高考理科数学复习练习作业30

高考理科数学复习练习作业30

题组层级快练(三十)‎ ‎1．(2017·郑州一模)设向量a＝(x，1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．±2‎ C．2 D．－2‎ 答案　D 解析　由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又a，b方向相反，所以x＝－2，故选D.‎ ‎2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)‎ A．(－8，1)　　　　　　　 B．(－1，－)‎ C．(1，) D．(8，－1)‎ 答案　B 解析　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)．而＝(－8，1)＝(－4，)，‎ ‎∴解得 ‎∴P(－1，－)．故选B.‎ ‎3．已知点A(－1，1)，B(2，y)，向量a＝(1，2)，若∥a，则实数y的值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　C 解析　＝(3，y－1)，a＝(1，2)，∥a，则2×3＝1×(y－1)，解得y＝7，故选C.‎ ‎4．与直线3x＋4y＋5＝0的方向向量共线的一个单位向量是(　　)‎ A．(3，4) B．(4，－3)‎ C．(，) D．(，－)‎ 答案　D ‎5．在▱ABCD中，若＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线交点为O，则等于(　　)‎ A．(－，5) B．(－，－5)‎ C．(，－5) D．(，5)‎ 答案　B 解析　＝－＝－(＋)＝－(1，10)＝(－，－5)．‎ ‎6．(2017·湖北襄樊一模)已知＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)‎ A．k＝－2 B．k＝ C．k＝1 D．k＝－1‎ 答案　C 解析　若点A，B，C不能构成三角形，则向量与共线. 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)．所以1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1，故选C.‎ ‎7．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为(　　)‎ A．(1，－1) B．(－1，1)‎ C．(－4，6) D．(4，－6)‎ 答案　D 解析　由题知4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－6，12)－(2，－6)＝(－8，18)，由4a＋(3b－2a)＋c＝0，知c＝(4，－6)，选D.‎ ‎8．(2017·东北三校二联)已知向量与向量a＝(1，－2)的夹角为π，||＝2，点A的坐标为(3，－4)，则点B的坐标为(　　)‎ A．(1，0) B．(0，1)‎ C．(5，－8) D．(－8，5)‎ 答案　A 解析　依题意，设＝λa，其中λ<0，则有||＝|λa|＝－λ|a|，2＝－λ，λ＝－2，＝－2a＝(－2，4)，因此点B的坐标是(－2，4)＋(3，－4)＝(1，0)，故选A.‎ ‎9．(2017·沧州七校联考)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)‎ A．a－b　　　　 B.a－b C．a＋b　　　　 D.a＋b 答案　D 解析　连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.‎ ‎10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量＝a，＝b，其中a＝(3，1)，b＝(1，3)．若＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是(　　)‎ 答案　A 解析　由题意知＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特殊值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1，3)，从而选A.‎ ‎11．(2017·山东日照一中月考)在△ABC中，点P在BC上，点Q是AC的中点，且＝2.若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于(　　)‎ A．(－6，21) B．(－2，7)‎ C．(6，－21) D．(2，－7)‎ 答案　A 解析　由题知，－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)．‎ 又因为点Q是AC的中点，所以＝.‎ 所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．‎ 因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．‎ ‎12．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．‎ 答案　(2，4)‎ 解析　∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴＝2.‎ 设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，‎ ‎∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，‎ ‎∴解得 故点D的坐标为(2，4)．‎ ‎13．已知A(－3，0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．‎ 答案　1‎ 解析　由题意知＝(－3，0)，＝(0，)，则＝(－3λ，)．‎ 由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，‎ ‎∴tan150°＝，即－＝－，∴λ＝1.‎ ‎14．已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°.设＝m＋n(m，n∈R)，则＝________．‎ 答案　3‎ 解析　方法一：如图所示，‎ ‎∵·＝0，∴⊥.不妨设||＝2，过C作⊥于D，⊥于E，则四边形ODCE是矩形．＝＋＝＋.‎ ‎∵||＝2，∠COD＝30°，∴||＝1，||＝.‎ 又∵||＝，||＝1，故＝ ，＝.‎ ‎∴＝ ＋，此时m＝，n＝.∴＝＝3.‎ 方法二：由·＝0知△AOB为直角三角形，以OA，OB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则可知＝(1，0)，＝(0，)．又由＝m＋n，可知＝(m，n)，故由tan30°＝＝，可知＝3.‎ ‎15.如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．‎ 答案　 解析　由于B，H，C三点共线，可令＝x＋(1－x)，又M是AH的中点，‎ 所以＝＝x＋(1－x).‎ 又＝λ＋μ，所以λ＋μ＝x＋(1－x)＝.故填.‎ ‎16．已知A，B，C三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且＝，＝.‎ ‎(1)求E，F的坐标；‎ ‎(2)求证：∥.‎ 答案　(1)E(－，)，F(，0)　(2)略 解析　(1)设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 则依题意，得＝(2，2)，＝(－2，3)，＝(4，－1)．‎ ‎∴＝＝(，)，＝＝(－，1)．‎ ‎∴＝(x1，y1)－(－1，0)＝(，)，＝(x2，y2)－(3，－1)＝(－，1)．‎ ‎∴(x1，y1)＝(，)＋(－1，0)＝(－，)，(x2，y2)＝(－，1)＋(3，－1)＝(，0)．‎ ‎∴E的坐标为(－，)，F的坐标为(，0)．‎ ‎(2)由(1)知(x1，y1)＝(－，)，(x2，y2)＝(，0)．‎ ‎∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(，－)．‎ 又4×(－)－(－1)×＝0，‎ ‎∴∥.‎ ‎17．(2017·潍坊二模)已知向量＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．‎ ‎(1)若∥，求x与y之间的关系式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值及四边形ABCD的面积．‎ 答案　(1)x＋2y＝0　(2)x＝－6，y＝3，S四边形ABCD＝16‎ 解析　(1)∵＝＋＋＝(x＋4，y－2)，∴＝－＝(－x－4，2－y)．‎ 又∥且＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. ①‎ ‎(2)由于＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)，又⊥，‎ ‎∴·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. ②‎ 联立①②，化简得y2－2y－3＝0.‎ 解得y＝3或y＝－1.‎ 故当y＝3时，x＝－6，此时＝(0，4)，＝(－8，0)，当y＝－1时，x＝2.‎ 此时＝(8，0)，＝(0，－4)．‎ ‎∴S四边形ABCD＝||·||＝16.‎ ‎1．在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是(　　)‎ A．(－7，－) B．(－7，)‎ C．(－4，－2) D．(－4，2)‎ 答案　A 解析　设与x轴正半轴的夹角为θ，则cosθ＝，sinθ＝，则由三角函数定义，可得＝(|‎ eq o(OP,sup6(→))|cos(θ＋)，||sin(θ＋))．‎ ‎∵||cos(θ＋)＝×(cosθcos－sinθsin)‎ ‎＝10×[×(－)－×]＝－7，||sin(θ＋)‎ ‎＝×(sinθcos＋cosθsin)‎ ‎＝10×[×(－)＋×]＝－，∴＝(－7，－)，‎ 即点Q的坐标为(－7，－)．‎ ‎3．(2017·山东安丘一中模拟)已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)和D(－2，3)，以，为一组基底来表示＋＋为________．‎ 答案　32－22 解析　∵＝(1，3)，＝(2，4)，＝(－3，5)，＝(－4，2)，＝(－5，1)，∴＋＋＝(－3，5)＋(－4，2)＋(－5，1)＝(－12，8)．‎ 根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得＋＋＝m＋n，‎ ‎∴(－12，8)＝(m＋2n，3m＋4n)，∴∴ ‎∴＋＋＝32－22.‎ ‎4．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2)．‎ ‎(1)若a∥b，求tanθ的值；‎ ‎(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．‎ 答案　(1)　(2)或 解析　(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝.‎ ‎(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，所以 ‎1－2sin2θ＋4sin2θ＝5.‎ 从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋)＝－.‎ 又由0<θ<π知，<2θ＋<，所以2θ＋＝或2θ＋＝.‎ 因此θ＝或θ＝.‎