可得．‎ 令x=1，则，所以=（1，1，2）．‎ 设PD与平面PCE所成角为a，‎ 则sinα=|cos＜，＞|=|=||=．．‎ 所以PD与平面PCE所成角的正弦值是． …‎ ‎（Ⅲ）依题意，可设F（a，0，0），则， =（4，﹣4，2）．‎ 设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则．‎ 令x=2，则，‎ 所以=（2，，a﹣4）．‎ 因为平面DEF⊥平面PCE，‎ 所以•=0，即2++‎2a﹣8=0，‎ 所以a=＜4，点．‎ 所以． …‎ ‎　‎ ‎21.解：（1）把a=1代入得，g（x）=﹣+，‎ 则f′（x）=，g′（x）=，‎ ‎∵f（x）在点M （x0，f（x0））处的切线与 g（x）在点P （x0，g（x0））处的切线平行，‎ ‎∴=，解得x0=1，‎ ‎∴x0=1，‎ ‎（2）由题意设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+﹣，‎ ‎∵∀x∈（0，e]，都有f（x）≥g（x），‎ ‎∴只要F（x）在（0，e]上的最小值大于等于0即可，‎ 则F′（x）=﹣=，由F′（x）=0得，x=a，‎ F（x）、F′（x）随x的变化情况如下表：‎ x ‎（0，a）‎ a ‎（a，+∞）‎ F′（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ F（x）‎ 递减 极大值 递增 当a≥e时，函数F′（x）在（0，e）上单调递减，F（e）为最小值，‎ ‎∴F（e）=1+﹣≥0，得a，∴a≥e 当a＜e时，函数F（x）在（0，a）上单调递减，在（a，e）上单调递增，‎ 则F（a）为最小值，所以F（a）=lna+﹣，得a≥‎ ‎∴≤a＜e，‎ 综上所述，a≥．‎ ‎22.解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 转化为普通方程：，‎ 即，‎ 则C1的极坐标方程为，‎ ‎∵直线C2的方程为，‎ ‎∴直线C2的极坐标方程．‎ ‎（2）设P（ρ1，θ1），Q（ρ2，θ2），‎ 将代入，‎ 得：ρ2﹣5ρ+3=0，‎ ‎∴ρ1•ρ2=3，‎ ‎∴|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=3．‎