高考理科数学复习练习作业81

高考理科数学复习练习作业81

题组层级快练(八十一)‎ ‎1．若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较大的数大于的概率是(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D. 答案　C 解析　两个数都小于的概率为，所以两个数中较大的数大于的概率是1－＝.‎ ‎2．在长为6 m的木棒上任取一点P，使点P到木棒两端点的距离都大于2 m的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　将木棒三等分，当P位于中间一段时，到两端A，B的距离都大于2 m，∴P＝＝.‎ ‎3．(2017·山东师大附中模拟)设x∈[0，π]，则sinx<的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由sinx<且x∈[0，π]，借助于正弦曲线可得x∈[0，]∪[，π]，∴P＝＝.‎ ‎4．(2017·天津五校联考)点P在边长为2的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　在正方形ABCD中，其中满足动点P到定点A的距离|PA|<1的平面区域如图中阴影所示，则正方形的面积S＝4，阴影部分的面积S阴影＝，故动点P到定点A的距离|PA|<1的概率P＝.‎ ‎5.如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于15°的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意可知∠AOC∈[15°，75°]，∠BOC∈[15°，75°]，故OC活动区域为与OA，OB构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.‎ P(A)＝＝＝.‎ ‎6．已知菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率是(　　)‎ A. B．1－ C. D．1－ 答案　D 解析　P＝＝1－.‎ ‎7．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(　　)‎ A. B．1－ C. D．1－ 答案　B 解析　正方体的体积为2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为×πr3＝××13＝，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为＝，‎ 故点P到点O的距离大于1的概率为1－.‎ ‎8．(2013·陕西理)如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是(　　)‎ A．1－ B.－1‎ C．2－ D. 答案　A 解析　依题意知，有信号的区域面积为×2＝，矩形面积为2，故无信号的概率P＝＝1－.‎ ‎9．若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　区域为△ABC内部(含边界)，则概率为P＝＝＝，故选D.‎ ‎10. (2015·福建文)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意得，点C的坐标为(1，2)，所以点D的坐标为(－2，2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.‎ ‎11．如图所示，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f(x)＝sinx，x∈(0，π)，及直线x＝a，a∈(0，π)与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　图中阴影部分的面积为S1＝sinxdx＝－cosx0＝1－cosa，矩形面积S＝a·＝6，则根据几何概型有P＝＝＝，解得cosa＝－，所以a＝.故选B.‎ ‎12．(2017·衡水中学调研卷)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体积为×()3＝πa3，故M在球O内的概率为＝.‎ ‎13．(2014·湖北理)由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝，选D.‎ ‎14．公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站等待乘客，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．‎ 答案　 解析　∵公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，故所有基本事件对应的时间总长度LΩ＝20分钟，某人8：15到达该站，记“他能等到公共汽车”为事件A，则LA＝5分钟，故P(A)＝＝.‎ ‎15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________．(用数字作答)‎ 答案　 解析　用x轴表示小王到校时刻，用y轴表示小张到校时刻，建立如图直角坐标系．设小王到校的时刻为x，小张到校的时刻为y，则x－y≥5.‎ 由题意，知0≤x≤20，0≤y≤20，可得可行域如图所示，其中阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校．由得A(20，15)．‎ 易知B(20，20)，C(5，0)，D(20，0)．‎ 由几何概型概率公式，得所求概率P＝＝＝.‎ ‎16．若在区间[0，10]内随机取出两个数，则这两个数的平方和也在区间[0，10]内的概率是________．‎ 答案　 解析　将取出的两个数分别用x，y表示，则0≤x≤10，0≤y≤10.如图所示，当点(x，y)落在图中的阴影区域时，取出的两个数的平方和也在区间[0，10]内，故所求概率为＝.‎ ‎17．(2017·安徽合肥一中模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.‎ ‎(1)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎(2)若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ 解析　设事件A为“方程有实根”．‎ 当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b.‎ ‎(1)由题意知本题是一个古典概型，所有的基本事件为(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，共12个，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P＝＝.‎ ‎(2)由题意知本题是一个几何概型．试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}，‎ 构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，‎ ‎∴所求的概率是＝.‎ ‎1．(2017·重庆一中期中)在[－2，3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为.‎ ‎2．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝.‎ ‎3．(2017·湖南澧县三校)假设在时间间隔T内的任何时刻，两条不相关的短信会均等地进入同一部手机．若这两条短信进入手机的间隔时间不大于t(04或y－x<－4.‎ 作出区域 设“两船无需等待码头空出”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎(2)当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4，设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域 P(B)＝＝＝.‎