2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题15 分段函数的性质、图象以及应用（讲）（解析版）

专题15 分段函数的性质、图象以及应用 新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ 知识储备：‎ 分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.‎ 分段函数的函数值问题：‎ ‎(1)已知自变量求函数值 例、已知函数=，若=4，则实数=‎ A． B． C．2 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴．于是，由得 ‎．故选．‎ 例、设，则的值为 A．1 B．0 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵π是无理数 ∴g(π)=0 则=f(0)=0 ，故选B．‎ 例、函数满足，且在区间上，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以．‎ ‎(2)已知函数值求自变量：‎ 已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值范围分类讨论，通过解方程而得到.数形结合是解答此类问题的重要方法.‎ 例、已知函数．若，则实数的值等于 A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，由得，无解；当时，由得，解得，故选A．‎ 例、已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－ ‎【答案】A ‎【解析】因为f(x)＝f(a)＝－3，所以或 解得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－1－1－2＝－，选A.‎ 分段函数的定义域值域问题：‎ 例、如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．‎ ‎【答案】[－1,2]　[－1,1)‎ ‎【解析】由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)；第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．所以该分段函数的定义域为[－1,2]，值域为[－1,1)．‎ 例、若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以当时，；又函数的值域为，所以，解得，所以实数的取值范围为．‎ 分段函数的图象问题：‎ ‎(1)由式定图：根据解析式确定函数的图象 例、已知函数f(x)＝则正确的函数图象是(　　)‎ ‎【答案】A ‎【解析】当x＝－1时，y＝0，即图象过点(－1,0)，显然D错；当x＝0时，y＝1，即图象过点(0,1)，C错；当x＝1时，y＝2，即图象过点(1,2)，B错．所以选A.‎ ‎(2)由图定式：根据图象求函数的解析式 例、如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，求函数f(x)的解析式．‎ ‎【答案】f(x)＝ ‎【解析】设线段AB所对应的函数解析式为y＝kx＋b，‎ 将与代入，得 ∴∴y＝－2x＋4(0≤x≤2)．‎ 同理，线段BC所对应的函数解析式为y＝x－2(22时，h(x)＝3－x是减函数，则h(x)max＝h(2)＝1.‎ 分段函数单调性问题 例、已知f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有>0成立，那么a的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,2) D．(1，＋∞)‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意，f(x)是在R上的增函数，于是有，解得≤a<2，故选A.‎ 例、设函数，则满足的的取值范围是 A．，2] B．[0，2] C．[1，+) D．[0，+)‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，解得，所以；当时，，解得，所以，综上可知．‎ 点睛：解分段函数单调性问题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.‎ ‎【反思提升】‎ 综合上面的类型，解决分段函数函数问题类型，涉及到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.‎ ‎ ‎