2020年高中数学 第一讲三个正数的算术—几何平均不等式

2020年高中数学 第一讲三个正数的算术—几何平均不等式

‎1.1.3‎‎ 三个正数的算术—几何平均不等式 ‎[A级　基础巩固]‎ 一、选择题 ‎1．正实数x，y，z满足xyz＝2，则(　　)‎ A．x＋y＋z的最大值是3 B．x＋y＋z的最大值是3 C．x＋y＋z的最小值是3 D．x＋y＋z的最小值是3 解析：由三个正数的算术—几何平均不等式，得x＋y＋z≥3＝3，当且仅当x＝y＝z＝时，x＋y＋z取得最小值3.‎ 答案：D ‎2．已知x∈R＋，有不等式：x＋≥2＝2，x＋＝＋＋≥3＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)‎ A．nn　　　 B．2n C．n2 D．2n＋1‎ 解析：x＋＝＋＋…＋,sup6(,n个))＋，要使和式的积为定值，则必须nn＝a.‎ 答案：A ‎3．若a＞b＞0，则a＋的最小值为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：因为a＋＝(a－b)＋b＋≥‎ ‎3＝3，当且仅当a＝2，b＝1时取等号，所以a＋的最小值为3.‎ 答案：D ‎4．设x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)‎ 5‎ A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]‎ C．[lg 6，＋∞) D．[3lg 2，＋∞)‎ 解析：因为lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)，‎ 而xyz≤＝23，‎ 所以lg x＋lg y＋lg z≤lg 23＝3lg 2，当且仅当x＝y＝z＝2时，取等号．‎ 答案：B ‎5．已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为(　　)‎ A．3 B．2 C．12 D．12 解析：2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝12.‎ 当且仅当x＝2y＝3z＝2时等号成立．‎ 答案：C 二、填空题 ‎6．将实数1分为三个正数之和，则这三个正数之积的最大值是________．‎ 解析：设这三个正数分别是a，b，c，则a＋b＋c＝1，所以abc≤＝，当且仅当a＝b＝c＝时，abc取得最大值.‎ 答案： ‎7．函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值是________．‎ 解析：f(x)＝×4x(5－2x)(5－2x)≤‎ ＝，‎ 当且仅当4x＝5－2x，即x＝时，等号成立．‎ 故函数f(x)＝x(5－2x)2的最大值为.‎ 答案： ‎8．若实数x，y满足x，y＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是________．‎ 解析：由x2y＝2，得y＝，代入xy＋x2，得 xy＋x2＝x·＋x2＝＋x2＝＋＋x2≥3，‎ 5‎ 当且仅当＝x2，即x＝1，y＝2时取等号．‎ 答案：3‎ 三、解答题 ‎9．θ为锐角，求y＝sin θ·cos2θ的最大值．‎ 解：y2＝sin2θcos2θcos2θ＝·2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)≤＝.‎ 当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin θ＝时取等号．‎ 所以ymax＝.‎ ‎10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．‎ 证明：因为a，b，c均为正数，由算术—几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，①‎ ＋＋≥3(abc)－.‎ 所以≥9(abc)－.②‎ 故a2＋b2＋c2＋≥3(abc)＋9(abc)－.‎ 又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③‎ 所以原不等式成立．‎ 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．‎ 当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．‎ 即当且仅当a＝b＝c＝时，原式等号成立．‎ B级　能力提升 ‎1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是(　　)‎ A．V≥π　　　　　 B．V≤π C．V≥π D．V≤π 解析：设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr 5‎ ‎2·＝πr2(3－2r)≤‎ π＝π.‎ 当且仅当r＝3－2r，即r＝1时取等号．‎ 答案：B ‎2．若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为______．‎ 解析：因为a＞2，b＞3，所以a－2＞0，b－3＞0，‎ 则a＋b＋＝(a－2)＋(b－3)＋＋5≥3＋5＝8.‎ 当且仅当a－2＝b－3＝，即a＝3，b＝4时等号成立．‎ 答案：8‎ ‎3.如图，在一张半径是‎2 m的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即E＝，这里k是一个和灯光强度有关的常数．那么应该怎样选择灯的高度h，才能使桌子边缘处最亮？‎ 解：因为r＝，‎ 所以E＝k·，‎ 所以E2＝·sin2θ·cos4θ＝·(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤·＝，‎ 当且仅当2sin2θ＝cos2θ时取等号，‎ 即tan2θ＝，tan θ＝，‎ 所以h＝2tan θ＝，即h＝时，E最大．‎ 5‎ 所以当灯的高度h为 m时，才能使桌子边缘处最亮．‎ 5‎