- 2021-06-19 发布 |
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文档介绍
命题角度4-4 立体几何中的折叠问题(第01期)-2018年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列
2018届高考数学(理)大题狂练 命题角度4:立体几何中的折叠问题 1.在正方形中, 的中点为点, 的中点为点,沿将向上折起得到,使得面面,此时点位于点处. (Ⅰ)证明: ; (Ⅱ)求面与面所成二面角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】试题分析:(Ⅰ)利用折叠前后的不变量得到有关垂直关系,进而利用线面垂直的判定定理得到线面垂直,再利用线面垂直的性质得到线线垂直;(Ⅱ)同(Ⅰ)证明有关线面垂直和线线垂直,进而建立适当的空间直角坐标系,利用空间向量进行求解. (Ⅱ)设中点为,连接,交于点,连接. 同(Ⅰ)可证,从而面面,所以;由面,可得面面,又因为面面,且面与面相交于 ,所以面. 设为原点,过点作轴平行于,作轴平行于, 为轴,如图所示,不妨设正方形边长为3,从而, , , , , , 又因为,所以, ,在直角中,由勾股定理可得, 所以,即,所以可以求得面的法向量为,面的法向量为,所以可以得出法向量,则所求二面角的正弦值为. 2.如图甲,已知矩形中, 为上一点,且,垂足为,现将矩形沿对角线折起,得到如图乙所示的三棱锥. (Ⅰ)在图乙中,若,求的长度; (Ⅱ)当二面角等于时,求二面角的余弦值. 【答案】(1)(2)余弦值为. 【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,由线面垂直的判定定理,可得平面,所以,由勾股定理求出BH的长度;(Ⅱ)以为坐标原点, 为轴, 为轴,垂直于平面的方向为轴建系,可得平面ADC的法向量为,由当二面角等于,求出点B,C,H三点的坐标,假设平面的法向量,由 ,求出 ,根据两向量的夹角公式,求出二面角的余弦值. (Ⅱ)如图,以为坐标原点, 为轴, 为轴,垂直于平面的方向为轴建系, 可得平面的法向量为, 即有,再由二面角等于, 可得点坐标为, 所以, 设平面的法向量, 则 , 所以, 由横坐标大于横坐标, 所以二面角为钝角,所以余弦值为. 3.如图1,已知在菱形中, , 为的中点,现将四边形沿折起至,如图2. (1)求证: 面; (2)若二面角的大小为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】试题分析: (1)利用直线与平面垂直的判断定理结合题意证得线面垂直即可; (2)首先建立空间直角坐标系,然后平面的法向量即可球的最终结果. 试题解析: 证明:(1)∵四边形ABCD为菱形,且, 为正三角形, ∵为的中点 (注:三个条件中,每少一个扣1分) (2)以点E为坐标原点,分别以线段ED,EA所在直线为x,y轴,再以过点E且垂直于平面ADE且向上的直线为z轴,建立空间直角坐标系如图所示. , 为二面角A-DE-H的一个平面角, 设则 由得 设平面的法向量为,则 令得 而平面的一个法向量为 设平面与平面所成锐二面角的大小为 则. 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 4.如图1,在正方形中,点分别是的中点,与交于点为中点,点在线段上,且.现将分别沿折起,使点重合于点(该点记为),如图2所示. (1)若,求证:平面; (2)是否存在正实数,使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2). 试题解析:(1)由题意,可知三条直线两两垂直.................1分 ∴平面...............3分 在图1中,∵分别是的中点,∴,∴. 又∵在的中点,∴. 在图2中,∵,且, ∴在中,.........................5分 ∴平面......................6分 (2)由题意,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则.∴.........7分 ∵,∴,∴ . ∴....................8分 又∵, 设平面的一个法向量为. 由.取,则..................9分 ∵直线与平面所成角的正弦值为, ∴.........11分 ∴,解得或(不合题意,舍去) 故存在正实数,使得直线与平面所成有的正弦值为 5.如图,已知是矩形, , 分别为边, 的中点, 与交于点,沿将矩形折起,设, ,二面角的大小为. (1)当时,求的值; (2)点时,点是线段上一点,直线与平面所成角为.若,求线段的长. 【答案】(1)(2) 试题解析:如图,设为的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)当时, , , , , . (2)由得, , , , 设,则, , 设平面的法向量为, , , ,取, 由题意,得,即, 或(舍去), 在线段上存在点,且. 6.如图1,在矩形ABCD中, ,点分别在边上,且, 交于点.现将沿折起,使得平面平面,得到图2. (Ⅰ)在图2中,求证: ; (Ⅱ)若点是线段上的一动点,问点在什么位置时,二面角的余弦值为. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ). 【解析】试题分析:(1)先证明 ,再证明,证明平面,从而可得 ; (2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论. (Ⅱ)如图1,在中, , , ∵∥, ,∴. 如图,以点为原点建立平面直角坐标系,则 , , , , ∴, , , ∵,∴平面, ∴为平面的法向量. 设,则, 设为平面的法向量,则 即,可取, 依题意,有, 整理得,即,∴, ∴当点在线段的四等分点且时,满足题意.查看更多