北京市西城区北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

北京市西城区北京师范大学附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

北师大附属实验中学2019-2020学年度 高一年级第一学期数学期中考试试卷(一卷)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上)‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合B再求出交集.‎ ‎【详解】，‎ ‎∴，则，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.‎ ‎2.如果，那么下列不等式成立是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论．‎ ‎【详解】由于，不妨令，，可得 ，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ 可得，，，故不正确．‎ ‎，故D正确.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题．‎ ‎3.下列函数中，值域为(0，+∞)的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出每一个选项的函数的值域判断得解.‎ ‎【详解】A. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；‎ B. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；‎ C. 函数的值域为，所以该选项与已知不符；‎ D.函数的值域为(0，+∞)，所以该选项与已知相符.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.已知,若,则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，函数,求得,进而可求解的值.‎ ‎【详解】由题意，函数,‎ 由,即,得,‎ 则 ，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的求解问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性和函数的解析式的应用，合理应用函数的奇偶性和准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解.‎ ‎【详解】由得，‎ 由得，‎ 所以“”不能推出“”，‎ 所以“”是“”的非充分条件；‎ 因为“”不能推出“”，‎ 所以“”是“”的非必要条件.‎ 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.函数在区间(1，3)内零点个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明函数的单调递增，再证明，即得解.‎ ‎【详解】因为函数在区间(1，3)内都是增函数，‎ 所以函数在区间(1，3)内都是增函数，‎ 又 所以，‎ 所以函数在区间(1，3)内的零点个数是1.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查零点定理，考查函数单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.‎ ‎【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】对于函数恒成立或者有解求参问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.‎ ‎8.设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以，分段求解析式，结合图象可得．‎ ‎【详解】因为，‎ ‎，‎ ‎，时，，，‎ ‎，时，，，，；‎ ‎，时，，，，，‎ 当，时，由解得或，‎ 若对任意，，都有，则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．‎ 二、填空题(本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在答题纸上)‎ ‎9.已知，，则值为____________.‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为：24‎ ‎10.已知，是方程的两个根，则____________.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得的值，再把韦达定理代入得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 所以.‎ 故答案为：32‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎11.某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.‎ 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．‎ ‎12.已知函数，若，则x=___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，,当时，由可得结果.‎ ‎【详解】因为函数，‎ 当时，,‎ 当时，,‎ 可得（舍去），或，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及分类讨论思想的应用，属于简单题.‎ ‎13.若二元一次方程，，有公共解，则实数k=_____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意建立关于，的方程组，求得，的值，再代入中，求得的值．‎ ‎【详解】解得，‎ 代入得，‎ 解得．‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎14.已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 (1). (1,4) (2). ‎ ‎【解析】‎ 分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.‎ 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：‎ ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题(本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上)‎ ‎15.已知集合，.‎ ‎⑴若，求.‎ ‎⑵若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把的值代入确定出，再求出B, 求出与的交集即可；（2）根据与的并集为，确定出的范围即可．‎ ‎【详解】(1) 把代入得：，‎ 或，‎ ‎；‎ ‎（2），或，且，‎ ‎，‎ 解得：，‎ 则实数的范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集和并集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.已知函数的定义在上的偶函数，且当时有.‎ ‎⑴判断函数在上的单调性，并用定义证明.‎ ‎⑵求函数的解析式(写出分段函数的形式).‎ ‎【答案】(1)单调递增，证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用函数的单调性的定义证明；（2）运用偶函数的定义，求出的表达式，即可得到的解析式．‎ ‎【详解】（1）函数在，上单调递增．‎ 证明：设，则，‎ ‎，‎ 又，所以，，，‎ 所以．‎ 则，即，‎ 故函数在，上单调递增；‎ ‎（2）由于当时有，‎ 而当时，，‎ 则，‎ 即．‎ 则．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判断和证明，函数的解析式的求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎17.已知关于x的不等式的解集为A，且.‎ ‎（I）求实数a的取值范围；‎ ‎（II）求集合A.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）因为，所以将3代入后，可求得的取值范围；（Ⅱ）将不等式整理为，再讨论以及三种情况，确定三种情况后，再求二次不等式对应的二次方程的实根，讨论实根的大小，从而确定不等式的解集.‎ 试题解析：（I）∵，∴当时，有，即.‎ ‎∴，即a的取值范围是.‎ ‎（II）‎ 当a=0时，集合；‎ 当时，集合；‎ 当时，原不等式解集A为空集；‎ 当时，集合；‎ 当时，集合.‎ 考点：含参的一元二次不等式的解法 四、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上)‎ ‎18.函数的定义域为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得，‎ 即定义域为.‎ ‎19.已知函数则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先证明，求出的值，再求解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求函数值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.‎ ‎20.设，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分子展开化为，再利用基本不等式求最值。‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当且仅当，即时成立，‎ 故所求的最小值为。‎ ‎【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。‎ ‎21.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．‎ ‎①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；‎ ‎②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________．‎ ‎【答案】 (1). 130. (2). 15.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得 的最大值.‎ ‎【详解】(1),顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付元.‎ ‎(2)设顾客一次购买水果促销前总价为元,‎ 元时,李明得到的金额为,符合要求.‎ 元时,有恒成立,即,即元.‎ 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.‎ ‎22.设函数的定义域为D，如果存在正实数m，使得对任意，都有，则称为D上的“m型增函数”，已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．若为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的解析式，再对a分类讨论结合函数的图像的变换分析解答得解.‎ ‎【详解】∵函数是定义在R上的奇函数且当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∵为R上的“20型增函数”，‎ ‎∴，‎ 当时，由的图象(图1)可知，向左平移20个单位长度得的图象显然在图象的上方，显然满足．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 当时，由的图象(图2)向左平移20个单位长度得到的图象，要的图象在图象的上方．∴，∴，‎ 综上可知：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图像的变换和函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ 五、解答题(本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上)‎ ‎23.已知关于x的一元二次方程.‎ ‎(1)若方程有实数根，求实数k的取值范围；‎ ‎(2)如果k是满足(1)的最大整数，且方程的根是一元二次方程的一个根，求m的值及这个方程的另一个根.‎ ‎【答案】（1）（2）m=3，方程的另一根为4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)解不等式即得解；（2）先根据已知求出m的值，再解方程求方程的另外一个根.‎ ‎【详解】(1)由题意得，所以，解得.‎ ‎(2)由(1)可知k=2，‎ 所以方程的根.‎ ‎∴方程的一个根为2，‎ ‎∴，解得m=3.‎ ‎∴方程，‎ 解得或.‎ 所以方程的另一根为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况的判定，考查一元二次方程的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎24.已知函数，其中，‎ ‎（1）若的图象关于直线对称，求的值；‎ ‎（2）求在区间[0，1]上的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，解方程即得解；（2）把对称轴与区间[0，1]分三种情况讨论求函数的最小值.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以，的图象的对称轴方程为.‎ 由，得.‎ ‎（2）函数的图象的对称轴方程为，‎ ‎①当，即时，‎ 因为在区间(0，1)上单调递增，‎ 所以在区间[0，1]上的最小值为.‎ ‎②当，即时，‎ 因为在区间(0，)上单调递减，在区间(，1)上单调递增，‎ 所以在区间上的最小值为.‎ ‎③当，即时，‎ 因为在区间(0，1)上单调递减，‎ 所以在区间[0，1]上的最小值为.‎ 综上：.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，考查二次函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎25.对于区间[a,b](a

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