2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试

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2020版高中数学 第二章 数列 同步精选测试

同步精选测试 等比数列前n项和的性质及应用 ‎(建议用时:45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.已知an=(-1)n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是(  ) ‎ ‎【导学号:18082103】‎ A.1,1 B.-1,-‎1 C.1,0 D.-1,0‎ ‎【解析】 法一:S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1.‎ S10=S9+a10=-1+1=0.‎ 法二:数列{an}是以-1为首项,-1为公比的等比数列,所以S9===-1,S10==0.‎ ‎【答案】 D ‎2.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于(  )‎ A.31 B.33‎ C.35 D.37‎ ‎【解析】 根据等比数列性质得=q5,‎ ‎∴=25,∴S10=33.‎ ‎【答案】 B ‎3.如果数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an=(  )‎ A.2n-1 B.2n-1-1‎ C.2n+1 D.4n-1‎ ‎【解析】 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)==2n-1.‎ ‎【答案】 A ‎4.在等比数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=(  ) ‎ ‎【导学号:18082104】‎ A.135 B‎.100 C.95 D.80‎ ‎【解析】 法一:由等比数列的性质知a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8成等比数列,‎ 其首项为40,公比为=.‎ 5‎ ‎∴a7+a8=40×=135.‎ 法二:由得q2=,‎ 所以a7+a8=q4(a3+a4)=60×=135.‎ ‎【答案】 A ‎5.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和,已知a‎2a4=1,S3=7,则S5等于(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 设{an}的公比为q,由题意知q>0,‎ a‎2a4=a=1,即a3=1,S3=a1+a2+a3=++1=7,即6q2-q-1=0,解得q=,所以a1==4,所以S5==8×=.‎ ‎【答案】 B 二、填空题 ‎6.等比数列{an}共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=________.‎ ‎【解析】 设{an}的公比为q,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,‎ S2n=,S奇=.‎ 由题意得=.‎ ‎∴1+q=3,∴q=2.‎ ‎【答案】 2‎ ‎7.数列11,103,1 005,10 007,…的前n项和Sn=________.‎ ‎【解析】 数列的通项公式an=10n+(2n-1).‎ 所以Sn=(10+1)+(102+3)+…+(10n+2n-1)=(10+102+…+10n)+[1+3+…+(2n-1)]=+=(10n-1)+n2.‎ ‎【答案】 (10n-1)+n2‎ ‎8.如果lg x+lg x2+…+lg x10=110,那么lg x+lg2x+…+lg10x=________. ‎ ‎【导学号:18082105】‎ 5‎ ‎【解析】 由已知(1+2+…+10)lg x=110,‎ ‎∴55lg x=110.∴lg x=2.‎ ‎∴lg x+lg2x+…+lg10x=2+22+…+210=211-2=2 046.‎ ‎【答案】 2046‎ 三、解答题 ‎9.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以2为公比的等比数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)求a1+a3+…+a2n+1.‎ ‎【解】 (1)∵S1=a1=1,‎ 且数列{Sn}是以2为公比的等比数列,‎ ‎∴Sn=2n-1.‎ 又当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2.‎ 当n=1时a1=1,不适合上式,‎ ‎∴an= ‎(2)a3,a5,…,a2n+1是以2为首项,以4为公比的等比数列,‎ ‎∴a3+a5+…+a2n+1==,‎ ‎∴a1+a3+…+a2n+1=1+=.‎ ‎10.已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.‎ ‎【解】 (1)设等比数列{bn}的公比为q,则q===3,‎ 所以b1==1,b4=b3q=27,所以bn=3n-1(n=1,2,3,…).‎ 设等差数列{an}的公差为d.‎ 因为a1=b1=1,a14=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.‎ 所以an=2n-1(n=1,2,3,…).‎ ‎(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1,‎ 因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1‎ ‎=+=n2+.‎ ‎[能力提升]‎ 5‎ ‎1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=(  )‎ A.3∶4 B.2∶‎3 C.1∶2 D.1∶3‎ ‎【解析】 在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为S10∶S5=1∶2,所以S5=2S10,S15=S5,得S15∶S5=3∶4,故选A.‎ ‎【答案】 A ‎2.设数列{an}的前n项和为Sn,称Tn=为数列a1,a2,a3,…,an的“理想数”,已知数列a1,a2,a3,a4,a5的理想数为2 014,则数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为(  )‎ A.1 673 B.1 675‎ C. D. ‎【解析】 因为数列a1,a2,…,a5的“理想数”为2 014,所以=2 014,即S1+S2+S3+S4+S5=5×2 014,所以数列2,a1,a2,…,a5的“理想数”为==.‎ ‎【答案】 D ‎3.已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N+),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,则an=________.‎ ‎【导学号:18082106】‎ ‎【解析】 设等比数列{an}的公比为q,由S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即‎4a5=a3,于是q2==.‎ 又{an}不是递减数列且a1=,所以q=-.‎ 故等比数列{an}的通项公式为 an=×-n-1=(-1)n-1×.‎ ‎【答案】 (-1)n-1× ‎4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+),等差数列{bn}中,bn>0(n∈N+),且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎【解】 (1)∵a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N+),‎ 5‎ ‎∴an=2Sn-1+1(n∈N+,n>1),‎ ‎∴an+1-an=2(Sn-Sn-1),即an+1-an=2an,‎ ‎∴an+1=3an(n∈N+,n>1).‎ 而a2=‎2a1+1=3,∴a2=‎3a1.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴an=3n-1(n∈N+).‎ ‎∴a1=1,a2=3,a3=9,‎ 在等差数列{bn}中,∵b1+b2+b3=15,∴b2=5.‎ 又∵a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,‎ 设等差数列{bn}的公差为d,‎ 则有(a1+b1)(a3+b3)=(a2+b2)2.‎ ‎∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,‎ ‎∵bn>0(n∈N+),∴舍去d=-10,取d=2,‎ ‎∴b1=3,∴bn=2n+1(n∈N+).‎ ‎(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)·3n-2+(2n+1)3n-1, ①‎ ‎∴3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n, ②‎ ‎∴①-②得 ‎-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3+2×-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n,‎ ‎∴Tn=n·3n.‎ 5‎
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