中考数学二模试卷含解析

中考数学二模试卷含解析

云南省昆明市西山区2016年中考数学二模试卷 一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎1．﹣6的相反数是　　　　　　．‎ ‎2．据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，将8500000用科学记数法表示为　　　　　　吨．‎ ‎3．甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=3，S乙2=2.5，则射击成绩较稳定的是　　　　　　（填“甲”或“乙”）．‎ ‎4．计算：÷（x﹣）=　　　　　　．‎ ‎5．已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为　　　　　　．‎ ‎6．如图，△ABC中，AB=8，AC=5，∠A=60°，圆O是三角形的内切圆，如果在这个三角形内随意抛一粒豆子，则豆子落在圆O内的概率为　　　　　　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎7．下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣1﹣1=0 B．（2a2）3=6a6 C．a6÷a2=a3 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2‎ ‎8．如图，是某几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 ‎9．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（　　）‎ A．8 B．10 C．11 D．12‎ ‎10．不等式组的解集在数轴上表示为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．要使分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≠6 B．x≠﹣6 C．x≥﹣6 D．x＞﹣6‎ ‎12．在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎13．已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）‎ A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2‎ ‎14．如图，直线y=x﹣1与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，三角形ABC的面积为2，则反比例函数的解析式为（　　）‎ A．y= B．y= C．y= D．y=‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分70分）‎ ‎15．计算：（﹣1）2016﹣|﹣4|﹣（）﹣2+（﹣3）0+2cos60°．‎ ‎16．如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在直线BD上，BE=DF，求证：AF=CE．‎ ‎17．已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是（﹣3，0）、（﹣1，2）、（﹣2，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标；‎ ‎（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．‎ ‎18．某校图书馆打算购买5000本学生课外书，为了使所购书籍更加贴近学生的要求，学校随机选取部分学生就他们最喜欢的图书类型进行问卷调查，问卷共设“艺术类，科技类，文学类，其它”四个选项，被调查学生必须从四个选项中选出一项．学校整理调查结果，绘制部分条形统计图和扇形统计图．根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共选出　　　　　　名学生，选择“其它”的学生人数占抽样人数的百分比为　　　　　　；‎ ‎（2）补全条形图，并计算扇形统计图中艺术类所对应的圆心角度数；‎ ‎（3）按照本次调查情况，学校应购买多少本文学类书籍？‎ ‎19．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎20．甲、乙两袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0、﹣1、3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为﹣5、2、7，各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为m、n．‎ ‎（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；‎ ‎（2）现制定这样一个游戏规则：若选出的m、n能使得方程x2+mx+n=0有实根，则称甲胜；否则称乙胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．‎ ‎21．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．‎ ‎（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？‎ ‎（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？‎ ‎22.如图，AB是⊙O的直径，C，E，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CE⊥AB，垂足为点G．‎ ‎（1）求证：DC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠BAC=，求的值（S表示面积）．‎ ‎23．如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年云南省昆明市西山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎1．﹣6的相反数是　6　．‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．‎ ‎【解答】解：根据相反数的概念，得 ‎﹣6的相反数是﹣（﹣6）=6．‎ ‎【点评】此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等．‎ ‎　‎ ‎2．据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，将8500000用科学记数法表示为　8.5×106　吨．‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将8500000用科学记数法表示为8.5×106．‎ 故答案为：8.5×106．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．甲、乙两人进行射击测试，每人20次射击成绩的平均数都是8.5环，方差分别是：S甲2=3，S乙2=2.5，则射击成绩较稳定的是　乙　（填“甲”或“乙”）．‎ ‎【考点】方差；算术平均数．‎ ‎【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎【解答】解：∵S甲2=3，S乙2=2.5，‎ ‎∴S甲2＞S乙2，‎ ‎∴乙的射击成绩较稳定．‎ 故答案为：乙．‎ ‎【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．‎ ‎　‎ ‎4．计算：÷（x﹣）=　　．‎ ‎【考点】分式的混合运算．‎ ‎【分析】先化简括号内的式子，然后根据分式的除法进行计算即可解答本题．‎ ‎【解答】解：÷（x﹣）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法．‎ ‎　‎ ‎5．已知，如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，若∠EOC=25°，则∠BOD的度数为　50°　．‎ ‎【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．‎ ‎【分析】由角平分线的定义可求得∠AOC=50°，最后根据对顶角的性质求得∠BOD的度数即可．‎ ‎【解答】解：∵OE平分∠AOC，∠EOC=25°，‎ ‎∴∠AOC=2∠EOC=25°×2=50°．‎ 由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=50°．‎ 故答案为：50°．‎ ‎【点评】本题主要考查的是对顶角的性质和角平分线的定义，掌握对顶角的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，△ABC中，AB=8，AC=5，∠A=60°，圆O是三角形的内切圆，如果在这个三角形内随意抛一粒豆子，则豆子落在圆O内的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概率．‎ ‎【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质和勾股定理求出CD、AD的长，根据三角形的面积=×（AB+BC+AC）×r计算即可，再根据概率=相应的面积与总面积之比即可求解．‎ ‎【解答】解：作CD⊥AB于D，‎ ‎∵∠A=60°，‎ ‎∴∠ACD=30°，‎ ‎∴AD=AC=，‎ ‎∴CD=，BD=AB﹣CD=，‎ ‎∴BC=7，‎ 设△ABC的内切圆半径为r，‎ ‎×（AB+BC+AC）×r=×AB×CD，‎ 解得r=，‎ ‎×AB×CD=×8×=10，‎ π×（）2=π×3=3π，‎ 豆子落在圆O内的概率为=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是几何概率，三角形内心的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点和角平分线的性质是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎7．下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣1﹣1=0 B．（2a2）3=6a6 C．a6÷a2=a3 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2‎ ‎【考点】平方差公式；有理数的减法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．‎ ‎【分析】先根据有理数的减法，平方差公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．‎ ‎【解答】解：A、结果是﹣2，故本选项错误；‎ B、结果是8a6，故本选项错误；‎ C、结果是a4，故本选项错误；‎ D、结果是a2﹣b2，故本选项正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了有理数的减法，平方差公式，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的除法的应用，能熟记知识点是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，是某几何体的三视图，该几何体是（　　）‎ A．长方体 B．圆锥 C．圆柱 D．球 ‎【考点】由三视图判断几何体．‎ ‎【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，‎ 故该几何体是一个柱体，‎ 又∵俯视图是一个圆，‎ 故该几何体是一个圆柱，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．‎ ‎　‎ ‎9．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（　　）‎ A．8 B．10 C．11 D．12‎ ‎【考点】平行线分线段成比例．‎ ‎【分析】由在△ABC中，DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可得DE：BC=AD：AB，又由，DE=4，即可求得BC的长．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=，‎ ‎∵在△ABC中，DE∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵DE=4，‎ ‎∴BC=3DE=12．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题难度不大，注意掌握比例线段的对应关系．‎ ‎　‎ ‎10．不等式组的解集在数轴上表示为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．‎ ‎【解答】解：，由①得，x＜1，由②得，x≥﹣2，‎ 故不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．‎ 在数轴上表示为：‎ ‎．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．要使分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）‎ A．x≠6 B．x≠﹣6 C．x≥﹣6 D．x＞﹣6‎ ‎【考点】分式有意义的条件．‎ ‎【分析】根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：x+6≠0，‎ 解得：x≠﹣6，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．‎ ‎　‎ ‎12．在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4cm，则弦AB的长为（　　）‎ A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm ‎【考点】垂径定理；勾股定理．‎ ‎【分析】利用垂径定理先求出AC=AB，再根据勾股定理求AB的长．‎ ‎【解答】解：如图，连接OA；‎ Rt△OAC中，OA=5cm，OC=4cm；‎ 由勾股定理，得：AC==3cm；‎ ‎∴AC=AB，‎ ‎∴AB=2AC=6cm；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理及垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧，及勾股定理求解．‎ ‎　‎ ‎13．已知，如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此矩形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）‎ A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．‎ ‎【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．‎ ‎【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，‎ ‎∴BE=ED．‎ ‎∵AD=AE+DE=AE+BE=9（cm）．‎ ‎∴BE=9﹣AE，‎ 根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．‎ 解得AE=4．‎ ‎∴△ABE的面积为×3×4=6（cm2）．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．‎ ‎　‎ ‎14．如图，直线y=x﹣1与y轴交于点A，与反比例函数y=的图象交于点B，过点B作BC⊥y轴于点C，三角形ABC的面积为2，则反比例函数的解析式为（　　）‎ A．y= B．y= C．y= D．y=‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】由点在直线y=x﹣1上可设点B（m，m﹣1），根据三角形ABC的面积为2列出关于m的方程求得m的值，即可知点B坐标，进而可得反比例函数解析式．‎ ‎【解答】解：设点B（m，m﹣1），‎ 则BC=m，OC=m﹣1，‎ 在直线y=x﹣1中，令x=0，得：y=﹣1，‎ ‎∴点A（0，﹣1），即OA=1，‎ ‎∵三角形ABC的面积为2，‎ ‎∴×（1+m﹣1）×m=2，即m2=4，‎ 解得：m=2或m=﹣2（舍），‎ ‎∴点B（2，1），‎ 则k=2×1=2，‎ ‎∴反比例函数解析式为y=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意设出点B的坐标，由三角形的面积求得点B坐标是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，满分70分）‎ ‎15．计算：（﹣1）2016﹣|﹣4|﹣（）﹣2+（﹣3）0+2cos60°．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】根据实数的运算，即可解答．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣4﹣9+1+2×‎ ‎=﹣11+1‎ ‎=﹣10．‎ ‎【点评】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．‎ ‎　‎ ‎16．如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在直线BD上，BE=DF，求证：AF=CE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．‎ ‎【分析】利用SAS证得两个三角形全等，利用全等三角形的性质得到对应线段相等即可．‎ ‎【解答】证明：∵DF=BE，‎ ‎∴DF+EF=BE+EF，‎ 即：CE=BF，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠AEB=∠CFD，‎ 在△ABE和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△CDF（SAS），‎ ‎∴AF=CE．‎ ‎【点评】此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定，做题的关键是找出证三角形全等的条件．‎ ‎　‎ ‎17．已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是（﹣3，0）、（﹣1，2）、（﹣2，4）．‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；‎ ‎（2）将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标；‎ ‎（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（记过保留根号和π）．‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．‎ ‎【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；‎ ‎（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2的坐标，即可得到△A2B2C2，再分别写出点A2、B2、C2的坐标；‎ ‎（3）C点旋转到C2点所经过的路径为以O点为圆心，OC为半径，圆心角为90度的弧，然后根据弧长公式可计算出C点旋转到C2点所经过的路径长．‎ ‎【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；‎ ‎（2）如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（0，﹣3），（﹣2，﹣1），（﹣4，﹣2）；‎ ‎（3）OC==，‎ C点旋转到C2点所经过的路径长==π．‎ ‎【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．‎ ‎　‎ ‎18．某校图书馆打算购买5000本学生课外书，为了使所购书籍更加贴近学生的要求，学校随机选取部分学生就他们最喜欢的图书类型进行问卷调查，问卷共设“艺术类，科技类，文学类，其它”四个选项，被调查学生必须从四个选项中选出一项．学校整理调查结果，绘制部分条形统计图和扇形统计图．根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共选出　120　名学生，选择“其它”的学生人数占抽样人数的百分比为　20%　；‎ ‎（2）补全条形图，并计算扇形统计图中艺术类所对应的圆心角度数；‎ ‎（3）按照本次调查情况，学校应购买多少本文学类书籍？‎ ‎【考点】条形统计图；扇形统计图．‎ ‎【分析】（1）根据科技类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用其他的人数比上总人数，即可得出“其它”的学生人数占抽样人数的百分比；‎ ‎（2）用总人数减去艺术类、科技类和其他的人数，求出文学类的人数，再用360°乘以艺术类所占的百分比即可得出艺术类所对应的圆心角度数；‎ ‎（3）用5000乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）被调查的总人数是：36÷30%=120（人）；‎ 选择“其它”的学生人数占抽样人数的百分比为：×100%=20%‎ 故答案是：120，20%；‎ ‎（2）根据题意得：‎ 文学类的人数是：120﹣12﹣24﹣36=48（人），‎ ‎360×=36°，‎ 补图如下：‎ ‎（3）根据题意得：‎ ‎5000×=2000（本），‎ 答：学校应购买2000本文学类书籍．‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，关键是根据科技类的人数和所占的百分比求出调查的总人数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0.1米）．（供选用的数据：≈1.414，≈1.732）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．‎ ‎【分析】由已知可得△ABP中∠A=60°∠B=45°且PC=60m，要求AB的长，可以先求出AC和BC的长就可转化为运用三角函数解直角三角形．‎ ‎【解答】解：由题意可知：‎ ‎∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°．‎ 在Rt△BPC中，‎ ‎∵∠BCP=90°，∠B=∠BPC=45°，‎ ‎∴BC=PC=60．‎ 在Rt△ACP中，‎ ‎∵∠ACP=90°，∠APC=30°，‎ tan30°=，‎ ‎∴AC=PC•tan30°=tan30°×60=60×=20（米）．‎ ‎∴AB=AC+BC=60+20≈60+20×1.732=94.64≈94.6（米）．‎ 答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94.6米．‎ ‎【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎　‎ ‎20．甲、乙两袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标数值分别为0、﹣1、3，乙袋中的三张卡片上所标数值分别为﹣5、2、7，各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为m、n．‎ ‎（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果；‎ ‎（2）现制定这样一个游戏规则：若选出的m、n能使得方程x2+mx+n=0有实根，则称甲胜；否则称乙胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．‎ ‎【考点】游戏公平性；根的判别式；列表法与树状图法．‎ ‎【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；‎ ‎（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．‎ ‎【解答】解：（1）画树状图得：‎ ‎∵（m，n）的可能结果有（0，﹣5）、（0，7）、（0，2）、（﹣1，﹣5）、（﹣1，7）、（﹣1，2）、（3，﹣5）、（3，2）及（3，7），‎ ‎∴（m，n）取值结果共有9种；‎ ‎（2）∵（m，n）的可能结果有（0，﹣5）、（0，7）、（0，2）、（﹣1，﹣5）、（﹣1，7）、（﹣1，2）、（3，﹣5）、‎ ‎（3，2）及（3，7），‎ ‎∴当m=0，n=﹣5时，△=b2﹣4ac=20＞0，此时x2+mx+n=0有两个不相等的实数根，‎ 当m=0，n=7时，△=b2﹣4ac=﹣28＜0，此时x2+mx+n=0没有实数根，‎ 当m=0，n=2时，△=b2﹣4ac=﹣8＜0，此时x2+mx+n=0没有实数根，‎ 当m=﹣1，n=﹣5时，△=b2﹣4ac=21＞0，此时x2+mx+n=0有两个不相等的实数根，‎ 当m=﹣1，n=7时，△=b2﹣4ac=﹣27＜0，此时x2+mx+n=0没有实数根，‎ 当m=﹣1，n=2时，△=b2﹣4ac=﹣7＜0，此时x2+mx+n=0没有实数根，‎ 当m=3，n=﹣5时，△=b2﹣4ac=29＞0，此时x2+mx+n=0有两个不相等的实数根，‎ 当m=3，n=7时，△=b2﹣4ac=﹣19＜0，此时x2+mx+n=0没有实数根，‎ 当m=3，n=2时，△=b2﹣4ac=1＞0，此时x2+mx+n=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴P（甲获胜）=P（△≥0）=，P（乙获胜）=1﹣=，‎ ‎∴P（甲获胜）＜P（乙获胜），‎ ‎∴这样的游戏规则对乙有利，不公平．‎ ‎【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．‎ ‎　‎ ‎21．同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．‎ ‎（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？‎ ‎（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？‎ ‎【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；‎ ‎（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．‎ ‎【解答】（1）解：设购买一个足球需要x元，购买一个篮球需要y元，‎ 根据题意得，‎ 解得，‎ ‎∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．‎ ‎（2）方法一：‎ 解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．‎ ‎80a+50（96﹣a）≤5720，‎ a≤30．‎ ‎∵a为正整数，‎ ‎∴a最多可以购买30个篮球．‎ ‎∴这所学校最多可以购买30个篮球．‎ 方法二：‎ 解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．‎ ‎50n+80（96﹣n）≤5720，‎ n≥65‎ ‎∵n为整数，‎ ‎∴n最少是66‎ ‎96﹣66=30个．‎ ‎∴这所学校最多可以购买30个篮球．‎ ‎【点评】考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．‎ ‎22.如图，AB是⊙O的直径，C，E，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的平分线，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点，CE⊥AB，垂足为点G．‎ ‎（1）求证：DC是⊙O的切线；‎ ‎（2）若sin∠BAC=，求的值（S表示面积）．‎ ‎【考点】切线的判定；垂径定理；解直角三角形．‎ ‎【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合等腰三角形的性质得出∠DAC=∠OCA，进而利用平行线的性质得出答案；‎ ‎（2）利用锐角三角函数关系结合相似三角形的判定与性质表示出CG，AB的长，进而得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：连接CO，‎ ‎∵CA是∠BAF的平分线，‎ ‎∴∠DAC=∠CAB，‎ ‎∵AO=CO，‎ ‎∴∠OAC=∠OCA，‎ ‎∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∴AD∥CO，‎ ‎∵CD⊥AF，‎ ‎∴OC⊥DC，‎ ‎∴DC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵sin∠BAC=，‎ ‎∴=，‎ 设GC=2x，AC=5x，‎ 则AG=x，‎ ‎∵∠BAC+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，‎ ‎∴∠GAC=∠BCG，‎ 又∵∠AGC=∠BGC，‎ ‎∴△AGC∽△CGB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴CG2=AG•BG，‎ 故（2x）2=x•BG，‎ 解得：BG=x，‎ 则AB=x+x=x，‎ 故====．‎ ‎【点评】此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出AB，BG的长是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2016•西山区二模）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），C（0，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标，如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）由待定系数法建立二元一次方程组求出m、n的值即可；‎ ‎（2）如图1中，分两种情形讨论①当PD=DC时，当CP=CD时，分别写出点P坐标即可．‎ ‎（3）先求出BC的解析式，设出点E的横坐标为a，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），C（0，﹣2）在抛物线y=x2+mx+n上，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2．‎ ‎（2）存在．‎ 理由：∵C（0，﹣2），D（，0），‎ ‎∴CD==，‎ ‎①当PD=DC时，点P坐标（，）或（，﹣）．‎ ‎②当CP=CD时，点P坐标（，﹣4）．‎ ‎∴当点P坐标（，）或（，﹣）或（，﹣4）时，△PCD是以CD为腰的等腰三角形．‎ ‎（3）令y=0，则x2﹣x﹣2=0，解得x=4或﹣1，‎ ‎∴点B坐标（4，0），‎ 设直线BC为y=kx+b，则，解得，‎ ‎∴直线BC解析式为y=x﹣2，‎ 设出点E的横坐标为a，‎ ‎∴EF=Ey﹣Fy=﹣a2+2a（0≤a≤4），‎ ‎∴S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF ‎=BD×OC+EF×CM+EF×BN ‎=××2+×（﹣a2+2a）×4‎ ‎=﹣a2+4a+‎ ‎=﹣（a﹣2）2+．，‎ ‎∴a=2时，四边形CDBF面积最大，此时点E坐标（2，﹣1）．‎ ‎∴此时点E是BC中点，‎ ‎∴当点E运动到BC中点时，四边形CDBF面积最大，最大面积为，此时点E坐标（2，﹣1）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键．‎