湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期第一次月考数学（文）试题

雅礼中学 2020 届高三月考试卷(一) 数学(文科) 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 （） A. B. 或 } C. D. 或 } 【答案】C 【解析】 【分析】 求出 A 中不等式的解集，找出两集合的交集即可 【详解】由题意可得 ， ，所以 .故 选 C. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2.已知复数 是纯虚数（i 是虚数单位），则,实数 a 等于 A. -2 B. 2 C. D. -1 【答案】C 【解析】 是纯虚数,所以 ，选 C. 3.“ ”是“方程 为椭圆”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 2 }{ 0|A x x x= − <（ ） { | 1 1}B x x= − < < A B = { | 1 2}x x− < < { | 1x x < − 2x > { | 0 1}x x< < { | 0x x < { | 0 2}A x x= < < { | 1 1}B x x= − < < { | 0 1}A B x x= < < 2 a i i + − 1 2 2 a i i + − 2 1 2 5 5 a a i − += + 2 1 2 10, 05 5 2 a a a − += ≠ ∴ = 2 6m< < 2 2 12 6 x y m m + =− − 试题分析：若方程 表示椭圆，则 ，解得 且 ， 所以 是方程 表示椭圆的必要不充分条件，故选 B． 考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定． 4.如果 在区间 上为减函数，则 的取值（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，利用一元二次函数的性质，对 进行讨论，即可推得答案。 【详解】由题意，当 时，可得 ，在 上是单调递减，满足题意，当 时，显然不成立；当 时，要使 在 上为减函数，则 ，解得： .综上：可得 故选： . 【点睛】本题主要考查根据一元二次函数的性质求参数。 5.已知函数 图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象 （ ） A. 关于点 对称 B. 关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称 【答案】A 【解析】 2 2 12 6 x y m m + =− − 2 0 {6 0 2 6 m m m m − > − > − ≠ − 2 6m< < 4m ≠ 2 6m< < 2 2 12 6 x y m m + =− − ( ) ( )2 2 1f x ax a x= − − + 1, 2  −∞   a ( ]0,1 [ )0,1 [ ]0,1 ( )0,1 a 0a = ( ) 2 1f x x= − + R 0a < 0a > ( )f x 1, 2  −∞   2 1 2 2 a a − ≥ 1, 0 1a a≤ ∴ < ≤ 0 1a≤ ≤ C ( ) sin( )( 0, )2f x x πω φ ω φ= + > < 2 π ( )y f x= 3 π y ( )y f x= ( ,0)12 π ( ,0)12 π− 12x π= 12x π= − 分析】 由函数 y=f（x）的图象与性质求出 T、 和 ，写出函数 y=f（x）的解析式， 再求 f（x）的对称轴和对称中心． 【详解】由函数 y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为 ， 可知其周期为 π，所以 ω= =2， 所以 f（x）=sin（2x+ ）； 将函数 y=f（x）的图象向左平移 个单位后， 得到函数 y=sin[2（x+ ）+ ]图象． 因为得到的图象关于 y 轴对称， 所以 2× + =kπ+ ，k∈Z， 即 =kπ﹣ ，k∈Z； 又| |＜ ，所以 =﹣ ， 所以 f（x）=sin（2x﹣ ）， 令 2x﹣ =kπ，k∈Z， 解得 x= ﹣ ，k∈Z； k=0 时，得 f（x）的图象关于点（ ，0）对称，A 正确． 故选：A． 【点睛】解决函数 综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数 的值，进而得到函数的解析式． （2）解题时要将 看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质 求解． （3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化． 6.在 中，若 ，则 的形状是（ ） 【 ω φ 2 π 2 T π φ 3 π 3 π φ 3 π φ 2 π φ 6 π φ 2 π φ 6 π 6 π 6 π 2 kπ 12 π 12 π ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + , ,A ω ϕ xω ϕ+ ABC∆ cos 1 cos2 cos 1 cos2 b C C c B B += + ABC∆ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角 形或直角三角形 【答案】D 【解析】 由已知 ， 或 ，即 或 ，由正弦定理，得 ，即 ，即 ， 均 为 的 内 角 ， 或 或 ， 为等腰三角形或直角三角形，故选 D. 7.若抛物线 y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则 p= A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】 利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的 方法，如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A，同样可排除 B， C，故选 D． 【详解】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得 ，故选 D． 【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养． 8.如图所示，在斜三棱柱 中， ， ，则点 在底面 上的射影 必在( ) 2 2 2 2 1 cos2 2cos cos cos 1 cos2 2cos cos cos C C C b C B B B c B + = = =+ cos cos C b B c ∴ = cos 0cos C B = 90C =  cos cos C b B c = cos cos,cos cos b B C sinB c C B sinC = ∴ = sin cos sin cosC C B B= 2 2sin C sin B= ,B C ABC∆ 2 2C B∴ = 2 2 180 ,C B B C= = ∴ = 90B C+ =  ABC∆∴ 2 2 3 1x y p p + = p p 2p = 2 2 ( 0)y px p= > ( ,0)2 p 2 2 3 1x y p p + = 23 ( )2 pp p− = 8p = 1 1 1ABC A B C− 90BAC∠ = ° 1BC AC⊥ 1C ABC H A. 直线 上 B. 直线 上 C. 直线 上 D. 内 部 【答案】A 【解析】 【详解】连接 AC1，如图所示. ∵∠BAC=90°， ∴AB⊥AC. ∵AB⊥AC，BC1⊥AC，AB∩BC1=B， ∴AC⊥平面 ABC1. 又∵AC⊂平面 ABC， ∴平面 ABC1⊥平面 ABC. 又∵平面 ABC1∩平面 ABC=AB， ∴点 C1 在底面 ABC 上的射影点 H 必在 AB 上， 故选 A. 9.函数 的图象大致是( ) A. B. AB BC AC ABC∆ ln 1xy e x= − − C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根 据 对 数 的 运 算 性 质 ， 分 类 讨 论 ， 得 当 时 ， 函 数 ， 当 时 ， 函 数 ，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数 ， 当 时，函数 ， 当 时，函数 ， 所以函数 图象只有选项 D 符合，故选 D. 【点睛】本题主要考查了对于的运算性质，以及函数图象的识别，其中解答中根据对数的运 算性质，合理化简函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 10.已知两点 ， 以及圆 ： ，若圆 上存在点 ，满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知：以 AB 为直径的圆与圆 有公共点，从而得出两圆 圆心距与半径的关系，列出不等式得出 的范围． 【详解】 ， 点 在以 ， 两点为直径的圆上， 该圆方程为： ，又点 在圆 上， 两圆有公共点。 1x ≥ 1y = 0 1x< < 1 1y xx = + − ln 1xy e x= − − 1x ≥ ln ln1 ( 1) 1x xy e x e x= − − = − − = 0 1x< < ln ln 11 (1 ) 1x xy e x e x xx −= − − = − − = + − ln 1xy e x= − − ( )1,0A − ( )10B , C 2 2 2( 3) ( 4) ( 0)x y r r− + − = > C P 0AP PB⋅ =  r [ ]3,6 [ ]3,5 [ ]4,5 [ ]4,6 ( ) ( )2 2 23 4 ( 0)x y r r− + − = > r  0AP PB⋅ =  ∴ P ( )1,0A − ( )1,0B 2 2 1x y+ = P C ∴ 两圆的圆心距 解得： 故选：D 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题． 11.已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么 这个等差数列后三项和的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，用 表示这个等差数列后三项和为 ，进而设 ， 利用三角函数的性质能求最大值。 【详解】设中间三项为 ，则 ，所以 ， ， 所以后三项的和为 ， 又因为 ，所以可令 ， 所以 故选： 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质。 12.已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 平面 ， ， ，若球 的表面积为 ，则三棱锥 的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 2 23 4 5d = + = ∴ 1 5 1r r− ≤ ≤ + 4 6r≤ ≤ 2 2 4x y+ = ,x y 1 102 10 3 102 2 10 ,x y 3 9 4 x y+ 2cos , 2sinx yθ θ= = , ,a b c 2b x y= + 2 x yb += 3 2 4 b y x yc + += = 3 3 9 2 4 4 x y x y x yb c y y + + ++ + = + + = 2 2 4x y+ = 2cos , 2sinx yθ θ= = ( ) ( )3 9 3 3 10 3 10cos 3sin sin4 2 2 2 x y θ θ θ ϕ+ = + = + ≤ C A BCD− O AD ⊥ ABC 90BAC∠ = ° 2AD = O 29π A BCD− 255 2 4 + 5 415 2 4 + 276 3 2 + 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由球 O 的表面积为 29π，可得 x2+y2=25， 写出侧面积，再由基本不等式求最值． 【详解】设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y， 由 4πR2=29π，得 4R2=29．又 x2+y2+22=（2R）2，得 x2+y2=25．三棱锥 A-BCD 的侧面积： S=S△ABD+S△ACD+S△ABC= 由 x2+y2≥2xy，得xy≤ 当且仅当 x=y= 时取 等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5 ,当且仅当 x=y= 时取等号，∴S≤5 + = 当且仅当 x=y= 时取等号. ∴三棱锥 A-BCD 的侧面积的最大值为 .故选 A. 【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想 象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法， 是中档题． 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.已知向量 ，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】 2510 2 2 + 1 1 12 22 2 2x y xy⋅ + ⋅ + 25 2 5 2 2 2 5 2 2 2 1 25 2 2 × 255 2 4 + 5 2 2 255 2 4 + ( ) ( )2,3 , 3,2a b= =  a b− =  2 根据题意，利用向量的坐标运算，解出 的坐标，再利用向量模的坐标运算即可解出答案。 【详解】 故答案 。 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算。 14.在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程为___________. 【答案】 （或 ） 【解析】 【分析】 先求导数，根据导数几何意义得斜率，再根据二次函数性质求斜率最小值以及对应切点横坐 标，最后根据点斜式得结果. 【详解】因为 ，所以 ，当 时，斜率最小为 ，此 时切线方程为 【点睛】本题考查导数几何意义以及二次函数性质，考查基本分析求解能力.属基本题. 15.已知 ， ，则 _______. 【答案】 【解析】 分析】 根据二倍角公式可将已知等式化简为 ，根据 可求得 ；根据同角三角函数关系，结合 可求得结果. 【详解】由二倍角公式可知： ， 为 【 a b−  ( ) ( ) 2 2 2,3 , 3,2 ( 1,1) ( 1) 1 2 a b a b a b = = − = − ∴ − = − = ∴ +        2 ( ) 3 4f x x x= − 4y x= − 4 0x y+ = ( ) 3 4f x x x= − 2( ) 3 4 4f x x −′ = ≥ − 0x = 4− 0 4( 0) 4 .y x y x− = − − ∴ = − (0, )2 πα ∈ 2sin 2 cos2 1α α= + sinα = 5 5 24sin cos 2cosα α α= 0, 2 πα  ∈   1tan 2 α = 0, 2 πα  ∈   sin 2 2sin cosα α α= 2cos2 2cos 1α α= − 又 ，即 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够 利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简. 16.已知奇函数 是定义在 R 上的单调函数，若函数 恰有 4 个零点，则 a 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即 可． 【详解】由题意，因为 ， 是偶函数， 若 恰有 4 个零点， 等价为当 时， 有两个不同的零点， 是奇函数， 由 ， 得 ， 是单调函数， ，即 ， 当 时， 有两个根即可， 当 时，等价为， ， 设 ， 24sin cos 2cosα α α∴ = 0, 2 πα  ∈   cos 0α∴ ≠ 2sin cosα α∴ = 1tan 2 α = 5sin 5 α∴ = 5 5 ( )f x ( ) ( ) ( )2 2g x f x f a x= + − ( )0,1 ( ) ( ) ( ) ( )2 2g x f x f a x g x− = + − = ( )g x∴ ( ) ( ) ( )2 2g x f x f a x= + − 0x > ( )g x ( )f x ∴ ( ) ( ) ( )2 2 0g x f x f a x= + − = ( ) ( ) ( )2 2 2f x f a x f x a= − − = − ( )f x 2 2x x a∴ = − 2 2a x x− = − 0x > 2 2a x x− = − 0x ≥ 2 2a x x− = − ( ) 2 22 ( 1) 1h x x x x= − = − − 要使当 时， 有两个根， 则 ，即 ， 即实数 a 的取值范围是 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了查函数与方程的应用，其中解答中熟练应用参数分离法，结合数形 结合是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题． 三、解答题:本大题共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 是等差数列，且 ， ． （Ⅰ） 求数列 的通项公式 ； （Ⅱ）若数列 是递增的等比数列且 ， ，求 ． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知可得 ，即可求出数列{an}的通项公式 an； （Ⅱ）由已知可得 可得 bn＝2n﹣1，再分组求和即可． 【详解】（Ⅰ）有已知得： 0x > 2 2a x x− = − 1 0a− < − < 0 1a< < ( )0,1 ( )0,1 { }na 8 1a = 16 24S = { }na na { }nb 1 4 9+ =b b 2 3 8b b = 1 1 3 3 5 5 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )n na b a b a b a b− −+ + + + + +…+ + 7na n= − 2 4 17 3 n n n −− + 1 1 7 1 2 15 3 a d a d + =  + = 1 4 1 4 2 3 9 8 b b b b b b + =  = = 1 2 7 1 2 15 3 a d a d + =  + = ， . （Ⅱ）由已知得： , 又 是递增的等比数列，故解得： , , ∴ = = = . 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 18.如图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， ， 为棱 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离， 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 1 6, 1a d∴ = − = ( )6 1 ·1 7na n n= − + − = − 1 4 1 4 9 · 8 b b b b + =  = { }nb 1 41, 8, 2b b q= = = 12n nb −∴ = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 3 3 5 5 2 1 2 1n na b a b a b a b− −+ + + + + +…+ + ( ) ( )1 3 2 1 1 3 2 1n na a a b b b− −+ + + + + + +  ( ) ( )16 4 2 2 8 1 4 16 4nn −− − − + + − + + + + +  ( ) ( ) 21 46 2 8 4 172 1 4 3 n nn n n n −− + − −+ = − +− S ABCD− SD ⊥ ABCD / /AB CD AD DC⊥ 1AB AD= = 2DC = 2SD = E SB SC ⊥ ADE B AEC 22 11h = 【分析】 （1）取 的中点 ，则 ，通过勾股证得 即得 结合 即可得证. （2）先求 再求 根据体积公式 计算即可． 【详解】解：（1）取 的中点 ，连结 ， .如图： 因为 底面 所以 , 又因为 且 , 所以 平面 ，得 . 又因为 面 且 所以 面 ， 在 SAD 中 , 在 SAB 中 , 为 的中点，故 ， 在 中 ,所以 ， 在 中， ,故 ,在 中， ,故 ,在 中， ,由余弦定理知 ， 在 中， , , 满足勾股定理所以 ，从而 . 所以 平面 . （2）连接 BD 并取中点 O,连接 EO，OC,过 O 作 交 CD 于 M 点，过 O 作 交 AD 于 N 点，如图： BC F / /EF SC AE EF⊥ AE SC⊥ AD SC⊥ AECS∆ ABCS∆ B AEC E ABCV V− −= BC F EF AF SD ⊥ ABCD SD AD⊥ AD DC⊥ SD DC D= AD ⊥ SDC AD SC⊥ CD ⊥ ASD / /AB CD AB ⊥ ASD Rt∆ 2, 1, 3SD AD SA= = = Rt∆ 1, 2AB SB= = F BC 1 12AE SB= = tR SCD∆ 2, 2, 6SD CD SC= = = 1 6 2 2EF SC= = ABD∆ 1, 2AB AD BD= = = 45ABD∠ =  CBD∆ 2BD BC= = 90DBC∠ =  ABF∆ 21, , 1352AB BF ABF= = ∠ =  10 2AF = AEF∆ 1AE = 6 2EF = 10 2AF = AE EF⊥ AE SC⊥ SC ⊥ ADE OM CD⊥ ON AD⊥ 在 中， , , 底面 且 为棱 的中点 底面 即 为直角三角形即 在 中 ， ， 由余弦定理知 即 . ，且 ， ，解得 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力 的培养，属于中档题． 19.菜市房管局为了了解该市市民 2018 年 1 月至 2019 年 1 月期间购买二手房情况，首先随机 抽样其中 200 名购房者，并对其购房面积 （单位：平方米， ）进行了一次调 查统计，制成了如图 1 所示的频率分布南方匿，接着调查了该市 2018 年 1 月﹣2019 年 1 月期 间当月在售二手房均价 （单位：万元/平方米），制成了如图 2 所示的散点图（图中月份代 码 1﹣13 分别对应 2018 年 1 月至 2019 年 1 月）． .  tR OMC∆ 1 1 2 2OM ND AD= = = 1 1 2 2DM NO AB= = = 1 32 2 2MC CD DM= − = − = ∴ 2 2 2 2 1 3 10 2 2 2OC OM MC    = + = + =        SD ⊥ ABCD E SB ∴ EO ⊥ ABCD EOC∆ 2 2 2 2 2 10 32 2EC OE OC    = + = + =          AEC∆ 1AE = 5AC = 3EC = 1cos 2 3 E −= 11sin 2 3 E = ∴ 1 1 11 11sin 1 32 2 42 3AECS AE EC E∆ = × × × = × × × =  1 1 2 1sin135 = 1 2 =2 2 2 2ABCS AB BC∆ = × × × × × B AEC E ABCV V− −= ∴ 1 11 1 1 2 3 4 3 2 2h× = × × 22 11h = m 60 130m≤ ≤ y （1）试估计该市市民的平均购房面积 ． （2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于 的 40 位市民中随机取 4 人，再从这 4 人中随机抽取 2 人，求这 2 人的购房面积恰好有一人在 的概率． （3）根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到两 个回归方程，分别为 和 ，并得到一些统计量 的值，如表所示： 请利用相关指数 判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测 2019 年 6 月份的二手房购房均价（精确到 ）． 参考数据： ， ， ， ， , , , ．参考公式：相关指数 ． 【答案】（1）96；（2） ；（3）见解析 【解析】 π [ ]110,130 [ ]120,130 ˆ ˆy a b x= +    lny c d x= +  0.9369 0.0285y x= +  0.9554 0.0306lny x+＝  0.9369 0.0285y x= +  0.9554 0.0306lny x+＝ ( )13 2 1 ˆi i y y = −∑ , 0.000591 0.000164 ( )13 2 1 i i y y = −∑ 0.006050 2R 0.001 ln 2 0.69≈ ln3 1.10≈ ln17 2.83≈ ln19 2.94≈ 2 1.41≈ 3 1.73≈ 17 4.12≈ 19 4.36≈ ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 n i i i n i i y y R y y = = − − ∑ ∑ ＝﹣ 1 2 【分析】 （1）利用组中值可求平均购房面积 . （2）由分层抽样可得在抽取的 4 人有 3 人位于 ，1 人位于 ，枚举后可得 基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而得到所求的概率. （3）根据相关系数的大小可得 的拟合效果更好，从而可预测 2019 年 6 月份的二手房购房均价. 【详解】解：（1） ． （2）设从位于 的市民中抽取 人，从位于 的市民中抽取 人， 由分层抽样可知： ，解得 ， 在抽取的 4 人中，记 3 名位于 的市民为： ，1 名位于 的市民为 ， 从这 4 人中随机抽取 2 人，共有： ，故基本事件总数 ， 其中恰有一人在 的情况共有 种， 设 为“这 2 人的购房面积恰好有一人在 ”，则 ． （3）设模型 和 的相关指数分别为 ， , 则 ， ，∴ ， ∴模型 的拟合效果更好． 2019 年 6 月份对应的 ． ∴ 万元/平方米． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用、古典概型的概率的计算以及回归变量的相关性， 属于中档题. 20.从抛物线 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是线段 上的一点， π [ )110,120 [ ]120,130  0.9554 0.0306lny x+＝ 65 0.05 75 0.1 85 0.2 95 0.25 115 0.15 125 0.05 96π × + × + × + × + × + ×＝ ＝ [ )110,120 x [ ]120,130 y 4 40 30 10 x y= = 3, 1x y= = [ )110,120 1 2 3, ,A A A [ ]120,130 B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 3 2 3, , , , , , , , , , ,A A A A A B A A A B A B 6n = [ ]120,130 3 C [ ]120,130 ( ) 3 1 6 2P C = =  0.9369 0.0285y x= +  0.9554 0.0306lny x+＝ 2 1R 2 2R 2 1 0.0005911 0.00605R = − 2 2 0.0001641 0.00605R = − 2 2 1 2R R<  0.9554 0.0306lny x+＝ 18x =  0.9554 0.0306 18 0.9554 0.0306 2 2 3 1.044y ln ln ln+ + + ≈＝ ＝ （ ） 2 36y x= PQ 且满足 (1)求点 M 的轨迹 C 的方程； (2)设直线 与轨迹 c 交于 两点，T 为 C 上异于 任意一点，直 线 ， 分别与直线 交于 两点，以 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若 过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 【分析】 （1）利用相关点法，设设 ， ，则点 的坐标为 ，由 ， 从而得到 ，即 ．化简求得结果； （2）设出点 A,B 的坐标，将直线与曲线的方程联立，消元得到 ，根据韦达 定理得到 = ， = ，设点 ，写出直线 AT 的方程，进而求得点 D 的坐标，同理求得点 E 的坐标，如果以 为直径的圆过 轴某一定点 ，则满足 ，利用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】（1）设 ， ，则点 的坐标为 ． 因为 ， 所以 ， 即 ， 因为点 在抛物线 上， 所以 ，即 ． 所以点 的轨迹 的方程为 ． 的 2PM MQ= )1(x my m R= + ∈ A B， A B， AT BT 1x = − D E， DE 2 4y x= ( ),M x y ( )0 0,P x y Q ( )0 ,0x 2PM MQ=  0 0 , 3 . x x y y =  = ( )23 36y x= 2 4 4 0y my− − = 1y + 2y 4m 1y 2y 4− 2 0 0,4 yT y      DE x ( ),0N n • 0ND NE =  ( ),M x y ( )0 0,P x y Q ( )0 ,0x 2PM MQ=  ( ) ( )0 0 0, 2 ,x x y y x x y− − = − − 0 0 , 3 . x x y y =  = P 2 36y x= 2 0 036y x= ( )23 36y x= M C 2 4y x= （2）解法 1：设直线 与曲线 的交点坐标为 ， ， 由 得 ． 由韦达定理得 = ， = ． 设点 ，则 ． 所以直线 的方程为 ． 令 ，得点 的坐标为 ． 同理可得点 的坐标为 ． 如果以 为直径的圆过 轴某一定点 ，则满足 ． 因为 ． 所以 ． 即 ，解得 或 ． 故以 为直径的圆过 轴上的定点 和 ． 解法 2：直线 与曲线 的交点坐标为 ， ， 若取 ，则 ， 与直线 的交点坐标为 ， ， 所以以 为直径的圆的方程为 ． 该圆与 轴的交点坐标为 和 ． 1x my= + C A 2 1 1,4 y y       2 2 2,4 yB yæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø 2 1, 4 , x my y x = +  = 2 4 4 0y my− − = 1y + 2y 4m 1y 2y 4− 2 0 0,4 yT y      1 0 22 01 0 1 4 4 4 AT y yk yy y y −= = +− AT 2 0 0 0 1 4 4 yy y xy y  − = − +   1x = − D 0 1 0 1 41, y y y y  −− +  E 0 2 0 2 41, y y y y  −− +  DE x ( ),0N n • 0ND NE =  0 1 0 2 0 1 0 2 4 4• 1 , • 1 ,y y y yND NE n ny y y y    − −= − − − −   + +      ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 1 2 4 161+ + y y y y y yn y y y y y y − + += + + + ( ) 2 2 0 0 2 0 0 4 16 161+ + 04 4 y myn y my − − + =+ − ( )21 4 0n+ − = 1n = 3n = − DE x ( )1,0 ( )3,0− 1x = C ( )1,2A′ ( )1, 2B′ − ( )0,0T′ A T′ ′ B T′ ′ 1x = − ( )1, 2D′ − − ( )1,2E′ − D E′ ′ ( )2 21 4x y+ + = x ( )1,0 ( )3,0− 所以符合题意的定点只能是 或 ． 设直线 与曲线 的交点坐标为 ， ， 由 得 ． 由韦达定理得 设点 ，则 ． 所以直线 的方程为 ． 令 ，得点 的坐标为 ． 同理可得点 的坐标为 ． 若点 满足要求，则满足 ． 因为 ． 所以点 满足题意． 同理可证点 也满足题意． 故以 为直径的圆过 轴上的定点 和 ． 【点睛】该题考查的是有关直线与曲线相交的综合题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨 迹方程，直线与抛物线相交，以某条线段为直径的圆过定点的问题，向量数量积坐标公式， 属于较难题目. 21.已知函数 ， . ( )1 1,0N ( )2 3,0N − 1x my= + C A 2 1 1,4 y y       2 2 2,4 yB yæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø 2 1, 4 , x my y x = +  = 2 4 4 0y my− − = 1 2 1 24 , 4y y m y y+ = = − 2 0 0,4 yT y      1 0 22 01 0 1 4 4 4 AT y yk yy y y −= = +− AT 2 0 0 0 1 4 4 yy y xy y  − = − +   1x = − D 0 1 0 1 41, y y y y  −− +  E 0 2 0 2 41, y y y y  −− +  ( )1 1,0N 1 1• 0N D N E =  0 1 0 2 1 1 0 1 0 2 4 4• 2, • 2,y y y yN D N E y y y y      − −= − −   + +    ( ) ( ) 2 1 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 1 2 4 164+ y y y y y y y y y y y y − + += + + + 2 0 0 2 0 0 4 16 16=4+ 04 4 y my y my − − + =+ − ( )1 1,0N ( )2 3,0N − DE x ( )1,0 ( )3,0− 2( ) 2 lnf x x x a x= − − ( )g x ax= （1）求函数 的极值； （2）若不等式 对 恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2) . 【解析】 试题分析：（1）对函数求导得到 ，讨论 和 0 和 1 的大小关系，在不同情况下求得导函数的正负即得到原函数的单调性，根据极值的 概念得到结果；（2）设 ，构造以上函数，研究函数的单调性， 求得函数的最值，使得最小值大于等于 0 即可. 解析： （Ⅰ） ， ， ∵ 的定义域为 . ① 即 时， 在 上递减， 在 上递增， ， 无极大值. ② 即 时， 在 和 上递增，在 上递减， ， . ③ 即 时， 在 上递增， 没有极值. ④ 即 时， 在 和 上递增， 在 上递减， ∴ ， . 综上可知： 时， ， 无极大值； ( ) ( ) ( )F x f x g x= + sin ( )2 cos x g xx ≤+ 0x ≥ a 1[ , )3 +∞ ( ) ( )22 2' x a x aF x x + − −= ( )( )2 1x a x x + −= 2 a− ( ) sin 2 cos xh x ax x = − + ( )0x ≥ ( ) 2 2 lnF x x x a x ax= − − + ( ) ( )22 2' x a x aF x x + − −= ( )( )2 1x a x x + −= ( )F x ( )0,+∞ 02 a− ≤ 0a ≥ ( )F x ( )0,1 ( )F x ( )1,+∞ ( ) 1F x a= − 极小 ( )F x 0 12 a< − < 2 0a− < < ( )F x 0, 2 a −   ( )1,+∞ ,12 a −   ( ) 2 aF x F  = −  极大 2 ln4 2 a aa a  = − − −   ( ) ( )1 1F x F a= = − 极小 12 a− = 2a = − ( )F x ( )0,+∞ ( )F x 12 a− > 2a < − ( )F x ( )0,1 ,2 a − +∞   ( )F x 1, 2 a −   ( ) ( )1 1F x f a= = − 极大 ( ) 2 aF x F  = −  极小 2 ln4 2 a aa a  = − − −   0a ≥ ( ) 1F x a= − 极小 ( )F x 时， ， ； 时， 没有极值； 时， ， . （Ⅱ）设 ， ， 设 ，则 ， ， ， ∴ 在 上递增，∴ 的值域为 ， ①当 时， ， 为 上的增函数， ∴ ，适合条件. ②当 时，∵ ，∴不适合条件. ③当 时，对于 ， ， 令 ， ， 存在 ，使得 时， ， ∴ 在 上单调递减， ∴ ， 即在 时， ，∴不适合条件. 综上， 的取值范围为 . 点睛：导数问题经常会遇见恒成立求参的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数 2 0a− < < ( ) 2 aF x F  = −  极大 2 ln4 2 a aa a  = − − −   ( ) ( )1 1F x F a= = − 极小 2a = − ( )F x 2a < − ( ) ( )1 1F x f a= = − 极大 ( ) 2 aF x F  = −  极小 2 ln4 2 a aa a  = − − −   ( ) sin 2 cos xh x ax x = − + ( )0x ≥ ( ) ( )2 1 2cos' 2 cos xh x a x += − + cost x= [ ]1,1t ∈ − ( ) ( )2 1 2 2 tt t ϕ += + ( ) ( )( ) ( )4 2 2 1' 2 t tt t ϕ − + −= + ( ) ( )3 2 1 0 2 t t − −= ≥ + ( )tϕ [ ]1,1− ( )tϕ 11, 3  −   1 3a ≥ ( )' 0h x ≥ ( )h x [ ]0,+∞ ( ) ( )0 0h x h≥ = 0a ≤ 1 02 2 2h a π π  = ⋅ − <   10 3a< < 0 2x π< < ( ) sin 3 xh x ax< − ( ) sin 3 xT x ax= − ( ) cos' 3 xT x a= − 0, 2x π ∈   ( )00,x x∈ ( )' 0T x < ( )T x ( )00, x ( ) ( )0 0 0T x T< < ( )00,x x∈ ( ) 0h x < a 1 ,3  +∞  的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值， 最终转化为 ，若 恒成立 ；（3）若 恒成 立，可转化为 （需在同一处取得最值）. 请考生在第 22.23 两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的 第一个题目计分. 22.在直角坐标系 中，倾斜角为 的直线 的参数方程为 （ 为参数）. 在以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角. 【答案】（1） ； （2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据平方关系消参数得直线 的普通方程，根据 得曲线 的直 角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解. 【详解】（1）因为直线 的参数方程为 （ 为参数）， 当 时，直线 的直角坐标方程为 ． 当 时，直线 的直角坐标方程为 ． 因为 ， 因为 ，所以 ． 所以 的直角坐标方程为 ． （2）解法 1：曲线 的直角坐标方程为 ， ( ) 0f x > ( )min 0f x > ( ) 0f x < ( )max 0f x⇔ < ( ) ( )f x g x> ( ) ( )min maxf x g x> xOy α l 2 , 3 x tcos y tsin α α = + = + t x C 2 2 cos 8ρ ρ θ= + l C l C A B 4 2AB = l 2 2 2 8 0x y x+ − − = 6 π 2 π l 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = C l 2 cos 3 sin x t y t α α = + = + t = 2 πα l 2x = 2 πα ≠ l ( )3 tan 2y xα− = − 2 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + = 2 2 cos 8ρ ρ θ= + 2 2 2 8x y x+ = + C 2 2 2 8 0x y x+ − − = C 2 2 2 8 0x y x+ − − = 将直线 的参数方程代入曲线 的方程整理，得 ． 因为 ，可设该方程的两个根为 ， ， 则 ， ． 所以 ． 整理得 ， 故 ． 因为 ，所以 或 ， 解得 或 综上所述，直线 的倾斜角为 或 ． 解法 2：直线 与圆 交于 ， 两点，且 ， 故圆心 到直线 的距离 ． ①当 时，直线 的直角坐标方程为 ，符合题意． ②当 时，直线 的方程为 ． 所以 ，整理得 ． 解得 ． 综上所述，直线 的倾斜角为 或 ． 【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用， 考查综合分析求解能力，属中档题. 23.已知函数 . l C ( )2 2 3sin 2cos 5 0t tα α+ + − = ( )2 2 3sin 2cos 20 0α α∆ = + + > 1t 2t ( )1 2 2 3sin 2cost t α α+ = − + ( )2 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 (4cos ) 4 5 2 6MN t t t t t t α= − = + − = − × − = ( )2 1 2 1 2 1 24AB t t t t t t= − = + − ( ) 2 2 3sin 2cos 20 4 2α α = − + + =  ( )2 3sin cos 3α α+ = 2sin 36 πα + = ±   0 α π≤ < 6 3 π πα + = 2 6 3 π πα + = 6 πα = 2 πα = l 6 π 2 π l C A B 4 2AB = ( )1,0C l ( )2 9 2 2 1d = − = 2 πα = l 2x = 0, ,2 2 π πα π   ∈ ∪      l tan 3 2tan 0x yα α− + − = 2 tan 0 3 2tan 1 1 tan d α α α − + − = = + 23 tan 1 tanα α− = + 6 πα = l 6 π 2 π ( ) 2 2 4f x x x= − + + （Ⅰ）解不等式： ； （Ⅱ）若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）1. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）去掉绝对值符号转化为分段函数求解即可（Ⅱ）求出分段函数的最小值 ， 则 ， ， ，根据 ，利用均值不等式求最值即 可. 【详解】（Ⅰ） 可得当 时， ，即 ，所以无解； 当 时， ，得 ，可得 ； 当 时， ，得 ，可得 . ∴不等式的解集为 . （Ⅱ）根据函数 可知当 时，函数取得最小值 ，可知 ， ∵ ， ， ， ∴ . 当且仅当 ，即 时，取“=”. ∴ 的最小值为 1. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，分段函数，均值不等式，属于中档题. ( ) 3 4f x x≥ − + ( )f x a ( 0, 0)m n a m n+ = > > 1 1 m n + 1{ | }2x x ≥ − ( )2 4f − = 4m n+ = 0m > 0n > ( )1 1 1 1 1 4 m nm n m n  + = + +   ( ) 2 2 4f x x x= − + + 3 2, 2 6, 2 2 3 2, 2 x x x x x x − − < − = + − ≤ ≤  + > 2x < − 3 2 3 4x x− − ≥ − + 2 4− ≥ 2 2x− ≤ ≤ 6 3 4x x+ ≥ − + 1 2x ≥ − 1 22 x− ≤ ≤ 2x > 3 2 3 4x x+ ≥ − + 1 3x ≥ 2x > 1{ | }2x x ≥ − ( ) 3 2, 2 6, 2 2 3 2, 2 x x f x x x x x − − < − = + − ≤ ≤  + > 2x = − ( )2 4f − = 4a = 4m n+ = 0m > 0n > ( )1 1 1 1 1 4 m nm n m n  + = + +   ( )1 11 1 2 2 14 4 n m m n  = + + + ≥ + =   n m m n = 2m n= = 1 1 m n +