黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学(文)试题

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黑龙江省大庆市第四中学2020届高三4月月考数学(文)试题

大庆四中2019~2020学年度高三年级第三次校内检测 数学(文科)试题 ‎ 考试时间:120分钟 分值:150分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知复数在复平面内对应点是,为虚数单位,则 (   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.是两条不同的直线,是平面,,则是的( ) ‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知,,,则的大小关系为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知向量,且,则实数( )‎ A. 1 B.-1 C. D. ‎ ‎6.在等差数列中,,则数列的前11项和 ( )‎ A. 8 B. 16 C. 22 D. 44 ‎ ‎7..函数的部分图象大致是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一个是勾股定理,另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。例如,五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,如图所示,在其中一个黄金中,.‎ 根据这些信息,可得( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9若直线经过椭圆的一个焦点,且椭圆的长轴长与短轴长的比值为,则该椭圆的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数(其中)的图象如图所示,其中 的面积为,为了得到函数的图象,需将函数的图象( )‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎ 10题图 11题图 ‎11.如图,平面四边形中,,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体 的顶点在同一个球面上,则该球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知分别是双曲线的左,右焦点,过点作的一条切线,切点为P,且交双曲线C的右支点Q,若,则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.在某班举行的成人典礼上,甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.‎ 甲说:“礼物不在我这”;乙说:“礼物在我这”;丙说:“礼物不在乙处”.‎ 如果三人中只有一人说的是真的,那么________(填“甲”“乙”或“丙”)获得了礼物.‎ ‎14.若实数满足约束条件,则的最小值等于 .‎ ‎15.已知为奇函数,当时,,则曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎16.已知数列的前n项和为,,且 (为常数),若数列满足,且,则满足条件的n的取值集合为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本小题12分)‎ ‎2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出,将冰雪这个冷项目迅速炒“热”。北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查,其中女生中对冰球运动有兴趣的占,而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣。‎ ‎(1)完成列联表,并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”?‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男 ‎55‎ 女 合计 ‎(2)已知在被调查的女生中有5名数学系的学生,其中3名对冰球有兴趣,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至少有2人对冰球有兴趣的概率。‎ 附表:‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎18.已知点P为内一点,满足,,.‎ ‎(1)求的面积.‎ ‎(2)若P关于的对称点为Q,且,,求的值.‎ ‎19.如图,在四面体ABCD中,AC=6,BA=BC=5,AD=CD=3.‎ ‎(1)求证:AC⊥BD;‎ ‎(2)当四面体ABCD的体积最大时,求点A到平面BCD的距离.‎ ‎ ‎ ‎20.已知点F是抛物线 的焦点,若点 在抛物线C上,且 求抛物线C的方程;‎ 动直线 与抛物线C相交于 两点,‎ 问:在x轴上是否存在定点 (其中),使得x轴平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎21.已知函数是自然对数的底数),是函数的一个极值点.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间;‎ ‎(2)设,若,不等式恒成立,求的最大值.‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数).曲线C的方程为.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求直线的普通方程与曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线与直线交于点A,点B是曲线C上一点,求面积的最大值.‎ ‎23.已知函数 ‎(1)解关于的不等式;‎ ‎(2)若的解集非空,求实数的取值范围.‎ 大庆四中2019~2020学年度高三年级第三次校内检测 数学(文科)试题答案 一、选择题:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D A A B C B C D B D C ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.甲 14. 15. 16. ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.‎ ‎17.答案:(1)根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 女 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ 根据列联表中的数据,得到,‎ 因为,所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.‎ ‎(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为,对冰球没有兴趣的2人为,‎ 则从这5人中随机抽取3人,共有10种情况,‎ 其中3人都对冰球有兴趣的情况有1种,2人对冰球有兴趣的情况有6种, ‎ 所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种,‎ 所以,所求事件的概率. ‎ ‎18.(1)在中,由余弦定理,得,‎ 得,即,‎ 解得或 (舍去),从而 ‎(2)设,由对称性知 在中,由正弦定理,得,得,‎ 则,从而,,‎ ‎.‎ ‎19‎ 解:(1)证明:‎ 如图,取AC的中点O,连接OB与OD,∵BA=BC,‎ ‎∴AC⊥OB ∵AD=CD,∴AC⊥OD,又OD∩OB=O,‎ ‎∴AC⊥平面OBD,又BD⊂平面OBD,∴AC⊥BD.‎ ‎(2)由题可知,当四面体ABCD的体积最大时,平面DAC⊥平面ABC,∵DO⊥AC,‎ ‎∴DO⊥平面ABC,又OB⊂平面ABC,∴DO⊥OB,‎ ‎∵DA=DC=3,AC=6,AB=BC=5,∴OD===3,‎ OB===4,∴DB===5,‎ 又BC=5,‎ ‎∴在△BCD中,CD边上的高h===,‎ ‎∴S△BCD=×CD×h=×3×=,S△ABC=×AC×OB=×6×4=12.‎ 设点A到平面BCD的距离为d,∴VABCD=VDABC,即S△BCD×d=S△ABC×OD,‎ ‎∴d===,∴点A到平面BCD的距离为.‎ ‎20.抛物线的焦点为,准线方程为,‎ 即有,即,则,解得,则;‎ 在x轴上假设存在定点(其中),因为x轴平分,‎ 设,,联立和,得,‎ 恒成立. ,‎ 设直线DA、DB的斜率分别为,,则由得,‎ ‎,‎ ‎∴, 联立,得,‎ 故存在满足题意,综上,在x轴上存在一点,使得x轴平分,‎ ‎21.(1),‎ ‎∵是函数的一个极值点,∴,解得 则.令,解得或,‎ 故函数的单调递增区间为和.‎ ‎(2)不等式,可化为,记,‎ 当时,恒成立,则在R上递增,没有最小值,故不成立;‎ 当时,令,解得,当时,;当时,,‎ 当时,函数取得最小值,‎ 即,则 令,‎ 则,当时,;当时,,‎ 故当时,取得最大值,所以,即的最大值为.‎ ‎22(1)由得代入整理得:‎ 直线的普通方程为,又 曲线C的极坐标方程为 ‎(2).由得,设,则 的面积 ‎,‎ ‎23.(1)原不等式可化为: ‎ 即: 或由得或 由得或综上原不等式的解为或 (2)原不等式等价于的解集非空,‎ 令,即,由,‎ 所以,所以.‎
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