数学理卷·2018届河南省洛阳市届高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届河南省洛阳市届高三上学期期中考试（2017

洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试 数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列说法中正确的个数是（ ）‎ ‎①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；‎ ‎②命题“”的否定是“”；‎ ‎③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎4. 函数的大致图象是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 等比数列中，，函数，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知数列的首项，则（ ）‎ A．99 B．101 C. 399 D．401‎ ‎10.在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 用表示不超过的最大整数（如）．数列满足，若，则的所有可能值的个数为（ ）‎ A． ４ B． ３ C. ２ D．１‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上 ‎13.设变量满足约束条件：，则的最大值是 ．‎ ‎14.若定义在上的函数，则 ．‎ ‎15.设均为正数，且，则的最小值为 ．‎ ‎16.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.已知向量．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所有图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心．‎ ‎18.已知数列满足，设．‎ ‎（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求证：．‎ ‎19.在中，分别是角的对边，且．‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若为的中点，且，求面积的最大值．‎ ‎20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）求函数在区间上的最值．‎ ‎21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，且有两个极值点，求取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:CABBD 6-10: DBACA 11、12：CB 二、填空题 ‎13. 8 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）∵，‎ 即，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）得，从而．‎ 解得，‎ ‎∴的单调增区间是，‎ 由得，即函数图象的对称中心为．‎ ‎18.（1）由已知易得，由，‎ 得，即；‎ ‎∴，‎ 又，‎ ‎∴是以为首项，以为公比的等比数列．‎ 从而，‎ 即，整理得，‎ 即数列的通项公式为．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎19.（1）由，得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 又，∴．‎ ‎（2）在中由余弦定理得，‎ 在中由余弦定理得，‎ 二式相加得，‎ 整理得，‎ ‎∵，∴，‎ 所以的面积．‎ 当且仅当时“=”成立，‎ ‎∴面积的最大值为．‎ ‎20.（1）∵，‎ ‎∴，‎ 由知，解得，‎ 从而，∴，‎ 所以，∴，‎ 曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ ‎（2）由于，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎-3‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故的单调增区间是，，单调减区间是，‎ ‎（3）由于，，‎ 所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1．‎ ‎21.（1）由，可得，‎ 又，∴，‎ 从而，∵底面，∴．‎ ‎∵，∴平面，所以平面平面．‎ ‎（2）由（1）可知为与底面所成的角．‎ 所以，所以，‎ 又，及，可得，‎ 以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，‎ 则．‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，取，‎ 同理平面的法向量为．‎ 所以，‎ 又二面角为锐角，‎ 所以二面角余弦值为．‎ ‎22.（1）的定义域为，在定义域内单调递增，‎ ‎，即在上恒成立，‎ 由于，所以，实数的取值范围是．‎ ‎（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，， ∴，‎ 因为，解得，‎ 由于，于是 ‎，‎ 令，则，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎，‎ 即，‎ 故的取值范围为．‎