2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

‎5.2　函数的表示方法 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．(重点)‎ ‎2．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值．(重点、难点)‎ 通过学习本节内容，进一步提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养．‎ 观察教材第5．1节开头的3个函数问题，你能说出各种函数表达形式上的特点吗？如何用数学语言来准确地描述函数表示法？你能说出几种函数表示法的优缺点吗？‎ ‎1．函数的表示方法 ‎2．分段函数 ‎(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．‎ ‎(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．‎ ‎(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何一个函数都可以用列表法表示． (　　)‎ ‎(2)任何一个函数都可以用解析法表示． (　　)‎ ‎(3)有些函数能用三种方法来表示． (　　)‎ - 8 -‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．(一题两空)若函数f(x)＝则f(x)的定义域为　　　　 ，值域为　　　　．‎ ‎{x|x≠0}　{y|y>－1}　[定义域为{x|x>0或x<0}＝{x|x≠0}，‎ 当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>－1，∴值域为{y|y>－1}．]‎ ‎3．某同学去商店买笔记本，单价5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种方法表示函数y＝f(x)．‎ ‎[解]　列表法：‎ 笔记本数x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 钱数y ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ 解析法：y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．‎ 图象法：‎ ‎ ‎ 求函数解析式 ‎【例1】　求下列函数的解析式．‎ ‎(1)已知f(x)为一次函数，f(2x＋1)＋f(2x－1)＝－4x＋6，则f(x)＝　　　　．‎ ‎(2)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝　　　　．‎ ‎(3)已知f(x)为一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝　　　　．‎ ‎(4)设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为　　　　．‎ ‎(5)若f＝x2＋，则f(x)＝　　　　．‎ ‎[思路点拨]　(1)(3)可以设出函数解析式，用待定系数法求解．(2)可以把＋1看作一个整体来求解．(4)用待定系数法求解．(5)可以把x－看作一个整体来求解．‎ ‎(1)－x＋3　(2)x2－1(x≥1)　(3)2x－或－2x＋1　(4)f(x)＝　(5)x2＋4　[(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，‎ f(2x＋1)＝a(2x＋1)＋b，‎ f(2x－1)＝a(2x－1)＋b，‎ - 8 -‎ f(2x＋1)＋f(2x－1)＝4ax＋2b＝－4x＋6，‎ 所以解得 即函数f(x)的解析式为f(x)＝－x＋3．‎ ‎(2)令＋1＝t(t≥1)，‎ 则＝t－1，x＝(t－1)2，‎ ‎∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，‎ ‎∴f(x)＝x2－1(x≥1)．‎ ‎(3)设所求函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，‎ 所以f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1，则 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1．‎ ‎(4)由题意得解得 故f(x)＝ ‎(5)f＝x2＋＝＋4，‎ ‎∴f(x)＝x2＋4．]‎ 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可.‎ (2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围.‎ (3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可.‎ (4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.‎ ‎1．(1)已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，则f(x)＝　　　　．‎ ‎(2)若f＝＋，则f(x)＝　　　　．‎ ‎(1)x＋　(2)x2－x＋1(x≠1)‎ - 8 -‎ ‎[(1)设f(x)＝k1x＋，则⇒∴f(x)＝x＋．‎ ‎(2)令t＝(t≠1)，则x＝，∴f(t)＝＋(t－1)＝t2－t＋1，‎ ‎∴f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．]‎ 分段函数 ‎【例2】　已知函数f(x)＝ 试求f(－5)，f(－)，f的值．‎ ‎[思路点拨]　要求各个函数值，需要把自变量代入到相应的解析式中．‎ ‎[解]　由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，‎ f(－)＝(－)2＋2(－)‎ ‎＝3－2．‎ 因为f＝－＋1＝－，‎ ‎－2<－<2，‎ 所以f＝f ‎＝＋2× ‎＝－3＝－．‎ ‎1．(变结论)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值．‎ ‎[解]　①当a≤－2时，f(a)＝a＋1，所以a＋1＝3，所以a＝2>－2不合题意，舍去．‎ ‎②当－2m(m≤－2或m≥2)，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　若f(m)>m，‎ 即或 即m≤－2或 所以m≤－2或m≥2．‎ 所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．‎ ‎1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．‎ ‎2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．‎ ‎3．求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可．‎ 求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集．‎ 方程组法求解析式 ‎[探究问题]‎ ‎1．解二元一次方程组的主导思想是什么？‎ ‎[提示]　主导思想是消元，常用的消元方法有代入消元和加减消元两种．‎ ‎2．解方程组： ‎[提示]　法一(代入消元法)：由②得A＝B＋6，代入①得B＋6＋B＝4，∴B＝－1，代入A＝B＋6，得A＝5，∴A＝5，B＝－1．‎ 法二(加减消元法)：①＋②得‎2A＝10，∴A＝5，‎ ‎①－②得2B＝－2，∴B＝－1．‎ ‎3．探究2中，每个等式右边如果是代数式，如能求A，B吗？‎ ‎[提示]　能求A，B．仍可以采用上述两种方法．‎ 两式相加得‎2A＝x2＋4x，∴A＝，‎ 两式相减得2B＝x2－4x，∴B＝．‎ ‎【例3】　求解析式．‎ ‎(1)已知f(x)＋‎2f(－x)＝，求f(x)；‎ - 8 -‎ ‎(2)已知‎2f(x)＋f＝3x，求f(x)．‎ ‎[思路点拨]　将f(x)与f(－x)，f(x)与f分别看作两个变量，构造这两个变量的方程组，通过解方程组求f(x)．‎ ‎[解]　(1)∵f(x)＋‎2f(－x)＝， ①‎ 用－x替换x得f(－x)＋‎2f(x)＝－， ②‎ ‎②×2－①得‎3f(x)＝－－＝－，∴f(x)＝－．‎ ‎(2)∵‎2f(x)＋f＝3x，‎ 用替换x得‎2f＋f(x)＝，‎ 消去f得‎3f(x)＝6x－，∴f(x)＝2x－．‎ 方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用或－x替换原式中的x即可．‎ ‎2．已知f(x)满足f(x)＝‎2f＋x，则f(x)的解析式为　　　　．‎ f(x)＝－－　[因为f(x)＝‎2f＋x，用替换x得f＝‎2f(x)＋，‎ 代入上式得f(x)＝2＋x，‎ 解得f(x)＝－－．]‎ ‎1．函数三种表示法的优缺点 - 8 -‎ ‎2．描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．‎ ‎3．求函数解析式常用的方法有：(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法；(5)方程组法等．‎ ‎1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是(　　)‎ C　[先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断．‎ 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C．]‎ ‎2．已知函数f(3x＋1)＝x2＋3x＋2，则f(10)＝　　　　．‎ ‎20　[令3x＋1＝10，∴x＝3，代入得f(10)＝32＋3×3＋2＝20．]‎ ‎3．已知f(x)是一次函数，‎2f(2)－‎3f(1)＝5,‎2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝　　　　．‎ ‎3x－2　[设f(x)＝kx＋b(k≠0)，‎ - 8 -‎ ‎∵‎2f(2)－‎3f(1)＝5,‎2f(0)－f(－1)＝1，‎ ‎∴∴ ‎∴f(x)＝3x－2．]‎ ‎4．已知函数f(x)＝ ‎(1)求f(2)，f(f(2))的值；‎ ‎(2)若f(x0)＝8，求x0的值．‎ ‎[解]　(1)∵0≤x≤2时，f(x)＝x2－4，‎ ‎∴f(2)＝22－4＝0，f(f(2))＝f(0)＝02－4＝－4．‎ ‎(2)当0≤x0≤2时，由x－4＝8，得x0＝±2(舍去)；‎ 当x0>2时，由2x0＝8，得x0＝4．∴x0＝4．‎ - 8 -‎