2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I文科）

2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I文科）

‎2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）‎ ‎ 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设，则=‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎2．已知集合，，，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则 A． B． C． D．‎ ‎4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ‎（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，‎ 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上 述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身 高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm ‎5．函数f(x)=在[-π，π]的图像大致为 A． B．‎ C． D．‎ 第 11 页 ‎6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生 ‎7．tan255°=‎ A．-2- B．-2+ C．2- D．2+‎ ‎8．已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为 A． B． C． D．‎ ‎9．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= B．A= C．A= D．A=‎ ‎10．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D．‎ ‎11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ 第 11 页 ‎12．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为 A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为___________．‎ ‎14．记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．‎ ‎15．函数的最小值为___________．‎ ‎16．已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为___________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：60分。‎ ‎17．（12分）‎ 某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；‎ ‎（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？‎ 附：．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ 第 11 页 k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎18．（12分）‎ 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．‎ ‎（1）若a3=4，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.‎ ‎（1）证明：MN∥平面C1DE；‎ ‎（2）求点C到平面C1DE的距离．‎ 第 11 页 ‎20．（12分）‎ 已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f′（x）为f（x）的导数．‎ ‎（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；‎ ‎（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．‎ ‎21.（12分）‎ 已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．‎ ‎（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径；‎ ‎（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│-│MP│为定值？并说明理由．‎ 第 11 页 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．‎ ‎（1）求C和l的直角坐标方程；‎ ‎（2）求C上的点到l距离的最小值．‎ ‎23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）‎ 已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 第 11 页 ‎2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）‎ 数学（文科）参考答案 一、选择题 ‎1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．C ‎7．D 8．B 9．A 10．D 11．A 12．B 二、填空题 ‎13．y=3x 14． 15．−4 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为，因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8．‎ 女顾客中对该商场服务满意的比率为，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．‎ ‎（2）．‎ 由于，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.‎ ‎18．解：‎ ‎（1）设的公差为d．‎ 由得．‎ 由a3=4得．‎ 于是．‎ 因此的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，故.‎ 由知，故等价于，解得1≤n≤10．‎ 所以n的取值范围是．‎ 第 11 页 ‎19．解：‎ ‎（1）连结.因为M，E分别为的中点，所以，且.又因为N为的中点，所以.‎ 由题设知，可得，故，因此四边形MNDE为平行四边形，.又平面，所以MN∥平面.‎ ‎（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.‎ 由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.‎ 从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，‎ 由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.‎ 从而点C到平面的距离为.‎ ‎20．解：‎ ‎（1）设，则.‎ 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，故在存在唯一零点.‎ 第 11 页 所以在存在唯一零点.‎ ‎（2）由题设知，可得a≤0.‎ 由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ 又，所以，当时，.‎ 又当时，ax≤0，故.‎ 因此，a的取值范围是.‎ ‎21．解：（1）因为过点，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线上，且关于坐标原点O对称，所以M在直线上，故可设.‎ 因为与直线x+2=0相切，所以的半径为.‎ 由已知得，又，故可得，解得或.‎ 故的半径或.‎ ‎（2）存在定点，使得为定值.‎ 理由如下：‎ 设，由已知得的半径为.‎ 由于，故可得，化简得M的轨迹方程为.‎ 因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，‎ 所以.‎ 因为，所以存在满足条件的定点P.‎ 22． 解：（1）因为，且，‎ 所以C的直角坐标方程为.‎ 第 11 页 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）.‎ C上的点到的距离为.‎ 当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为.‎ ‎23．解：（1）因为，又，故有 ‎.‎ 所以.‎ ‎（2）因为为正数且，故有 ‎=24.‎ 所以.‎ 第 11 页 第 11 页