2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

2020八年级数学上册第2章特殊三角形2

‎2.6 直角三角形(一) ‎ A组 ‎1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中直角三角形有(D)‎ A．0个 B．1个 ‎ C．2个 D．3个 ‎(第1题)‎ ‎　　　(第2题)‎ ‎2．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1．‎2 km，则M，C两点间的距离为(D)‎ A． 0．‎5 km B． 0．‎‎6 km C． 0．‎9 km D． 1．‎‎2 km ‎3．直角三角形两个锐角平分线相交所成的钝角的度数为(B)‎ A． 120° B． 135°‎ C． 150° D． 120°或135°‎ ‎4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC的中点，连结DE，则△CDE的周长为(C)‎ A． 12 B． 13 ‎ C． 14 D． 20‎ ‎ (第4题)‎ ‎　　(第5题)‎ ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE经过点C，且DE∥AB．若∠ACD＝50°，则∠A＝__50°__，∠B＝__40°__．‎ ‎6．如图，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B，D是OP的中点，则DA与DB的数量关系是BA＝DB．‎ 5‎ ‎,(第6题))　　,(第7题))‎ ‎7．如图，△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C′，此时恰好A′B′⊥AC，则∠A＝__55°__．‎ ‎8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交BC于点D，垂足为E，且∠CAD∶∠CAB＝1∶3，求∠B的度数．‎ ‎(第8题)‎ ‎【解】　设∠CAD＝x°，‎ 则∠CAB＝3x°，∠BAD＝2x°．‎ ‎∵DE是AB的中垂线，‎ ‎∴DA＝DB，‎ ‎∴∠B＝∠BAD＝2x°．‎ ‎∵∠C＝90°，‎ ‎∴∠CAB＋∠B＝90°，‎ 即3x＋2x＝90，‎ 解得x＝18，‎ ‎∴∠B＝2×18°＝36°．‎ ‎ (第9题)‎ ‎9．如图，在△ABC中，AD，BE分别为边BC，AC上的高线，D，E为垂足，M为AB的中点，N为DE的中点．求证：‎ ‎(1)△MDE是等腰三角形．‎ ‎(2)MN⊥DE．‎ ‎【解】　(1)∵AD，BE分别为边BC，AC上的高线，‎ ‎∴△ABD，△ABE均为直角三角形．‎ ‎∵M是Rt△ABD斜边AB的中点，∴MD＝AB．‎ 5‎ 同理，ME＝AB．‎ ‎∴ME＝MD．∴△MDE是等腰三角形．‎ ‎(2)∵ME＝MD，N是DE的中点，∴MN⊥DE．‎ B组 ‎(第10题)‎ ‎10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将边BC沿斜边上的中线CD折叠到CB′．若∠B＝50°，则∠ACB′＝__10°__．‎ ‎【解】　∵∠ACB＝90°，∠B＝50°，‎ ‎∴∠A＝40°．‎ ‎∵CD是AB边上的中线，‎ ‎∴CD＝BD＝AD，‎ ‎∴∠BCD＝∠B＝50°，∠DCA＝∠A＝40°．‎ 由折叠可知∠B′CD＝∠BCD＝50°，‎ ‎∴∠ACB′＝∠B′CD－∠DCA＝10°．‎ ‎(第11题)‎ ‎11．如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．求证：‎ ‎(1)G是CE的中点．‎ ‎(2)∠B＝2∠BCE．‎ ‎【解】　(1)连结DE．‎ ‎∵AD是高线，∴△ABD是直角三角形．‎ ‎∵CE是AB边上的中线，‎ ‎∴DE是Rt△ABD斜边上的中线．‎ ‎∴DE＝BE＝AE．‎ ‎∵DC＝BE，∴DE＝DC．‎ 又∵DG⊥CE，∴CG＝EG，即G是CE的中点．‎ ‎(2)∵DE＝BE，∴∠B＝∠BDE．‎ ‎∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE．‎ ‎∵∠BDE是△DCE的一个外角，‎ ‎∴∠BDE＝∠DEC＋∠BCE＝2∠BCE．‎ ‎∴∠B＝2∠BCE．‎ 5‎ ‎ (第12题)‎ ‎12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M是边AB的中点，CH⊥AB于点H，CD平分∠ACB．‎ ‎(1)求证：∠1＝∠2．‎ ‎(2)过点M作AB的垂线交CD的延长线于点E，连结AE，BE．求证：CM＝EM．‎ ‎【解】　(1)∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠BCH＋∠ACH＝90°．‎ ‎∵CH⊥AB，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，‎ ‎∴∠CAH＝∠BCH．‎ ‎∵M是斜边AB的中点，∴CM＝AM＝BM，‎ ‎∴∠CAM＝∠ACM．∴∠BCH＝∠ACM．‎ ‎∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACD，‎ ‎∴∠BCD－∠BCH＝∠ACD－∠ACM，‎ 即∠1＝∠2．‎ ‎(2)∵CH⊥AB，ME⊥AB，∴ME∥CH，‎ ‎∴∠1＝∠MED．‎ ‎∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠MED，∴CM＝EM．‎ 数学乐园 ‎(第13题)‎ ‎13．如图，在Rt△ABC的场地上，∠B＝90°，AB＝BC，∠CAB的平分线AE交BC于点E．甲、乙两人同时从A处出发，以相同的速度分别沿AC和A→B→E线路前进，甲的目的地为C，乙的目的地为E．请你判断一下，甲、乙两人谁先到达各自的目的地？并说明理由．‎ ‎【解】　同时到达．理由如下：‎ 过点E作EF⊥AC于点F．‎ ‎∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠C＝＝45°．‎ ‎∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，‎ ‎∴∠CEF＝90°－∠C＝45°＝∠C，∴EF＝CF．‎ 又∵AE平分∠CAB，∴EF＝EB．‎ 5‎ 易证得△AEF≌△AEB，得AF＝AB，可知AB＋BE＝AF＋CF＝AC，故同时到达．‎ 5‎