2013年湖北省随州市中考数学试题（含答案）

2013年湖北省随州市中考数学试题（含答案）

湖北省随州市2013年中考数学试卷 一、选择题（本题有共10个小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）‎ ‎1．（4分）（2013•随州）与﹣3互为倒数的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 倒数 分析：‎ 根据乘积是1的两个数叫做互为倒数解答．‎ 解答：‎ 解：∵（﹣3）×（﹣）=1，‎ ‎∴与﹣3互为倒数的是﹣．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了倒数的定义，熟记概念是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2013•随州）不等式2x+3≥1的解集在数轴上表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 求出不等式的解集，表示在数轴上即可．‎ 解答：‎ 解：不等式2x+3≥1，‎ 解得：x≥﹣1，‎ 表示在数轴上，如图所示：‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2013•随州）如图，直线a，b与直线c，d相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎35°‎ B．‎ ‎70°‎ C．‎ ‎90°‎ D．‎ ‎110°‎ 考点：‎ 平行线的判定与性质．‎ 分析：‎ 首先根据∠1=∠2，可根据同位角相等，两直线平行判断出a∥b，可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可以计算出∠4的度数．‎ 解答：‎ 解：∵∠1=∠2，‎ ‎∴a∥b，‎ ‎∴∠3=∠5，‎ ‎∵∠3=70°，‎ ‎∴∠5=70°，‎ ‎∴∠4=180°﹣70°=110°，‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系 ‎　‎ ‎4．（4分）（2013•随州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2+a3=a5‎ B．‎ a2•a3=a5‎ C．‎ ‎（a2）3=a5‎ D．‎ a10÷a2=a5‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方4‎ 分析：‎ 根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；‎ B、a2•a3=a5，正确；‎ C、应为（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误；‎ D、应为a10÷a2=a10﹣2=a8，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的一定不能合并．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎25‎ B．‎ ‎20‎ C．‎ ‎15‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 菱形的性质；等边三角形的判定与性质 分析：‎ 由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∵△ABC的周长是15，‎ ‎∴AB=BC=5，‎ ‎∴菱形ABCD的周长是20．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2013•随州）数据4，2，6的中位数和方差分别是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2，‎ B．‎ ‎4，4‎ C．‎ ‎4，‎ D．‎ ‎4，‎ 考点：‎ 方差；中位数．‎ 分析：‎ 根据方差和中位数的概念求解；方差公式为S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，排序后的第2就是中位数．‎ 解答：‎ 解：从小到大排列为：2，4，6，‎ 最中间的数是4，则中位数是4；‎ 平均数是：（2+4+6）÷3=4，‎ 方差=[（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2]=；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了方差和中位数，方差公式为：S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2013•随州）如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计）（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40×40×70‎ B．‎ ‎70×70×80‎ C．‎ ‎80×80×80‎ D．‎ ‎40×70×80‎ 考点：‎ 展开图折叠成几何体 分析：‎ 根据所给的图形，折成长方体，再根据长方体的容积公式即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：根据图形可知：‎ 长方体的容积是：40×70×80；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了展开图折叠成几何体，解决本题的关键是根据展开图确定出长方体的长、宽、高，再根据公式列出算式即可．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2013•随州）我市围绕“科学节粮减损，保障食品安全”，积极推广农户使用“彩钢小粮仓”．每套小粮仓的定价是350元，为了鼓励农户使用，中央、省、市财政给予补贴，补贴部分是农户实际出资的三倍还多30元，则购买一套小货仓农户实际出资是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎80元 B．‎ ‎95元 C．‎ ‎135元 D．‎ ‎270元 考点：‎ 一元一次方程的应用 分析：‎ 设购买一套小货仓农户实际出资是x元，根据政府补贴是农户实际出资的三倍还多30元后，每套小粮仓的定价是350元，可列方程求解．‎ 解答：‎ 解：设购买一套小货仓农户实际出资是x元，依题意有 x+3x+30=350，‎ ‎4x=320，‎ x=80．‎ 答：购买一套小货仓农户实际出资是80元．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查理解题意的能力，设出购买一套小货仓农户实际出资，以每套小粮仓的定价作为等量关系列方程求解．‎ ‎9．（4分）（2013•随州）正比例函数y=kx和反比例函数y=﹣（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的图象；正比例函数的图象 分析：‎ 首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx所在象限，进而选出答案．‎ 解答：‎ 解：反比例函数y=﹣（k是常数且k≠0）中﹣（k2+1）＜0，图象在第二、四象限，故A、D不合题意，‎ 当k＞0时，正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，经过原点，故C符合；‎ 当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，经过原点，故B不符合；‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了反比例函数与正比例函数图象，关键是掌握两个函数图象的性质．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2013•随州）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=．‎ 其中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎①③‎ C．‎ ‎②③‎ D．‎ ‎①②③‎ 考点：‎ 正方形的性质；翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ 先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断③正确．‎ 解答：‎ 解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，‎ ‎∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2，‎ ‎∵△ADE沿AE对折至△AFE，‎ ‎∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，‎ ‎∴AB=AF=AD，‎ 在Rt△ABG和Rt△AFG中，，‎ ‎∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），‎ ‎∴BG=FG，‎ 设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3﹣x，‎ 在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，‎ 即（1+x）2=（3﹣x）2+22，‎ 解得，x=，‎ ‎∴CG=3﹣=，‎ ‎∴BG=CG=，‎ 即点G是BC中点，故①正确；‎ ‎∵tan∠AGB===2，‎ ‎∴∠AGB≠60°，‎ ‎∴∠CGF≠180°﹣60°×2≠60°，‎ 又∵BG=CG=FG，‎ ‎∴△CGF不是等边三角形，‎ ‎∴FG≠FC，故②错误；‎ ‎△CGE的面积=CG•CE=××2=，‎ ‎∵EF：FG=1：=2：3，‎ ‎∴S△FGC=×=，故③正确；‎ 综上所述，正确的结论有①③．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据各边的熟量关系利用勾股定理列式求出BG=FG的长度是解题的关键，也是本题的难点．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2013•随州）实数4的平方根是　±2　．‎ 考点：‎ 平方根 分析：‎ 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．‎ 解答：‎ 解：∵（±2）2=4，‎ ‎∴4的平方根是±2．‎ 故答案为±2．‎ 点评：‎ 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2013•随州）如图是一圆锥，在它的三视图中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是它的　俯　视图（填“主”，“俯”或“左”）．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形；简单几何体的三视图 分析：‎ 先判断圆锥的三视图，然后结合中心对称及轴对称的定义进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：圆锥的主视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；‎ 圆锥的左视图是等腰三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形；‎ 圆锥的俯视图是圆，是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ 故答案为：俯．‎ 点评：‎ 本题考查了简单几何体的三视图、轴对称及中心对称的定义，解答本题关键是判断出圆锥的三视图．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2013•随州）我市生态竞争指数全国第四，仅次于澳门、香港和南昌，目前全市现有林地面积57.3万公顷，数据573000用科学记数法表示为　5.73×105　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将573000用科学记数法表示为5.73×105．‎ 故答案为：5.73×105．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2013•随州）高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是　15π　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算；勾股定理 分析：‎ 利用勾股定理易得圆锥的母线长，圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长．‎ 解答：‎ 解：∵圆锥的底面半径是3，高是4，‎ ‎∴圆锥的母线长为5，‎ ‎∴这个圆锥的侧面展开图的面积是π×3×5=15π．‎ 故答案为：15π．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算；掌握圆锥的侧面积的计算公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2013•随州）甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地．2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y（千米）与小聪行驶的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，小明父亲出发　或　小时时，行进中的两车相距8千米．‎ 考点：‎ 一次函数的应用 专题：‎ 分类讨论．‎ 分析：‎ 根据图象求出小明和父亲的速度，然后设小明的父亲出发x小时两车相距8千米，再分相遇前和相遇后两种情况列出方程求解即可．‎ 解答：‎ 解：由图可知，小明的速度为：36÷3=12千米/时，‎ 父亲的速度为：36÷（3﹣2）=36千米/时，‎ 设小明的父亲出发x小时两车相距8千米，则小明出发的时间为（x+2）小时，‎ 根据题意得，12（x+2）﹣36x=8或36x﹣12（x+2）=8，‎ 解得x=或x=，‎ 所以，出发或小时时，行进中的两车相距8千米．‎ 故答案为：或．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息求出两人的速度是解题的关键，易错点在于要分两种情况求解．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2013•随州）如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”．目前，已破译出“今年考试”的真实意思是“努力发挥”．若“今”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是　对应文字横坐标加1，纵坐标加2　，破译“正做数学”的真实意思是　祝你成功　．‎ 考点：‎ 推理与论证 分析：‎ 根据坐标中文字位置得出“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），进而得出密码钥匙，即可得出“正做数学”的真实意思．‎ 解答：‎ 解：∵已破译出“今年考试”的真实意思是“努力发挥”．‎ ‎“今”所处的位置为（x，y），则对应文字位置是：（x+1，y+2），‎ ‎∴找到的密码钥匙是：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，‎ ‎∴“正”的位置为（4，2）对应字母位置是（5，4）即为“祝”，‎ ‎“做”的位置为（5，6）对应字母位置是（6，8）即为“你”，‎ ‎“数”的位置为（7，2）对应字母位置是（8，4）即为“成”，‎ ‎“学”的位置为（2，4）对应字母位置是（3，6）即为“功”，‎ ‎∴“正做数学”的真实意思是：祝你成功．‎ 故答案为：对应文字横坐标加1，纵坐标加2，祝你成功．‎ 点评：‎ 此题主要考查了推理论证，根据已知得出“今”对应文字位置是：（x+1，y+2）进而得出密码钥匙是解题关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共9小题，共86分）‎ ‎17．（8分）（2013•随州）计算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣2﹣1+．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分别根据绝对值的性质、0指数幂及负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2+1﹣﹣3‎ ‎=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查的是实数的运算，熟知实数混合运算的法则是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（8分）（2013•随州）先化简，再求值：÷，其中x=2．‎ 考点：‎ 分式的化简求值 分析：‎ 原式利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可2求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=•=，‎ 当x=2时，原式=．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎19．（8分）（2013•随州）如图，点F、B、E、C在同一直线上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使△ABC≌△DEF，并给出证明．‎ 提供的三个条件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定．‎ 分析：‎ 由BF=CE可得EF=CB，再有条件∠ABC=∠DEF不能证明△ABC≌△DEF；可以加上条件①AB=DE，利用SAS定理可以判定△ABC≌△DEF．‎ 解答：‎ 解：不能；‎ 选择条件：①AB=DE；‎ ‎∵BF=CE，‎ ‎∴BF+BE=CE+BE，‎ 即EF=CB，‎ 在△ABC和△DFE中，‎ ‎∴△ABC≌△DFE（SAS）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2013•随州）为迎接癸巳年炎帝故里寻根节，某校开展了主题为“炎帝文化知多少”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，整理调查数据制成了如图不完整的表格和扇形统计图． ‎ 等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解 频数 ‎50‎ m ‎40‎ ‎20‎ 根据以上提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）本次问卷调查共抽取的学生数为　200　人，表中m的值为　90　．‎ ‎（2）计算等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数，并补全扇形统计图．‎ ‎（3）若该校有学生1500人，请根据调查结果估计这些学生中“不太了解”炎帝文化知识的人数约为多少？‎ 考点：‎ 扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．‎ 分析：‎ ‎（1）利用基本了解的人数÷基本了解的人数所占百分比即可算出本次问卷调查共抽取的学生数；m=抽查的学生总数×比较了解的学生所占百分比；‎ ‎（2）等级为“非常了解”的频数在扇形统计图中对应扇形的圆心角的度数=360°×所占百分比，再补图即可；‎ ‎（3）利用样本估计总体的方法，用1500人×调查的学生中“不太了解”的学生所占百分比．‎ 解答：‎ 解：（1）40÷20%=200（人），‎ ‎200×45%=90（人），‎ 故答案为：200；90．‎ ‎（2）×100%×360°=90°，如图所示：‎ ‎（3）1500×（1﹣25%﹣20%﹣45%）=150（人），‎ 答：这些学生中“不太了解”炎帝文化知识的人数约150人．‎ 点评：‎ 此题主要考查了扇形统计图，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表中得到所用信息．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2013•随州）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．‎ ‎（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？（结果用根号表示）‎ ‎（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参数数据：，1.732，2.449．结果精确到0.1海里）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题 分析：‎ ‎（1）过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．解等腰直角三角形APC，即可求出PC的长度；‎ ‎（2）海监船航行的路程即为AB的长度．先解Rt△PCB，求出BC的长，再由（1）得出AC=PC，则AB=AC+BC．‎ 解答：‎ 解：（1）过点P作PC⊥AB于C点，则线段PC的长度即为海监船与灯塔P的最近距离．‎ 由题意，得∠APC=90°﹣45°=45°，∠B=30°，AP=100海里．‎ 在Rt△APC中，∵∠ACP=90°，∠APC=45°，‎ ‎∴PC=AC=AP=50海里．‎ 答：在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是50海里．‎ ‎（2）在Rt△PCB中，∵∠BCP=90°，∠B=30°，PC=50海里，‎ BC=PC=50海里，‎ ‎∴AB=AC+BC=50+50=50（+）≈50（1.414+2.449）≈193.2（海里），‎ 答：轮船航行的距离AB约为193.2海里．‎ 点评：‎ 此题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2013•随州）在一个不透明的布袋中有2个红色和3个黑色小球，它们只有颜色上的区别．‎ ‎（1）从布袋中随机摸出一个小球，求摸出红色小球的概率．‎ ‎（2）现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，甲乙两人约定做如下游戏：两人分别从这两个布袋中各随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请用树状图（或列表）的方法表示游戏所有可能结果，并用概率知识说明这个游戏是否公平．‎ 考点：‎ 游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法 分析：‎ ‎（1）根据概率公式直接求出摸出红色小球的概率即可；‎ ‎（2）利用树状图法表示出所有可能，进而得出甲、乙获胜的概率即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵布袋中有2个红色和3个黑色小球，‎ ‎∴摸出红色小球的概率为：=；‎ ‎（2）∵现从袋中取出1个红色和1个黑色小球，放入另一个不透明的空布袋中，‎ ‎∴画树状图得出：‎ ‎∵两小球颜色相同的情况有3种，‎ ‎∴甲获胜的概率为：=，‎ ‎∴乙获胜的概率为：=，‎ ‎∴这个游戏是公平的．‎ 点评：‎ 此题主要考查了游戏公平性以及树状图法求概率，根据已知画出树状图是解题关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•随州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平行线交⊙O与点D，过点D的切线分别交AB、AC的延长线与点E、F．‎ ‎（1）求证：AF⊥EF．‎ ‎（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮忙小强同学证明这一结论．‎ 考点：‎ 切线的性质；全等三角形的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平行线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF．‎ ‎（2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵EF是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥EF，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴BC∥EF，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ 即AC⊥BC，‎ ‎∴AF⊥EF；‎ ‎（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ 即AD⊥BH，‎ ‎∴∠ADB=∠ADH=90°，‎ 在△ABD和△ADH中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△AHD（ASA），‎ ‎∴AH=AB，‎ ‎∵EF是切线，‎ ‎∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，‎ ‎∴∠EDF=∠HDF，‎ ‎∵DF⊥AF，DF是公共边，‎ ‎∴△CDF≌△HDF（ASA），‎ ‎∴FH=CF，‎ ‎∴AF+CF=AF+FH=AH=AB．‎ 即AF+CF=AB，‎ 点评：‎ 此题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•随州）某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．‎ ‎（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．‎ ‎（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？‎ ‎（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．‎ 考点：‎ 二次函数的应用 分析：‎ ‎（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），然后把点（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；‎ ‎（2）先根据两种产品的销售单价之和为90元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出x的取值范围是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出W与x的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；‎ ‎（3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85万元列出不等式，整理后求解即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∵函数图象经过点（50，10），（70，8），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，y=﹣0.1x+15；‎ ‎（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，‎ ‎∴，‎ 解之得45≤x≤65，‎ ‎①45≤x＜50时，W=（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），‎ ‎=﹣0.2x2+16x+100，‎ ‎=﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，‎ ‎=﹣0.2（x﹣40）2+420，‎ ‎∵﹣0.2＜0，‎ ‎∴x＞40时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=45时，W有最大值，W最大=﹣0.2（45﹣40）2+420=415万元；‎ ‎②50≤x≤65时，W=（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），‎ ‎=﹣0.1x2+8x+250，‎ ‎=﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，‎ ‎=﹣0.1（x﹣40）2+410，‎ ‎∵﹣0.1＜0，‎ ‎∴x＞40时，W随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=50时，W有最大值，W最大=﹣0.1（50﹣40）2+410=400万元．‎ 综上所述，当x=45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；‎ ‎（3）根据题意得，W=﹣0.1x2+8x+250+415﹣700=﹣0.1x2+8x﹣35，‎ 令W=85，则﹣0.1x2+8x﹣35=85，解得x1=20，x2=60．‎ 又由题意知，50≤x≤65，根据函数性质分析，50≤x≤60，‎ 即50≤90﹣m≤60，‎ ‎∴30≤m≤40．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，本题最大的特点就是要根据x的范围的不同分情况列出不同的函数关系式，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．‎ ‎　‎ ‎25．（13分）（2013•随州）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线y=mx2﹣x+n的对称轴是直线x=2．‎ ‎（1）求出该抛物线的解析式．‎ ‎（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究：‎ ‎①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值．‎ ‎②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据①过原点，②对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式；‎ ‎（2）①如答图1所述，证明Rt△PAE∽Rt△PGF，则有==，的值是定值，不变化；‎ ‎②若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=mx2﹣x+n经过原点，∴n=0．‎ ‎∵对称轴为直线x=2，∴﹣=2，解得m=．‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x．‎ ‎（2）①的值不变．理由如下：‎ 如答图1所示，过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=AO=2．‎ ‎∵PE⊥PF，PA⊥PG，∴∠APE=∠GPF．‎ 在Rt△PAE与Rt△PGF中，‎ ‎∵∠APE=∠GPF，∠PAE=∠PGF=90°，‎ ‎∴Rt△PAE∽Rt△PGF．‎ ‎∴==．‎ ‎②存在．‎ 抛物线的解析式为：y=x2﹣x，‎ 令y=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=4，∴D（4，0）．‎ 又y=x2﹣x=（x﹣2）2﹣1，∴顶点M坐标为（2，﹣1）．‎ 若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形：‎ ‎（I）FM=FD．如答图2所示：‎ 过点M作MN⊥x轴于点N，则MN=1，ND=2，MD===．‎ 设FM=FD=x，则NF=ND﹣FD=2﹣x．‎ 在Rt△MNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，‎ 即：（2﹣x）2+1=x2，解得：x=，‎ ‎∴FD=，OF=OD﹣FD=4﹣=，‎ ‎∴F（，0）；‎ ‎（II）若FD=DM．如答图3所示：‎ 此时FD=DM=，∴OF=OD﹣FD=4﹣．‎ ‎∴F（4﹣，0）；‎ ‎（III）若FM=MD．‎ 由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合．‎ 而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O．‎ ‎∴此种情形不存在．‎ 综上所述，存在点F（，0）或F（4﹣，0），使△DMF为等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题是二次函数综合题型，难度不大．试题的背景是图形的旋转，需要对旋转的运动过程有清楚的理解；第（3）问主要考查了分类讨论的数学思想，需要考虑全面，避免漏解．‎