北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

北京市西城区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析

‎2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}‎ ‎2．（5分）方程组的解集是（　　）‎ A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} ‎ C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}‎ ‎3．（5分）函数y＝的定义域是（　　）‎ A．[0，1） B．（1，+∞） ‎ C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）‎ ‎4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（　　）‎ A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．‎ ‎5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc ‎7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（　　）‎ A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）xmg ‎ C．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2xmg ‎9．（5分）如图，向量﹣等于（　　）‎ A．3﹣ B．﹣3 C．﹣3+ D．﹣+3‎ ‎10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．‎ 给出下列四种说法：‎ ‎①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；‎ ‎②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；‎ ‎③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；‎ ‎④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．‎ 其中，正确的说法是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝　 　．‎ ‎12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝　 　．‎ ‎13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝　 　．‎ ‎14．（4分）函数的零点个数是　 　；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是　 　．‎ ‎15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．‎ ‎①集合∁RA＝　 　；‎ ‎②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是　 　．‎ ‎16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：‎ ‎①； ②； ③y＝lgx．‎ 其中，具有性质P的函数的序号是　 　．‎ 三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．‎ ‎（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？‎ ‎（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．‎ ‎19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．‎ 假设每名队员每次射击相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；‎ ‎（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）‎ ‎20．（13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；‎ ‎（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；‎ ‎（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．‎ ‎21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 ‎（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；‎ ‎（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？‎ ‎22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．‎ ‎（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；‎ ‎（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；‎ ‎（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．‎ ‎2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{﹣2，0} C．{﹣2，0，2} D．{﹣2，﹣1，0，1}‎ ‎【分析】利用交集直接求解．‎ ‎【解答】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，‎ A∩B＝{﹣2，0，2}．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．（5分）方程组的解集是（　　）‎ A．{（1，﹣1），（﹣1，1）} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} ‎ C．{（2，﹣2），（﹣2，2）} D．{（2，2），（﹣2，﹣2）}‎ ‎【分析】运用代入消元法解方程组即可．‎ ‎【解答】解：记，由①得：x＝﹣y③，将③代入②得2y2＝2，解得y＝±1，‎ 当y＝1时，x＝﹣1，当y＝﹣1时，x＝1，‎ 故原方程组的解集为{（1，﹣1），（﹣1，1）}，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查解方程组，运用代入法进行消元是关键，属于基础题．‎ ‎3．（5分）函数y＝的定义域是（　　）‎ A．[0，1） B．（1，+∞） ‎ C．（0，1）∪（1，+∞） D．[0，1）∪（1，+∞）‎ ‎【分析】由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 ‎，解出即可求得定义域．‎ ‎【解答】解：依题意，，解得x≥0且x≠1，即函数的定义域为[0，1）∪（1，+∞），‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题．‎ ‎4．（5分）下列四个函数中，在（0，+∞）上单调递减的是（　　）‎ A．y＝x+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝2x D．‎ ‎【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，y＝x+1，为一次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 对于B，y＝x2﹣1，为二次函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 对于C，y＝2x，为指数函数，在（0，+∞）上单调递增，不符合题意；‎ 对于D，y＝，为对数函数，在（0，+∞）上单调递减，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题．‎ ‎5．（5分）设a＝log20.4，b＝0.42，c＝20.4，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵log20.4＜log21＝0，∴a＜0，‎ ‎∵0.42＝0.16，∴b＝0.16，‎ ‎∵20.4＞20＝1，∴c＞1，‎ ‎∴a＜b＜c，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．‎ ‎6．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）‎ A．ac＞bd B．ac＜bd C．ad＜bc D．ad＞bc ‎【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析各个答案中不等式的正误，可得答案．‎ ‎【解答】解：若a＞b＞0，c＜d＜0，则：‎ ac＜bc＜bd，故ac＜bd，‎ 故A错误，B正确；‎ ad与bc的大小无法确定，‎ 故C，D错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体考查了不等式与不等关系，难度不大，属于基础题．‎ ‎7．（5分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】可以带入特殊值讨论充要性．‎ ‎【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；‎ 若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；‎ 则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查充要性，以及解不等式，属于基础题．‎ ‎8．（5分）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为（　　）‎ A．2000（1﹣0.2x）mg B．2000（1﹣0.2）xmg ‎ C．2000（1﹣0.2x）mg D．2000•0.2xmg ‎【分析】利用指数函数模型求得函数y与x的关系式；‎ ‎【解答】解：由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了该药物2500mg，经过x个小时后，‎ 药物在病人血液中的量为y＝2000×（1﹣20%）x＝2000×0.8x（mg），‎ 即y与x的关系式为 y＝2000×0.8x．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题．‎ ‎9．（5分）如图，向量﹣等于（　　）‎ A．3﹣ B．﹣3 C．﹣3+ D．﹣+3‎ ‎【分析】可设向量的终点为A，向量的终点为B，从而可得出，这样根据图形即可用表示出，从而得出正确选项．‎ ‎【解答】解：如图，设＝，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了向量减法、加法和数乘的几何意义，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎10．（5分）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．‎ 给出下列四种说法：‎ ‎①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；‎ ‎②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；‎ ‎③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；‎ ‎④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．‎ 其中，正确的说法是（　　）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．‎ ‎【解答】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，‎ 故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．‎ 二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．‎ ‎11．（4分）已知方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，则x12+x22＝　14　．‎ ‎【分析】利用韦达定理代入即可．‎ ‎【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0的两根为x1和x2，‎ x1+x2＝4，x1x2＝1，‎ x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝16﹣2＝14，‎ 故答案为：14．‎ ‎【点评】考查韦达定理的应用，基础题．‎ ‎12．（4分）已知向量＝（1，﹣2），＝（﹣3，m），其中m∈R．若，共线，则||＝　　．‎ ‎【分析】根据共线即可得出m＝6，从而可得出向量的坐标，进而可得出的值．‎ ‎【解答】解：∵共线，‎ ‎∴m﹣6＝0，‎ ‎∴m＝6，，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线的定义，以及共线向量的坐标关系，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎13．（4分）已知函数f（x）＝log3x．若正数a，b满足，则f（a）﹣f（b）＝　﹣2　．‎ ‎【分析】结合已知函数解析式及对数的运算 性质即可求解．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足，f（x）＝log3x，‎ 则f（a）﹣f（b）＝log3＝log3x＝＝﹣2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题主要考查了利用对数的运算性质求解函数值，属于基础试题．‎ ‎14．（4分）函数的零点个数是　2　；满足f（x0）＞1的x0的取值范围是　（﹣1，0）∪（2，+∞）　．‎ ‎【分析】利用分段函数求解函数的零点，列出不等式去即可．‎ ‎【解答】解：函数 可得x＜0时，x+2＝0，解得x＝﹣2；‎ x＞0时，x2﹣3＝0，解得x＝，‎ 函数的零点有2个．‎ 满足f（x0）＞1，可得，解得x0∈（﹣1，0）．‎ ‎，解得x0∈（2，+∞）．‎ 故答案为：2；（﹣1，0）∪（2，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎15．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|x＞c}，其中c∈R．‎ ‎①集合∁RA＝　{x|﹣2＜x＜3}　；‎ ‎②若∀x∈R，都有x∈A或x∈B，则c的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　．‎ ‎【分析】①先求出集合A，再利用补集的定义求出∁RA；‎ ‎②由对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，所以A∪B＝R，从而求出c的取值范围．‎ ‎【解答】解：①∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，‎ ‎∴∁RA＝{x|﹣2＜x＜3}；‎ ‎②∵对∀x∈R，都有x∈A或x∈B，∴A∪B＝R，‎ ‎∵集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|x＞c}，‎ ‎∴c≤﹣2，‎ ‎∴c的取值范围是：（﹣∞，﹣2]，‎ 故答案为：{x|﹣2＜x＜3}，（﹣∞，﹣2]．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎16．（4分）给定函数y＝f（x），设集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f（x）具有性质P．给出下列三个函数：‎ ‎①； ②； ③y＝lgx．‎ 其中，具有性质P的函数的序号是　①③　．‎ ‎【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．‎ ‎【解答】解：对①，A＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），B＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；‎ 对②，A＝R，B＝（0，+∞），当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；‎ 对③，A＝（0，+∞），B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．‎ 三、解答题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎17．（12分）某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．‎ ‎（Ⅰ）这5人中男生、女生各多少名？‎ ‎（Ⅱ）从这5人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用分层抽样能求出这5人中男生人数和女生人数．‎ ‎（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2‎ ‎，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1名女生的概率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）这5人中男生人数为，女生人数为．‎ ‎（Ⅱ）记这5人中的3名男生为B1，B2，B3，2名女生为G1，G2，‎ 则样本空间为：‎ Ω＝{（B1，B2），（B1，B3），（B1，G1），（B1，G2），（B2，B3），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2），（G1，G2）}，‎ 样本空间中，共包含10个样本点．‎ 设事件A为“抽取的2人中恰有1名女生”，‎ 则A＝{（B1，G1），（B1，G2），（B2，G1），（B2，G2），（B3，G1），（B3，G2）}，‎ 事件A共包含6个样本点． 从而．‎ 所以抽取的2人中恰有1名女生的概率为．‎ ‎【点评】本题考查抽取的5人中男生人数和女生人数的求法，考查概率的求法，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18．（12分）在直角坐标系xOy中，记函数的图象为曲线C1，函数的图象为曲线C2．‎ ‎（Ⅰ）比较f（2）和1的大小，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当曲线C1在直线y＝1的下方时，求x的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为，求出f（2）的值，结合函数的单调性判断f（2）和1的大小．‎ ‎（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，推出 ．求解即可．‎ ‎（Ⅲ）求出两个函数的定义域，然后判断曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为，‎ 又函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，‎ 所以f（2）＝log34＞log33＝1．‎ ‎（Ⅱ）因为“曲线C在直线y＝1的下方”等价于“f（x）＜1”，‎ 所以 ．‎ 因为 函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，‎ 所以 0＜8﹣2x＜3，‎ 即 5＜2x＜8，‎ 所以x的取值范围是 （log25，3）．‎ ‎（Ⅲ）因为f（x）有意义当且仅当8﹣2x＞0，‎ 解得x＜3．‎ 所以f（x）的定义域为D1＝（﹣∞，3）．‎ g（x）有意义当且仅当x﹣3≥0，‎ 解得x≥3．‎ 所以g（x）的定义域为D2＝[3，+∞）．‎ 因为D1∩D2＝∅，‎ 所以曲线C1和C2没有交点．‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．‎ ‎19．（13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．‎ 假设每名队员每次射击相互独立．‎ ‎（Ⅰ）求图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1次中靶环数大于7的概率；‎ ‎（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据所有频率和为1建立等式，可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）甲队员进行一次射击，欲求命中环数大于7环的概率只需将大于7环的频率进行求和即可；‎ ‎（Ⅲ）在甲、乙两名队员中，通过频率分布情况看队员的射击成绩哪个相对集中，那就更稳定．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由图可得 0.01+a+0.19+0.29+0.45＝1，‎ 所以 a＝0.06．‎ ‎（Ⅱ）设事件A为“队员甲进行1次射击，中靶环数大于7”．‎ 则事件A包含三个两两互斥的事件：中靶环数为8，9，10，‎ 所以 P（A）＝0.45+0.29+0.01＝0.75．‎ 设事件Ai为“队员甲第i次射击，中靶环数大于7”，其中i＝1，2，‎ 则P（A1）＝P（A2）＝0.75．‎ 设事件B为“队员甲进行2次射击，恰有1次中靶环数大于7”．‎ 则，A1，A2独立．‎ ‎ 所以 ＝＝．‎ 所以，甲恰有1次中靶环数大于7的概率为．‎ ‎（Ⅲ）队员甲的射击成绩更稳定．‎ ‎【点评】本题主要考查了频率分布情况，以及概率的运算，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎20．（13分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：f（x）为偶函数；‎ ‎（Ⅱ）用定义证明：f（x）是（1，+∞）上的减函数；‎ ‎（Ⅲ）当x∈[﹣4，﹣2]时，求f（x）的值域．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析f（﹣x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得答案；‎ ‎（Ⅱ）根据题意，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，由作差法分析可得结论；‎ ‎（Ⅲ）根据题意，分析可得f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，结合函数的解析式分析可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，，则f（x）的定义域为D＝{x|x∈R，且x≠±1}；‎ 对于任意x∈D，因为，‎ 所以f（x）为偶函数．‎ ‎（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，，‎ 任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，‎ 那么＝；‎ 因为1＜x1＜x2，所以 x2﹣x1＞0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，‎ 从而f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．‎ 所以f（x）是（1，+∞）上的减函数；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）得，f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，‎ 又由f（﹣4）＝，f（﹣2）＝1，‎ 则有≤f（x）≤1；‎ 所以当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的值域是．‎ ‎【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数值域的计算，属于基础题．‎ ‎21．（13分）设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：千件）间的函数关系是C＝3+x；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是 ‎（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量x的函数；‎ ‎（Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？‎ ‎【分析】（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），利用已知条件列出函数的解析式即可．‎ ‎（Ⅱ）利用分段函数结合基本不等式求解函数的最值，求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设商品的利润为Y（万元），‎ 依题意得．‎ ‎（Ⅱ）当0＜x＜6时，．‎ 所以 ‎ ‎＝‎ ‎＝6．‎ 当且仅当，即x＝5时取等号，‎ 所以，当0＜x＜6时，Y有最大值6（万元）．‎ 当x≥6时，Y＝11﹣x≤5．‎ 综上，当x＝5时，Y取得最大值6（万元）．‎ 因此，当生产量确定为5千件时，商品的利润取得最大值6万元．‎ ‎【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，基本不等式的应用，是基本知识的考查．‎ ‎22．（13分）设函数其中P，M是非空数集．记f（P）＝{y|y＝f（x），x∈P}，f（M）＝{y|y＝f（x），x∈M}．‎ ‎（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），求f（P）∪f（M）；‎ ‎（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f（x）是定义在R上的增函数，求集合P，M；‎ ‎（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”的真假，并加以证明．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），由此能过求出f（P）∪f（M）．‎ ‎（Ⅱ）由f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，得到当x＜0时，f（x）＜0，（﹣∞，0）⊆P． 同理可证（0，+∞）⊆P． 由此能求出P，M．‎ ‎（Ⅲ）假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．证明0∈P∪M．推导出f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R”是真命题．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为P＝[0，3]，M＝（﹣∞，﹣1），‎ 所以f（P）＝[0，3]，f（M）＝（1，+∞），‎ 所以f（P）∪f（M）＝[0，+∞）．‎ ‎（Ⅱ）因为f（x）是定义在R上的增函数，且f（0）＝0，‎ 所以当x＜0时，f（x）＜0，‎ 所以（﹣∞，0）⊆P． 同理可证（0，+∞）⊆P．‎ 因为P∩M＝∅，‎ 所以P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}．‎ ‎（Ⅲ）该命题为真命题．证明如下：‎ 假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f（P）∪f（M）＝R．‎ 首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，‎ 则0∉f（P），且0∉f（M），‎ 即0∉f（P）∪f（M），这与f（P）∪f（M）＝R矛盾．‎ 若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，‎ 所以x0∉f（P），且﹣x0∉f（M）．‎ 因为f（P）∪f（M）＝R，‎ 所以﹣x0∈f（P），且x0∈f（M）．‎ 所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．‎ 所以f（﹣x0）＝﹣x0，且f（﹣x0）＝﹣（﹣x0）＝x0，‎ 根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．‎ 综上，该命题为真命题．‎ ‎【点评】本题考查并集的求法，考查集合的求法，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎