数学理卷·2018届黑龙江齐齐哈尔市第八中学高三上学期第三次阶段测试（2017

数学理卷·2018届黑龙江齐齐哈尔市第八中学高三上学期第三次阶段测试（2017

高三第三阶段测试数学试题（理科）‎ ‎ 命题人：许志海 审题人：关中标 ‎ 一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)‎ ‎1. 若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 （　　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. “”是“”的 （　　 ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 命题“且的否定形式是 （　　 ）‎ A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 ‎ ‎4.设（是虚数单位），则 （　　 ）‎ ‎ A． B． C． D． 【来源：全,品…中&高*考+网】5. 等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于 （ ）‎ A．1 B C.- 2 D 3‎ ‎6. 平面六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为 （ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6 ‎ ‎7. 已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= ‎ A. B. C. D.2 ‎ ‎8. 若直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则 （ ）‎ ‎ A. α B. //α C.α D. A、C都有可能 ‎9. 已知正方体，E是棱CD的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） ‎ ‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎10. 已知等比数列满足，且，则当时，【来源：全,品…中&高*考+网】 （　　 ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[], ‎ ‎ （ ） ‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 ‎12. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则 ‎ ‎ （ ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)‎ ‎13. .‎ ‎14. 设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎15. 如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。‎ ‎16. 设，其中均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）‎ ‎ ①；②；③；④；⑤.‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 在中，已知.‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ （1） 证明：直线EE//平面FCC；‎ （2） 求二面角B-FC-C的余弦值。【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20．设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和． ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎ （1）试讨论的单调性；‎ ‎ （2）若（实数c是与a无关的常数），当函数有三个不同的零点时，a ‎ 的取值范围恰好是，求c的值.‎ 请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系中，直线:=2，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求，的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积. ‎ ‎23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.‎ ‎ ‎ ‎ 高三第三阶段测试数学试题答案（理科）‎ 一、选择题（每个5分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B D D C C B A A A B A 二、填空题（每个5分）‎ ‎13、0 14、 1 15、 900 16、1，3，4，5 ‎ 三、解答题 ‎17．(本小题满分12分)‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．‎ ‎（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎ ∴OE//PD，，又∵，‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ ‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎ ∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设 则，‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面.‎ ‎（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，‎ ‎ 设AC∩BD=O，连接OE， ‎ ‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 解法（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,‎ 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,‎ 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,‎ C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以 ‎,,设平面CC‎1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,‎ ‎,,【来源：全,品…中&高*考+网】‎ 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC ‎-C的余弦值为.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎. ②‎ ‎①-②可得，‎ 故. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 当时，时，，时，，‎ 所以函数在，上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个 零点等价于，从而或．‎ 又，所以当时，或当时，．‎ 设，因为函数有三个零点时，的取值范围恰好是 ‎，则在上，且在上均恒成立，‎ 从而，且，因此．‎ 此时，，‎ 因函数有三个零点，则有两个异于的不等实根，‎ 所以，且，‎ 解得．‎ 综上．‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程 ‎23. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 ‎(1)解：当x＜－时，不等式f(x)＜2可化为－x－x－＜2，解得x＞－1，∴－1＜x＜－；‎ 当－≤x≤时，不等式f(x)＜2可化为－x＋x＋＝1＜2，‎ 此时不等式恒成立，‎ ‎∴－≤x≤；‎ 当x＞时，不等式f(x)＜2可化为－＋x＋x＋＜2，‎ 解得x＜1，∴＜x＜1.‎ 综上可得M＝(－1,1)．‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，(a2－1)(b2－1)＞0，‎ 即a2b2＋1＞a2＋b2，即a2b2＋1＋2ab＞a2＋b2＋2ab，‎ 即(ab＋1)2＞(a＋b)2，即|a＋b|＜|1＋ab|.‎