2019九年级数学上册 第二十二章 22二次函数与一元二次方程

2019九年级数学上册 第二十二章 22二次函数与一元二次方程

第二十二章 22.2二次函数与一元二次方程 知识点1:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标的求法:‎ ‎1.令y=0,得到一元二次方程ax2+bx+c=0.‎ ‎2.若此方程的根为x1,x2,则x1,x2就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标,即与x轴两交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0).‎ 反过来,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2.‎ ‎3.若此方程有两个相等的实数根,即x1=x2,则x1就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标,即二次函数的图象与x轴的交点的坐标为(x1,0).‎ ‎4.若此方程没有实数根,则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点.‎ 知识点2:用图象法解一元二次方程 ‎1.用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,常用的方法有三种:‎ ‎　　(1)直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象,则图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ ‎(2)先将一元二次方程变形为ax2+bx=-c,再分别作出二次函数y=ax2+bx的图象和直线y=-c,则两图象交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ ‎(3)先将一元二次方程变形为ax2=-bx-c,再分别作出二次函数y=ax2的图象和一次函数y=-bx-c的图象,则两图象交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ ‎2.利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤:‎ ‎(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象;‎ ‎(2)确定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的取值范围,即确定二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标的取值范围;‎ ‎(3)在(2)中确定的范围内,从大到小或从小到大依次取值,利用计算器探索;‎ ‎(4)确定一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根.‎ 4‎ 拓展提高：一方面我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=0的根,另一方面我们也可以借助一元二次方程ax2+bx+c=0的根来判断二次函数y=ax2+bx+c的图象的位置,使所画的二次函数y=ax2+bx+c的图象比较准确.‎ 知识点3:运用图象法求不等式的解集 ‎1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正,所对应的x的所有的值就是不等式ax2+bx+c>0的解集.‎ ‎2.抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的部分点的纵坐标都为负,所对应的x的所有的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.‎ 所以,利用二次函数y=ax2+bx+c的图象,可以直接地求得不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的解集.‎ 考点1:运用图象法比较两个函数的函数值的大小 ‎【例1】 如图,点A(-1,0),B(2,-3)是一次函数y1=-x+m的图象与二次函数y2=ax2+bx-3的图象的交点.‎ ‎ (1)求m的值和二次函数的解析式;‎ ‎(2)请直接写出当y1>y2时,自变量x的取值范围.‎ 解:(1)把(-1,0)代入y1=-x+m得,‎ ‎0=-(-1)+m,解得m=-1.‎ 把(-1,0),(2,-3)分别代入y2=ax2+bx-3,‎ 得解得　‎ ‎ ‎ 4‎ ‎∴二次函数的关系式为y2=x2-2x-3.‎ ‎(2)观察图象可得,当y1>y2时,自变量x的取值范围是-10,因此可得出方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的一个解x的取值范围是6.18b>0且a,b均为实数.‎ ‎(1)求一次函数的解析式(用含b的式子表示);‎ ‎(2)试说明:这两个函数的图象有两个不同的交点;‎ ‎(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1,x2,求|x1-x2|的取值范围.‎ 解:(1)∵一次函数的图象经过原点,∴设一次函数的解析式为y=kx.‎ ‎∵一次函数的图象经过点(1,-b),∴-b=k,∴一次函数的解析式为y=-bx.‎ ‎(2)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象过点(1,0),∴a+b=2,‎ 由得ax2+2(2-a)x-2=0　①.‎ ‎∵Δ=4(2-a)2+‎8a=4(a-1)2+12>0,∴方程①有两个不相等的实数根,‎ ‎∴方程组有两组不同的解,∴这两个函数的图象有两个不同的交点.‎ ‎(3)∵(2)中两个交点的横坐标x1,x2都是方程①的解.‎ 4‎ ‎∴x1+x2==,x1x2=.‎ ‎∴|x1-x2|===,‎ 又∵a>b>0,a+b=2,∴1

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