数学卷·2018届贵州省遵义市第四中学高三上学期第一次月考理数试卷（解析版）

数学卷·2018届贵州省遵义市第四中学高三上学期第一次月考理数试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！遵义四中2018届高三第一次月考试卷 理科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ‎ 选D ‎2. 设复数满足则( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意，则．故选B．‎ 考点：复数的运算，复数的模．‎ ‎3. 已知函数，则( )‎ A. B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，选C ‎4. 下列函数中，在定义域内单调且是奇函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图像不连续，在 和 均为减函数，但在定义域内不单调，故 A不满足条件；函数定义域为，是非奇非偶函数，故B不满足条件；函数 的定义域为 ，是偶函数，故C不满足条件；函数 是奇函数，在定义域内单调递增，故选D ‎ ‎5. 已知双曲线的一焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题抛物线的焦点坐标为 ，即双曲线的焦点坐标为，则 ，且双曲线的焦点在 轴，则 ，， 即 则 ，则双曲线的渐近线方程为 选C ‎【点睛】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，根据条件正确求出的值是解决本题的关键．‎ ‎6. “”是“函数在区间上为增函数”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若函数 在区间 上为增函数， 则对称轴 ，解得 ， 则“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件， 故选A ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出 的取值范围是解决本题的关键．‎ ‎7. 若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.‎ 点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。本题注意恒成立的等价转换。‎ ‎8. 已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 为减函数，所以 ，选B.‎ 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.‎ ‎9. 已知函数，，若函数有两个不相同的零点，则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数 有两个零点可化为 与 有两个不同的交点，在同一坐标系作出函数 与的图象， 故直线 的斜率 ；直线 的斜率 故 的取值范围为 ，选D ‎10. 若偶函数在上单调递减，且，，，则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题，偶函数在上单调递减， 在 上单调递增，由指数函数和幂函数的性质可得， ‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查函数奇偶性以及指数函数和幂函数的性质，熟练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键．‎ ‎11. 如图，一直角墙角的两边足够长，若处有一棵树(不考虑树的粗细)与两墙的距离分别是和(单位：)现用长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃，设此矩形花圃的最大面积为，若将这棵树围在矩形花圃内(包括边界)，则函数的图象大致是( )‎ A. B. C. ‎ ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】可得故选B．‎ ‎12. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.‎ 综上所以.‎ 故选B.‎ 考点：函数的极值与导数的关系.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 函数，则该函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的定义域应满足 ，解得且，故函数的定义域为 ‎14. 函数是定义在上的奇函数，当时， ，则当时， ‎ ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意函数函数是定义在上的奇函数， 时， ∴当 时， 故答案为 ‎ ‎15. 已知直线与曲线相切，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点坐标为 ，解得， ，切点 在直线上， 而切点 又在曲线上 故答案为．‎ ‎16. 已知函数在内存在最小值，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题 ，令可得 或 ，当时在上恒成立，在上单调递增，在内不存在最小值；当时 在和上单调递增，在 上单调递减，根据题意此时 得到；当时在和上单调递增，在 上单调递减，根据题意此时 得到；综上的取值范围为 ‎ ‎【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性及其应用，解题时一定要注意 是开区间，不是闭区间，否则容易出现错误.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知向量，，．‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）若，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）计算，得到的解析式，将代入解析式计算即可； （2）化简，．，得出，再利用，可得，则 可求．‎ 试题解析：（1）‎ ‎ ；‎ ‎（2）∵ ∴又∵ ‎ ‎ ∴ ∴ ∴ ∴‎ ‎18. 为了解我校高三年级学生暑假期间的学习情况，现随机抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间的有8人．‎ ‎（1）求直方图中的值及甲班学生平均每天学习时间在区间的人数；‎ ‎（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间不少于10个小时的学生中任取5人参加测试，设5人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) ,甲班学生平均每天学习时间在区间的有 人；‎ ‎(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由直方图能求出的值及甲班学生每天平均学习时间在区间的人数；（II）由已知得的所有可能取值为，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.‎ 试题解析：（I） 由直方图知，，解得，因为甲班学习时间在区间的有8人，‎ 所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．‎ 所以甲班学习时间在区间的人数为（人）．‎ ‎（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）．‎ 由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，‎ 在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎． ‎ ‎19. 如图，四边形是体积为的圆柱的轴截面，点在底面圆周上，，是的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 二面角的余弦值为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由四边形ABCD是体积为的圆柱OQ的轴截面，求出，推导出，，由此能证明AG⊥平面DPB；‎ ‎（2）由AG⊥平面DPB，知∠PGB是二面角P-AG-B的平面角，由此能求出二面角P-AG-B的正弦值．‎ 试题解析：‎ ‎(1) 由题意可知，解得，在直角中，，由勾股定理得,又是的中点，. ① 为圆的直径，，由已知得底面. ② 由①②可知：平面.‎ ‎(2) 由（1）知:平面是二面角的平面角.,‎ ‎,所以二面角的平面角的正弦值.‎ ‎20. 如图所示，曲线是以坐标原点为顶点，轴为对称轴的抛物线，且焦点在轴正半轴上，圆．过焦点且与轴平行的直线与抛物线交于两点，且．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）直线过且与抛物线和圆依次交于，且直线的斜率，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设抛物线的标准方程为：求出抛物线的焦点，可得 ，可得抛物线的方程，； （2）求出 的坐标和直线的方程，求出圆心到直线的距离，运用弦长公式可得 ，再联立直线和抛物线的方程，运用韦达定理和抛物线的定义，可得 ， 由此可得关于 的解析式 ，设，求出关于的关系式，运用换元法和导数，结合单调性，即可得到所求范围．‎ 试题解析：（1）根据题意可知，抛物线的标准方程为：‎ ‎∵，则 ‎∴‎ ‎∴抛物线的标准方程为：．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴‎ 设，‎ 联立方程消去，得 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵点到直线的距离为，则 ‎∴‎ 令，则 ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴的范围为．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，注意运用联立方程组，运用韦达定理和抛物线的定义，以及直线和圆的位置关系，注意运用弦长公式以及换元法的应用，对学生运算能力要求较高．‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若时，都有成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 在上单调递减，在上单调递增；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数 的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）由（1）.令，则可得当时，，则在上单调递增，而，即，故在上单调递增，，∴时成立；‎ 又当时，可得在上单调递减，上单调递增，‎ ‎∴存在一个，使得，即在上，单调递减，‎ 在上单调递增，而，即在上，恒大于0不成立 试题解析：（1）‎ 当时， 当时，；当时，‎ ‎；‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）令，则 ‎∵，则 ‎∴当时，，则在上单调递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴时成立；‎ 当，易知，，，，且 ‎∴在上单调递减，上单调递增，‎ ‎∴存在一个，使得，即在上，单调递减，‎ 在上单调递增，而 ‎∴在上，恒大于0不成立 ‎∴时不成立 ‎∴．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲线，，直线(是参数)‎ ‎（1）求出曲线的参数方程，及直线的普通方程；‎ ‎（2）为曲线上任意一点，为直线上任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，写出曲线 的直角坐标方程和直线的普通方程； ‎ ‎2）设则到直线的距离为 由，可得，进而可得 由此，可得，则的取值范围可求．‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为：‎ ‎∴曲线的参数方程（为参数，）‎ 直线的普通方程为：‎ ‎（2）设 ‎∴到直线的距离为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）求的值域；‎ ‎（2）若的最大值为，已知均为正实数，且，求证：．‎ ‎【答案】(1) 的值域为；(2)见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）分类讨论，得到的解析式（分段函数），可知的最大值为，则其值域为 ‎（2）由（1）可知，则由由柯西不等式易得 ，问题的证 试题解析：（1）‎ ‎∴的最大值为，‎ ‎∴的值域为 证明：（2）由（1）可知，‎ ‎∴‎ ‎∴由柯西不等式得：‎ ‎ ‎ 即（当且仅当时取等号）．‎ ‎ ‎