2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I文科)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I文科)

‎2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)‎ ‎ 文科数学 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设,则=‎ A.2 B. C. D.1‎ ‎2.已知集合,,,则=‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,则 A. B. C. D.‎ ‎4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ‎(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,‎ 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上 述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身 高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm ‎5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为 A. B.‎ C. D.‎ 第 11 页 ‎6.某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是 A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 ‎7.tan255°=‎ A.-2- B.-2+ C.2- D.2+‎ ‎8.已知非零向量a,b满足=2,且(a-b)b,则a与b的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎9.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入 A.A= B.A= C.A= D.A=‎ ‎10.双曲线C:的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为 A.2sin40° B.2cos40° C. D.‎ ‎11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 第 11 页 ‎12.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为 A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为___________.‎ ‎14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S4=___________.‎ ‎15.函数的最小值为___________.‎ ‎16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为___________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:60分。‎ ‎17.(12分)‎ 某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;‎ ‎(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?‎ 附:.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ 第 11 页 k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18.(12分)‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.‎ ‎(1)若a3=4,求{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.‎ ‎19.(12分)‎ 如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面C1DE;‎ ‎(2)求点C到平面C1DE的距离.‎ 第 11 页 ‎20.(12分)‎ 已知函数f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)为f(x)的导数.‎ ‎(1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点;‎ ‎(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ 已知点A,B关于坐标原点O对称,│AB│=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.‎ ‎(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;‎ ‎(2)是否存在定点P,使得当A运动时,│MA│-│MP│为定值?并说明理由.‎ 第 11 页 ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4−4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程;‎ ‎(2)求C上的点到l距离的最小值.‎ ‎23.[选修4−5:不等式选讲](10分)‎ 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 第 11 页 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)‎ 数学(文科)参考答案 一、选择题 ‎1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.C ‎7.D 8.B 9.A 10.D 11.A 12.B 二、填空题 ‎13.y=3x 14. 15.−4 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.‎ 女顾客中对该商场服务满意的比率为,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2).‎ 由于,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎18.解:‎ ‎(1)设的公差为d.‎ 由得.‎ 由a3=4得.‎ 于是.‎ 因此的通项公式为.‎ ‎(2)由(1)得,故.‎ 由知,故等价于,解得1≤n≤10.‎ 所以n的取值范围是.‎ 第 11 页 ‎19.解:‎ ‎(1)连结.因为M,E分别为的中点,所以,且.又因为N为的中点,所以.‎ 由题设知,可得,故,因此四边形MNDE为平行四边形,.又平面,所以MN∥平面.‎ ‎(2)过C作C1E的垂线,垂足为H.‎ 由已知可得,,所以DE⊥平面,故DE⊥CH.‎ 从而CH⊥平面,故CH的长即为C到平面的距离,‎ 由已知可得CE=1,C1C=4,所以,故.‎ 从而点C到平面的距离为.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)设,则.‎ 当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ 又,故在存在唯一零点.‎ 第 11 页 所以在存在唯一零点.‎ ‎(2)由题设知,可得a≤0.‎ 由(1)知,在只有一个零点,设为,且当时,;当时,,所以在单调递增,在单调递减.‎ 又,所以,当时,.‎ 又当时,ax≤0,故.‎ 因此,a的取值范围是.‎ ‎21.解:(1)因为过点,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上,且关于坐标原点O对称,所以M在直线上,故可设.‎ 因为与直线x+2=0相切,所以的半径为.‎ 由已知得,又,故可得,解得或.‎ 故的半径或.‎ ‎(2)存在定点,使得为定值.‎ 理由如下:‎ 设,由已知得的半径为.‎ 由于,故可得,化简得M的轨迹方程为.‎ 因为曲线是以点为焦点,以直线为准线的抛物线,‎ 所以.‎ 因为,所以存在满足条件的定点P.‎ 22. 解:(1)因为,且,‎ 所以C的直角坐标方程为.‎ 第 11 页 的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,).‎ C上的点到的距离为.‎ 当时,取得最小值7,故C上的点到距离的最小值为.‎ ‎23.解:(1)因为,又,故有 ‎.‎ 所以.‎ ‎(2)因为为正数且,故有 ‎=24.‎ 所以.‎ 第 11 页 第 11 页
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