黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟数学（文）试题 Word版含解析

黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟数学（文）试题 Word版含解析

- 1 - 大庆一中高三年级下学期第四次模拟考试 文科数学 一．选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知集合 ， ，则 　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简集合 ，然后计算 和 ，得到答案. 【详解】集合 ，即 , 而 ， 所以 ， 故选 C 项. 【点睛】本题考查集合的交集、并集运算，属于简单题. 2.复数 的虚部为 　　 A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数 进行化简计算，得到答案. 【详解】 所以 的虚部为 故选 B 项. 【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题. { | 1}A x x= < { | 3 1}xB x= < ( ) { }1A B x x∪ = > A B = R { | 0}A B x x= < A B∩ = ∅ B A B∪ A B∩ { | 3 1}xB x= < { }0B x x= < { | 1}A x x= < { }1A B x x∪ = < { }0A B x x∩ = < 2( 1) 4 1 iz i − += + ( ) 1− 3− z ( )( )2 4 2 1( 1) 4 4 2 1 31 1 2 i ii iz ii i − −− + −= = = = −+ + z 3− - 2 - 3.已知 p： ，q： ，且 是 的充分不必要条件，则 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集，之后根据原命题和逆否命题等价，求得 是 的充分不必要条件，再利用集合的思想，求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】由 ，解得 或 ， 因为 是 的充分不必要条件，所以 是 的充分不必要条件， 从而可得 是 的真子集， 所以 ，故选 D. 【点睛】该题考查的是有关充分条件的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，原命 题与逆否命题等价，用集合的思想解决充分条件，最后求得参数的范围，得到结果. 4.等比数列{an}中， ，则 与 的等比中项是（ ） A. ±4 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比数列{an}的性质可得 ，即可得出． 【详解】设 与 的等比中项是 x． 由等比数列 的性质可得 ， ． ∴a4 与 a8 的等比中项 故选：A． 【点睛】本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 1 2x + > x a> p¬ q¬ 1a ≤ 3a −≤ 1a ≥ − 1a≥ q p 1 2x + > 1x > 3x < − p¬ q¬ q p ( , )a +∞ −∞ − +∞( , 3) (1, ) 1a≥ 1 1 , 28a q= = 4a 8a 1 4 ± 1 4 2 6 4 8a a a＝ 4a 8a { }na 2 6 4 8a a a＝ 6x a∴ = ± 5 6 1 2 48x a ．= ± = ± × = ± - 3 - 5. 若 a＞b＞0，0＜c＜1，则 A. logac＜logbc B. logca＜logcb C. ac＜bc D. ca＞cb 【答案】B 【解析】 试题分析：对于选项 A， ， ， ，而 ， 所以 ，但不能确定 的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项 B， , ，两边同乘以一个负数 改变不等号方向，所以选 项 B 正确;对于选项 C，利用 在第一象限内是增函数即可得到 ，所以 C 错误;对 于选项 D，利用 在 上为减函数易得 ，所以 D 错误.所以本题选 B. 【考点】指数函数与对数函数的性质 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数 或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 6.函数 的单调递增区间是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由 >0 得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令 t= ，则 y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t= 为减函数； a b 1gc 1gclog c ,log clga lg b = = 0 1c< < 1 0gc∴ < 0a b> > lg lga b> lg lga b、 c lg lglog ,loglg lgc a ba bc c = = lg lga b> 1 lgc cy x= c ca b> xy c= R a bc c< 2( ) ln( 2 8)f x x x= − − ( , 2)−∞ − ( ,1)−∞ (1, )+∞ (4, )+∞ 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − - 4 - x∈(4,+∞)时,t= 为增函数； y=lnt 为增函数， 故函数 f(x)=ln( )的单调递增区间是(4,+∞)， 故选：D. 点睛：形如 的函数为 , 的复合函数， 为内层函数, 为外层函数. 当内层函数 单增，外层函数 单增时，函数 也单增； 当内层函数 单增，外层函数 单减时，函数 也单减； 当内层函数 单减，外层函数 单增时，函数 也单减； 当内层函数 单减，外层函数 单减时，函数 也单增. 简称为“同增异减”. 7.设椭圆 的左焦点为 ，直线 与椭圆 交于 两点，则 的值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 分析：设椭圆的右焦点为 连接 则四边形 是平行四边形，根据椭圆的定义 得到 =2a 得解. 详解：设椭圆的右焦点为 连接 因为 OA=OB,OF=O ,所以四边形 是平行四边形. 所以 , 所以 =|AF|+ =2a=4, 2 2 8x x− − 2 2 8x x− − ( )( )y f g x= ( )y g x= ( )y f x= ( )y g x= ( )y f x= ( )y g x= ( )y f x= ( )( )y f g x= ( )y g x= ( )y f x= ( )( )y f g x= ( )y g x= ( )y f x= ( )( )y f g x= ( )y g x= ( )y f x= ( )( )y f g x= 2 2: 14 xC y+ = F ( ): 0l y kx k= ≠ C ,A B AF BF+ 2 3 4 3 2 ,F 2 2, ,AF BF 2AFBF AF BF+ 2 ,F 2 2, ,AF BF 2F 2AFBF 2BF AF= AF BF+ 2AF - 5 - 故答案为:C 点睛：（1）本题主要考查椭圆的几何性质，意在考查学生对椭圆基础知识的掌握能力.(2)解 答本题的关键是能观察到对称性，得到四边形 是平行四边形，这一点观察到了，后面 就迎刃而解了. 8.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的 棱长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 由 题 可 得 立 体 图 形 ： 则 , 所以最长棱为 6 点睛：三视图还原为立体图形最好将其放在长方体中考虑，这样计算和检验都会比较方便， 首先根据题目大致估计图形形状，然后将其准确的画出求解即可 9.设不等式组 ，表示的平面区域为 ，在区域 内任取一点 ，则 点的 2AFBF 4 3 4 2 2 5 4, 16 4 2 5, 4 2AB AC PC BC= = = + = = 16 16 4 6,AP BP= = + + = 2 0 0 0 x x y x y − ≤  + ≥  − ≥ Ω Ω ( ),P x y P - 6 - 坐标满足不等式 的概率为 　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出不等式组表示的区域 ，求出其面积，再得到 在区域 内的面积，根据几何 概型的公式，得到答案. 【详解】画出 所表示的区域 ，易知 ， 所以 的面积为 ， 满足不等式 的点，在区域 内是一个以原点为圆心， 为半径的 圆面，其面 积为 ， 由几何概型的公式可得其概率为 ， 故选 A 项. 【点睛】本题考查由约束条件画可行域，求几何概型，属于简单题. 10.已知向量 ， ，设函数 ，则下列关于函数 的性质的描述正确的是 　　 2 2 2x y+ ≤ ( ) π 8 π 4 1 2 π+ 1 2 π+ Ω 2 2 2x y+ ≤ Ω 2 0 0 0 x x y x y − ≤  + ≥  − ≥ Ω ( ) ( )2,2 , 2, 2A B − AOB△ 4 2 2 2x y+ ≤ Ω 2 1 4 2 π 2= =4 8P π π ( )22cos , 3m x= ( )1,sin2n x= ( )f x m n= ⋅  ( )y f x= ( ) - 7 - A. 关于直线 对称 B. 关于点 对称 C. 周期为 D. 在 上是增函数 【答案】D 【解析】 当 时 , ,∴f(x)不关于直线 对称； 当 时, ,∴f(x)关于点 对称； f(x)得周期 ， 当 时, ,∴f(x)在在 上是增函数。 本题选择 D 选项. 11.已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有 ，则不等式 的解集为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 构造新函数 ，根据条件可得 是奇函数，且单调增，将所求不等式化为 ，即 ，解得 ， 即 【详解】设 ， 因为 为 上奇函数， 12x π= 5 ,012 π     2π ( )y f x= ,03 π −   ( ) 22cos 3sin 2 cos2 3sin 2 1 2sin(2 ) 16f x x x x x x π= + = + + = + + ， 12x π= sin(2 ) sin 16 3x π π+ = ≠ ± 12x π= 5 12x π= 2sin(2 ) 1 16x π+ + = 5( ,1)12 π 2 2T π π= = ( ,0)3x π∈ − 2 ( , )6 2 6x π π π+ ∈ − ( ,0)3 π− ( )f x R ( )f x′ 0x > ( ) ( ) 22 f x xf x x′ >+ ( ) ( ) ( )22018 +2018 4 2 0x f x f+ − <＋ ( ), 2016−∞ - ( )2016, 2012− − ( ), 2018−∞ − ( )2016,0− ( ) ( )2g x x f x= ( )g x ( ) ( ) ( ) ( )2 22018 +2018 4 2 2 2x f x f f+ < − − = ( ) ( )2018 2g x g+ < 2018 2x + < 2016x < − ( ) ( )2g x x f x= ( )f x R - 8 - 所以 ， 即 为 上奇函数 对 求导，得 ， 而当 时，有 故 时， ，即 单调递增， 所以 在 上单调递增 不等式 ， 即 所以 ，解得 故选 A 项. 【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较 综合，有一定的技巧性，属于中档题. 12.已知函数 ，若方程 在 上有且只有四个 实数根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ( ) ( ) ( ) ( )2 2g x x f x x f x− = − − = − ( )g x R ( )g x ( ) ( ) ( )2 fg fx xx x x′ = + ′   0x > ( ) ( ) 22 0f x xf x x′ >+ ≥ 0x > ( ) 0g x′ > ( )g x ( )g x R ( ) ( ) ( )22018 +2018 4 2 0x f x f+ − <＋ ( ) ( ) ( )22018 +2018 4 2x f x f+ < − − ( ) ( ) ( )22018 +2018 4 2x f x f+ < ( ) ( )2018 2g x g+ < 2018 2x + < 2016x < − ( ) sin 3 cos ( 0)f x x xω ω ω= − > ( ) 1f x = − (0, )π ω 13 7( , ]6 2 7 25( , ]2 6 25 11( , ]6 2 11 37( , ]2 6 - 9 - 作出 的函数图象如图所示： 令 得 或 或 设直线 与 在 上从左到右的第 4 个交点为 ，第 5 个交点为 ，、则 ∵方程 在（ 上有且只有四个实数根， 即 解得 . 故选 B． 二．填空题，（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知向量 ， ，且 ，则 __________． 【答案】 【解析】 向量 ，且 ，可得 ，解得 ，故答案为 . 14.若运行如图所示的程序框图，输出的 的值为 127，则输入的正整数 的所有可能取值的 个数为________． ( ) sin 3cos 2 3f x x x sin x （ ），πω ω ω= − = − f x（ ） 2 13sin x πω − = −（ ） ， 23 6x k π πω π− = − + 7 2 , ,3 6x k k Z π πω π− = + ∈ 2 6 kx π π ω ω∴ = + 3 2 , ,2 kx k Z π π ω ω= + ∈ 1y = − y f x（ ）= ∞（0，+ ） A B 3 2 4 2 6A Bx x π π π π ω ω ω ω= + = +， ， 1f x = −（ ） 0 π， ） A Bx xπ∴ ≤＜ ， 3 2 4 2 6 π π π ππω ω ω ω+ < ≤ + ， 7 25 2 6x< ≤ ( ),4a m = ( )3, 2b = − a b ∥ m = 6− ( ) ( ),4 , 3, 2a m b= = − / /a b  12 2m= − 6m = − 6− n n - 10 - 【答案】3 【解析】 【分析】 根据框图的循环，判断出 时符合题意，再研究 和 的情况，判断是否符合题意， 得到答案. 【详解】令 ，得 ，故输入 符合题意； 当输入的 满足 时，输出的结果总是大于 127，不合题意； 当输入 时候，输出的 的值为 ， ， ，均不合题意； 当输入 或 时，输出的 ，符合题意； 当输入 时，进入死循环，不合题意. 故输入的正整数 的所有可能取值为 ，共 3 个. 【点睛】本题考查框图的循环结构，根据输出值求输入值，对循环终止条件和循环规律的研 究有较高的要求，属于中档题. 15.设直线 过双曲线 的一个焦点，且与 的一条对称轴垂直， 与 交于 两点， 为 的实轴长的 2 倍，则双曲线 的离心率为 . 【答案】 【解析】 分析】【 7n = 7n > 7n < 2 1 127n − = 7n = 7n = n 7n > 6,5,4n = n 632 1− 312 1− 152 1− 3n = 2n = 127n = 1n = n 2,3,7n = l C C l C ,A B C C 3 - 11 - 不妨设双曲线 ，焦点 ，令 ，由 的长为实轴的二倍能够推导出 的离心率. 【详解】不妨设双曲线 ， 焦点 ，对称轴 ， 由题设知 ， 因为 的长为实轴的二倍， ， ， ，故答案为 . 【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线 性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及 顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它 们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系 构造出关于 的等式，从而求出 的值. 16.给出下列四个命题： ①如果平面 外一条直线 与平面 内一条直线 平行，那么 ； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直； ③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( ),0F c− 2 2 2 2 2 1,x y bx c ya b a − = = ⇒ = ± AB C 2 2 2 2: 1x yC a b − = ( ),0F c− 0y = 2 2 2 2 2 1,x y bx c ya b a − = = ⇒ = ± AB 2 2 22 4 , 2b a b aa ∴ = = 2 2 2 2 22 , 3c a a c a− = = 3ce a ∴ = = 3 e e e α a α b a α - 12 - 对四个命题分别进行研究，通过线面平行，线面垂直的判定与性质，判断出正确答案. 【详解】命题①是线面平行的判定定理，正确； 命题②因为垂直同一平面 两条直线平行，所以空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂 直，故正确； 命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确； 命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于 第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这 条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确. 因此，答案为①②④ 【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的判定与性质，属于简单题. 三．解答题：共 70 分 17.已知等差数列 满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出 ，利用 成等差数列求 出参数 ，从而可得数列的通项公式； （2）把 变形为 ，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前 项和． 详解：（1）（法一）由 ，令 ， 得到 ∵ 是等差数列，则 ，即 解得： 的 { }na 2( 1) 2 ,nn a n n k k R+ = + + ∈ { }na 2 1 4 n n n nb a a + = { }nb n nS 2 1na n= − 22 2 2 1 n n n + + 1 2 3, ,a a a 1 2 3, ,a a a k nb 1 1 11 ( )2 2 1 2 1nb n n = + −− + n ( ) 21 2nn a n n k+ = + + 1,2,3n = 1 2 3 3 10 21, ,2 3 4 k k ka a a + + += = = { }na 2 1 32a a a= + 20 2 3 21 3 2 4 k k k+ + += + 1k = − - 13 - 由于 ∵ ，∴ （法二）∵ 是等差数列，公差为 ，设 ∴ ∴ 对于 均成立 则 ，解得 ， （2）由 点睛：设数列 是等差数列， 是等比数列，则数列 ， ， 的前 项和求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法． 18.海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量 (单位: )，其产量都属于区间 ，按如下形式分成 5 组，第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组： ，第五组： ，得到频率分布直方图如 图： 定义箱产量在 (单位: )的网箱为“低产网箱”， 箱产量在区间 的网箱为“高 产网箱”. ( ) ( )( )21 2 1 2 1 1nn a n n n n+ = + − = − + 1 0n + ≠ 2 1na n= − { }na d ( ) ( )1 11na a d n dn a d= + − = + − ( ) ( )( ) 2 1 1 11 1nn a n dn a d dn a n a d+ = + + − = + + − 2 2 1 1 2dn a n a d n n k+ + − = + + *n N∀ ∈ 1 1 2 1 d a a d k =  =  − = 1k = − 2 1na n= − ( )( ) 2 2 2 2 2 1 4 4 4 112 1 2 1 4 1 4 1n n n n n nb a a n n n n+ = = = = +− + − − ( )( ) 1 1 1 11 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n  = + = − + − + − +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 5 7 2 1 2 1 2 2 1n nn n n    = − + − + − + + − + = − +   − + +    22 2 2 1 2 1 n n nnn n += + =+ + { }na { }nb { }n na b+ { }n na b 1 1{ } n na a + n kg [ ]25,50 [ )25,30 [ )30,35 [ )35,40 [ )40,45 [ ]45,50 [ )25,30 kg [ ]45,50 - 14 - （1）若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的 100 个网箱的产量 的平均数； （2）按照分层抽样的方法，从这 100 个样本中抽取 25 个网箱，试计算各组中抽取的网箱数； （3）若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取 2 箱，记其产量分别 ， 求 的概率. 【答案】（1）37.5（2）3,5,8,7,2.（3） 【解析】 分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，（2）按照分层抽样，应抽数按 各箱数的比例分配，（3）先确定 5 箱中要抽取 2 箱的总事件数，再确定 的含义为 高低产箱中各取一箱，以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解： 解：　（1）样本中的 100 个网箱的产量的平均数 （2）各组网箱数分别为：12,20,32,28,8， 要在此 100 箱中抽 25 箱，所以分层抽样各组应抽数为：3,5,8,7,2. （3）由（2）知低产箱 3 箱和高产箱 2 箱共 5 箱中要抽取 2 箱，设低产箱中三箱编号为 1,2,3，高产箱中两箱编号为 4,5，则一共有抽法 10 种，样本空间为 满足条件|m-n|>10 情况为高低产箱中各取一箱，基本事件为 共 6 种， 的 ,m n 10m n− > 3 5 10m n− > ( )27.5 0.024 32.5 0.040 37.5 0.064 42.5 0.056 47.5 0.016 5 37.5x = × + × + × + × + × × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 , 4,5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,4 , 1,5 , 2,4 , 2,5 , 3,4 , 3,5 - 15 - 所以满足事件 A：|m-n|>10 的概率为 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无 序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件 求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目 具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， ， ， 是 的中点． (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）16. 【解析】 【分析】 （1）取 中点 ，证明 为平行四边形，得到 ，从而得到 平面 ； （2）对三棱锥 进行等体积转化，转化为求 的体积.过 作 的垂线， 垂足为 ，证明 为三棱锥 的高并求出求出其长度，求出 的面积，得 到三棱锥 的体积，即三棱锥 的体积. 【详解】(1)证明:取 中点 ，连接 ， ，作 , 则 ,易知 ABCH 为平行四边形，有 . 为 的中位线， 的 ( ) 6 3 10 5P A = = P ABCD− PAB ⊥ ABCD PB PA⊥ PB PA= 90DAB ABC∠ = ∠ = ° AD BC∥ 8AB = 6BC = 10CD = M PA BM∥ PCD B CDM− PD N BMNC BM NC BM∥ PCD B CDM− M BCD− M AB M′ MM′ M BCD− BCD M BCD− B CDM− PD N MN NC CH AD⊥ 8, 10, 6CH AB CD DH= = = ∴ = 6AH BC= = MN PAD△ - 16 - ，且 . 又 ，且 ， ，且 ，则 为平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 . (2)解:过 作 的垂线，垂足为 ，取 中点 ，连结 又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 为三棱锥 的高， , 为 中点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 为 的中点， ， 过 作 交 于点 ， 为平行四边形 ， ， . 【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底 面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题. / /MN AD∴ 1= 2MN AD BC AD  1 2BC AD= / /MN BC∴ MN BC= BMNC / /BM NC∴ NC ⊂ PCD MB ⊄ PCD //BM∴ PCD M AB M′ AB P′ PP′  PAB ⊥ ABCD PAB  ABCD AB= MM′ ⊂ PAB MM∴ ′ ⊥ ABCD MM∴ ′ M BCD− PA PB= P′ AB PP AB′∴ ⊥ 8AB = 90BPA∠ = ° PAB∴ 4PP′ =  PAB ⊥ ABCD PAB  ABCD AB= PP′ ⊂ PAB PP∴ ′ ⊥ ABCD / /MM PP′ ′∴ M PA 1 22MM PP′∴ ′ = = C CH AD⊥ AD H / /AB CH∴ BC AD  ABCH∴ ∴ 8CH AB= = 1 2 1 6 8 242BCDS BC CH× × = × × ==  1 24 2 13 =1 63B CDM M BCD BCDV V S MM∴ × ′ = ×= ×= － － - 17 - 20.已知抛物线 的焦点 ，直线 与 轴的交点为 ，与抛物线 的 交点为 ，且 . (1)求 的值； (2)已知点 为 上一点， ， 是 上异于点 的两点，且满足直线 和直线 的斜率之和为 ，证明直线 恒过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1）4；（2）证明过程详见解析；直线 恒过定点 . 【解析】 【分析】 （1）设 点坐标，根据抛物线的定义得到 点横坐标，然后代入抛物线方程，得到 的值； （2） ， ，直线和曲线联立，得到 ，然后表示出 ， 化简整理，得到 和 的关系，从而得到直线 恒过的定点. 【详解】(1)设 ，由抛物线定义知 ， 又 ， 所以 ，解得 ， 将点 代入抛物线方程，解得 . (2)由(1)知， 的方程为 ，所以点 坐标为 ， 设直线 的方程为 ， 点 ， ， 由 得 ， . 所以 ， ， ( )2: 2 0C y px p >＝ F 4y = y P C Q 2QF PQ＝ p ( ), 2T t − C M N C T TM TN 8 3 − MN MN ( )1, 1− − Q Q p ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 1 2 1 2,y y y y+ MT NTk k+ m n MN ( )0 ,4Q x 0 2QF px= + 2QF PQ＝ 0PQ x= 0 02 2 px x= + 0 2 px = ,42 pQ     4p = C 2 8y x= T 1 , 22  −   MN x my n= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 8 x my n y x = +  = 2 8 8 0y my n− − = 264 32 0m n+∆ = > 1 2 8y y m+ = 1 2 8y y n= − - 18 - 所以 解得 所以直线 的方程为 ，恒过定点 ． 【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题. 21.已知 (1)讨论函数的单调性; (2)证明:当 ，且 时， 恒成立. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可； （2）由（1）可知当 时， 在 上单调减， 再令 ，证明 ，即可得到所要证明的结论. 详解： （1） ， 当 时， 的增区间 ，无减区间 当 时，增区间 ，减区间 （2）当 由（1）可知当 时， 在 上单调减， 再令 在 上， ， 递增，所以 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 8 2 8 2 MT NTk k y y y y y yx x + + + ++ = + = + − − − − ( )1 2 1 2 1 2 1 2 8 32 2 8 2 2 4 8 y y y y y yy y + −= −= + − + +− （ ） 64 32 8 8 16 4 3 m n m −= = −− − + 1n m= − MN 1 ( 1)x m y+ = + ( )1, 1− − ( ) ( )1f x lnx ax a R= − + ∈ 2a = 1x ≥ ( ) 1 2xf x e −≤ − a 2a = ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( )1 1f x f≤ = − ( ) 1 2xG x e −= − ( ) ( )1 1G x G≥ = −  ( ) ln 1,f x x ax a R= − + ∈ ( ) 1 1axg x ax x − +∴ = − =′ 0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a < 10, a      1 ,a  +∞   [ )1,x∈ +∞ 2a = ( )f x [ )1,+∞ ( ) ( )1 1f x f≤ = − ( ) 1 2xG x e −= − [ )1,x∈ +∞ ( ) 1 0xG x e −=′ > ( )G x ( ) ( )1 1G x G≥ = − - 19 - 所以 恒成立，当 时取等号， 所以，原不等式恒成立. 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明， 是一道中档题． 选考题 22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已 知直线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线 与曲线 的交点分别为 ， ，求 . 【答案】（1）曲线 方程为 ，表示焦点坐标为 ，对称轴为 轴的抛物线；（2） 10. 【解析】 【分析】 （1）根据极坐标与直角坐标的转化 ，将曲线 的方程化为直角坐标方程；（2） 把直线 的参数方程为 ，化为一般方程，然后与 联立，利用弦长公式，得到 . 【详解】解 (1)因为 ，所以 ，即 ， 所以曲线 表示焦点坐标为 ，对称轴为 轴的抛物线． (2)设点 ，点 直线 过抛物线的焦点 ，则直线参数方程为 化为一般方程为 ，代 入曲线 的直角坐标方程，得 ， ( ) ( )G x f x≥ 1x = xOy O x l 2 2 x t y t =  = + t C 2cos 8sinρ θ θ= C l C M N MN C 2 8x y= ( )0,2 y cos sin x y ρ θ ρ θ =  = C l 2 2 x t y t =  = + C MN 2cos 8sinρ θ θ= 2 2cos 8 sinρ θ ρ θ= 2 8x y= C ( )0,2 y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y l ( )0,2 2 2 x t y t =  = + 1 22y x= + C 2 4 16 0x x− − = - 20 - 所以 所以 【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等， 属于简单题. 23.已知函数 ，其中实数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求 的值. 【答案】(1)不等式 的解集为 ;(2) 【解析】 试题分析：（1）将 代入 得一绝对值不等式： ，解此不等式即 可. （2）含绝对值 不等式，一般都去掉绝对值符号求解。本题有以下三种考虑： 思路一、根据 的符号去绝对值. 时， ，所以原不等式转化为 ； 时， ，所以原不等式转化为 思路二、利用 去绝对值. ,此不等式化等 价于 . 思路三、从不等式与方程的关系的角度突破.本题是含等号的不等式，所以可取等号从方程入 手. 试题解析：（1）当 时， 可化为 ，由此可得 或 故不等式 的解集为 5 分 （2）法一：（从去绝对值的角度考虑） 的 1 2 1 24, 16x x x x+ = = − ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1 21MN x x y y k x x= − + − = + − ( )22 1 2 1 21 4k x x x x= + + − ( ) ( )2 211 4 4 16 102  = + − × − =   ( ) 2 5f x x a x= − + 0a > 3a = ( ) 5 1f x x≥ + ( ) 0f x ≤ { }| 1x x ≤ − a ( ) 5 1f x x≥ + { }| 1 2x x x≤ ≥或 3a = 3a = ( ) 5 1f x x≥ + 2 3 1x − ≥ 2x a− 2 0x a− ≥ 2 2x a x a− = − 2 5 0x a x− + ≤ 2 0x a− < 2 2x a x a− = − + 2 5 0x a x− + + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x g x f x g x≤ ⇔ − ≤ ≤ 2 5x a x− ≤ − 5 2 5x x a x≤ − ≤ − 3a = ( ) 5 1f x x≥ + 2 3 1x − ≥ 1x ≤ 2x ≥ ( ) 5 1f x x≥ + { }| 1 2x x x≤ ≥或 - 21 - 由 ,得 ,此不等式化等价于 或 解之得 或 , 因为 ,所以不等式组的解集为 ,由题设可得 ,故 10 分 法二：（从等价转化角度考虑） 由 ,得 ,此不等式化等价于 , 即为不等式组 ,解得 , 因为 ,所以不等式组的解集为 ,由题设可得 ,故 10 分 法三：（从不等式与方程的关系角度突破） 因为 是不等式 的解集，所以 是方程 的根， 把 代入 得 ,因为 ，所以 10 分 考点：1、绝对值的意义；2、含绝对值不等式的解法；3、含参数不等式的解法 ( ) 0f x ≤ 2 5x a x− ≤ − { 2 2 5 0 ax x a x ≥ − + ≤ { 2 (2 ) 5 0 ax x a x < − − + ≤ 2{ 7 ax ax ≥ ≤ 2{ 3 ax ax < ≤ − 0a > | 3 ax x ≤ −   13 a− = − 3a = ( ) 0f x ≤ 2 5x a x− ≤ − 5 2 5x x a x≤ − ≤ − 5 2{2 5 x x a x a x ≤ − − ≤ − 3{ 7 ax ax ≤ − ≤ 0a > | 3 ax x ≤ −   13 a− = − 3a = { }| 1x x ≤ − ( ) 0f x ≤ 1x = − ( ) 0f x = 1x = − 2 5 0x a x− + = 3 7a a= = −或 0a > 3a = - 22 -