福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学（文）试卷

福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学（文）试卷

‎2019年秋南安市侨光中学高三年第一次阶段考 数学试题（文）‎ 一、选择题。‎ ‎1.已知是虚数单位，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查复数的基本运算：除法运算。‎ ‎【详解】，答案选A ‎【点睛】复数的除法运算对于分母可直接识记公式 ‎2.已知集合，集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查集合的基本运算：并集。涉及的知识点有：一元二次不等式的解法。‎ ‎【详解】在集合A中，用十字相乘法可解得，又因为，所以集合,=‎ 答案选B ‎【点睛】集合的限定条件需要考试时仔细审读，避免漏解错解。‎ ‎3.直线与平行，则的值为( )‎ A. B. 或 C. 0 D. －2或0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若直线与平行,则,解出a值后,验证两条直线是否重合,可得答案.‎ ‎【详解】若直线与平行, 则, 解得或, 又时,直线与表示同一条直线, 故, 故选A.‎ 本题考查的知识点是直线的一般式方程,直线的平行关系,正确理解直线平行的几何意义是解答的关键.‎ ‎4.的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先观察公式特点，可得是由余弦的差角公式展开得出。‎ ‎【详解】‎ ‎，选D ‎【点睛】熟悉两角和与差的正弦余弦正切公式特点，并学会用诱导公式进行转化是解决此类题性的关键。‎ ‎5.抛物线x2＝4y上一点P到焦点的距离为3，则点P到y轴的距离为(　　)‎ A. 2 B. 1‎ C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据抛物线方程可求得焦点坐标为(0,1)，准线方程为y＝－1.根据抛物线定义，得yP＋1＝3，解得yP＝2，代入抛物线方程求得xP＝± ，∴点P到y轴的距离为.‎ 故选A.‎ ‎6.已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的是诱导公式中正弦与余弦互化公式。‎ ‎【详解】通过观察题目可得：与两角整体相加得，可由诱导公式的，所以=,选D.‎ ‎【点睛】考生应熟记基本的一些角度转化形式，‎ 常见的互余关系有与，与，与等；‎ 常见的互补关系有与，与等.‎ ‎7.设双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查的是双曲线的渐近线，焦点在x轴上渐近线方程为：，焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为：。‎ ‎【详解】由题可知，，解得，所以双曲线的渐近线方程为：，选B.‎ ‎【点睛】求双曲线渐近线一定要要清楚焦点是在x轴还是在y轴上。‎ ‎8.若把函数的图象上的所有点向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移性质写出解析式，再根据函数特点求解。‎ ‎【详解】，因为函数图像关于y轴对称，所以当时，，，当时，。选C.‎ ‎【点睛】三角函数图像的平移变化有两种基本形式，解题时一定要加以甄别。‎ ‎9.方程表示双曲线的充要条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察题目，要使方程是双曲线，必须使分母的系数一个为正，一个为负。‎ ‎【详解】第一种情况：，解得 第二种情况：，解得，选A.‎ ‎【点睛】考虑符号时，应将式子前的正负号考虑在内。‎ ‎10.同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：因为函数的周期为，因此w=2，排除A,C，然后根据图像关于x=对称，排除选项D，选C ‎11.是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，，则线段的中点到 轴的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B的中点横坐标的和,求出线段AB的中点到y轴的距离 ‎【详解】是抛物线的焦点, ‎ ‎,准线方程, ‎ 设,‎ ‎, ‎ ‎, ‎ 线段AB中点横坐标为, ‎ 线段AB的中点到y轴的距离为 所以D选项是正确的 ‎【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算。‎ ‎12.是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可先通过构造几何图形，先设为，再利用双曲线第一定义，列出与的关系式，与的关系式，利用几何关系，在中，利用余弦定理即可求得答案。‎ ‎【详解】如图所示：‎ 设，由于为等边三角形，所以，所以，即，又，所以，在中，，，，，‎ 所以根据余弦定理有：，‎ 整理得：，即，所以离心率。‎ 故本题正确答案为B。‎ ‎【点睛】圆锥曲线跟几何问题机关的解法，常从以下几个方向考虑：‎ 圆锥曲线第一定义。‎ 圆锥曲线第二定义。‎ 几何关系所涉及的解三角形知识。‎ ‎13.已知命题p:m<0,命题q:x2+mx+1>0对一切实数x恒成立,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是(　　)‎ A. (-∞,-2) B. (2,+∞) C. (-∞,-2)∪(2,+∞) D. (-2,0)‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若p∧q为真命题，则q必须为真命题。根据q可求得m的范围，最终确定m的范围。‎ ‎【详解】对于q：x2+mx+1>0对一切实数x恒成立，需满足，即，，又因为命题p： m<0，所以,选D.‎ ‎【点睛】判断命题真假一般需要对命题去伪存真，把每一个命题化到最简，再根据题设去解题。‎ ‎14.在平面内，曲线上存在点P，使点P到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线C为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义得P轨迹，再根据曲线有无交点直接化简判断 ‎【详解】由点P到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，可得．‎ A．联立，化为41x2-250x+225=0，△=2502-41000＞0，因此曲线x+y=5上存在点P满足条件，∴是“有用曲线”，正确；‎ 同理与有交点，与显然有交点，因此可判断C，D给出的曲线是“有用曲线”，‎ 而B给出的曲线不是“有用曲线”， 在内部，无交点 ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义、两点之间的距离公式、曲线的交点，考查了推理能力与技能,还可从数形结合的方法来解此题。‎ 二、填空题：把答案填在答题卡相应位置.‎ ‎15.抛物线的准线方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由抛物线的标准方程为x2=y，得抛物线是焦点在y轴正半轴的抛物线，2P=1，‎ ‎∴其准线方程是y=，。‎ 故答案为：。‎ ‎16.函数，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的值，再求的值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎17.已知点M(，0)，椭圆与直线y＝k(x＋)交于点A，B，则△ABM周长为________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过定点N（-），确定椭圆的几何量，再利用椭圆的定义，即可求△ABM的周长.‎ ‎【详解】直线过定点N（-），由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：‎ AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．‎ ‎△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，‎ 故答案为：8．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆定义，直线过定点问题和利用椭圆的定义是解题的关键．‎ ‎18.已知中,,若该三角形只有一解,则的取值范围是______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】根据题意，由于中， ，‎ 根据正弦定理，‎ 因为该三角形只有一解，‎ 所以或,‎ 故答案为或.‎ 考点：解三角形 点评：主要是考查了解三角形的运用，属于基础题。‎ ‎19.直线与圆交于两点，且，则实数 _______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由圆的方程得到圆心坐标与半径，根据弦长，求出圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式，列出方程，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为圆圆心为，半径为，‎ 直线被圆截得的弦长为，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 即.解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查已知直线与圆位置关系求参数，熟记几何法求弦长的公式，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.‎ ‎20.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：仿此，若的“分裂”数中有一个是73，则的值为_____________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，，所以的值为 考点：归纳 三、解答题 ‎21.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知 ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求的值．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）第一题考查的是正弦定理，边化角即可。‎ ‎（2）由正弦的面积公式和余弦定理可求得。‎ ‎【详解】（1）∵，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∵，∴，即，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2）由三角形的面积公式，得，解得，‎ 由余弦定理，‎ 得，‎ 故．‎ ‎【点睛】解三角形一般先用正弦定理再用余弦定理。‎ ‎22.在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：ρ(2cosθ-sinθ)=6.‎ ‎（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线的直角坐标方程和曲线C2的参数方程.‎ ‎（Ⅱ）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据极坐标与普通方程的互化公式，将直线：ρ(2cosθ-sinθ)=6化为参数方程，C2的方程为，化为普通方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公式表示出距离，求最值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意知，直线的直角坐标方程为：2x-y-6=0.‎ ‎∵C2：（=1　∴C2：的参数方程为：（θ为参数）；‎ ‎（Ⅱ）设P（cosθ，2sinθ），则点P到的距离为 d=，‎ ‎∴当sin(60°-θ)＝-1，即点P（-,1）时，此时=2.‎ ‎23.某种产品的广告费支出与销售额(单位：万元）之间有如下对应数据:‎ ‎ ‎ ‎2 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎8 ‎ ‎ ‎ ‎30 ‎ ‎40 ‎ ‎60 ‎ ‎50 ‎ ‎70 ‎ ‎（1）求回归直线方程；（参考公式：b=,）‎ ‎（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？‎ ‎（参考数据：，，）‎ ‎【答案】（1）（Ⅱ）82. 5万元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中的数据求出代入公式b=，得，即可写出回归直线方程；（2）令，得，就是销售额的预测值.‎ ‎【详解】(1) ，‎ ‎,‎ 又已知，.‎ 于是可得：，‎ ‎,‎ 因此，所求回归直线方程为：;‎ ‎（2）解根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，‎ ‎(万元) ，即这种产品销售收入大约为82. 5万元.‎ ‎24.已知椭圆经过点，离心率为，且、分别为椭圆的左右焦点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线，交椭圆于两点，为中点，请说明存在实数，使得以为直径的圆经过点，（不要求求出实数）．‎ ‎【答案】（1）（2）存在实数，使得以为直径的圆过点 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由椭圆经过点，离心率为，列出方程组，可得的值，则椭圆方程可求（2）‎ 试题解析：（1）∵椭圆经过点，离心率为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）证明：设，线段的中点．‎ 由题意可得直线的方程为：且．‎ 联立，化为，‎ ‎，‎ 由，可得，且．‎ ‎∴，‎ 假设存在实数，使得为直径的圆过点，即，则，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，化为，‎ 设，则 ‎∴关于的方程存在正解，这样实数存在．‎ 即存在实数，使得以为直径的圆过点 ‎ ‎