专题05 解析几何（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

专题05 解析几何（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2017届高考数学（文）大题狂练 专题05 解析几何 ‎1. （本小题满分12分） 已知椭圆离心率为，焦距为，抛物线的焦点是椭圆的顶点.‎ ‎（Ⅰ）求与的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线交于两点，若的右顶点在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.‎ 试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为，依题意有，，解得，，故椭圆的标准方程为，又抛物线开口向上，故是椭圆的上顶点，，，故抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：，设点，，联立得，由韦达定理得， .‎ 在以为直径的圆内 ‎.‎ 考点：椭圆的标准方程；抛物线的方程；直线与圆锥曲线的位置关系.【$来$源：全$品$高$考$网$】‎ ‎2. （本小题满分12分）如图，已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率为，以椭圆的端州的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为8，直线：与轴交于点，与椭圆交于不同两点，．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）由已知可得以椭圆的短轴的两端点和两焦点所围成的四边形的周长为，．‎ 又，∴，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ 考点：（1）椭圆的方程；（2）椭圆的几何性质.‎ ‎【方法点晴】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用焦点三角形的周长、离心率公式和，，的关系，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．将向量共线转化为，在联立直线方程和椭圆方程运用“设而不求，整体代换的思想”时，需注意利用构造出不等关系，是比较常用的一种手段.‎ ‎3. （本小题满分12分）已知椭圆的短轴长为，离心率 ‎．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，求的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题意列出待定系数的方程组，即可求得方程；（2）把分解为和，所以其面积为，设出直线的方程为，整理方程组表示出，代入上式即可求得，可换元，则，则，研究求单调性即可求得其最大值.‎ ‎（2）设， ………………6分 由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，所以，．．．．．．．．．8分 又因直线与椭圆交于不同的两点，‎ 故，即．则 ‎．．．．．．．．．．．．．．10分 令，则，则 ‎，‎ 令，由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，‎ 即当时，在上单调递增，‎ 因此有，所以，‎ 即当，即时，最大，最大值为3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　12分 考点：椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查了待定系数法和函数、不等式的思想，属于中档题.求解椭圆的标准方程时应注意；本题第（2）问解答的关键是根据把的特征，把它分解为和，这样其面积，大大简化了运算过程，提高了解题的准确率，最后通过换元，利用的导数研究其单调性，求得其最大值.‎ ‎4. （本小题满分12分）已知圆方程.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若圆与直线相交于两点，且（为坐标原点），求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求以为直径的圆的方程.‎ ‎【答案】(1)；(2) ；（3）.‎ ‎（2）由题意，‎ 把代入，得，‎ ‎，，‎ ‎∵得出：，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（3）圆心为，‎ ‎，半径，‎ 圆的方程.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，所使用方法为韦达定理法：因为直线的方程是一次的，圆的方程是二次的，故直线与圆问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决直线与圆的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎5. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另一个交点为，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（I）；（II）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）左顶点代入圆的方程，求得，根据离心率为，求得，故椭圆方程为；（II）设点，，直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程，求出的坐标，进而求得的值，利用圆心到直线的距离求得，代入，所以不存在.‎ ‎（II）设点，，设直线的方程为，【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 与椭圆方程联立得，‎ 化简得到，因为-4为方程的一个根，‎ 所以，所以 所以 因为圆心到直线的距离为，‎ 所以.‎ 因为，‎ 代入得到，‎ 显然，所以不存在直线，使得.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎6. （本小题满分12分） 已知点是椭圆上任意一点，点到直线:的距离为，到点的距离为，且，直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；‎ ‎（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定 点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）存在，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设，则， ， ……………………………………………1分 ‎∴，化简，得，∴椭圆的方程为. ……………3分 ‎（2），∴， …………………………………………………………4分 又∵，∴，.‎ 代入解，得（舍）∴, ………………………………………6分 ‎，∴.即直线的方程为 ‎.…………………………………7分 ‎（3）解法一：∵，∴.‎ 设，，直线方程为.代直线方程入，得. ……………………………………………………………………………9分 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴， ………………………………………………………………………………………………11分 ‎∴直线方程为，‎ 直线总经过定点 ‎. ………………………………………………………………………………12分 ‎∴，，‎ ‎∴，，令，得.‎ 又∵， ，‎ ‎∴.…11分 ‎∴直线总经过定点.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，考查轨迹方程的求法.第一问是考查直接法求轨迹方程，题目假设了两个距离，且这两个距离之比为，我们只需要将两个距离用坐标表示出来，然后化简，就可以得到椭圆的标准方程 ‎.第二问考查了联立直线方程和椭圆方程，解出交点的坐标，第三问考查的是联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，不解出交点坐标，利用韦达定理来求.‎