数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第六中学高二上学期期中考试(2017-11)

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数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第六中学高二上学期期中考试(2017-11)

辽宁省大连市普兰店区第六中学高二上学期期中考试 数学(文)试卷 号 一 二 三 总分 得分 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息rn2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(本题共18道小题,每小题0分,共0分)‎ ‎1.‎ 若,则“”是“”的( ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎2.‎ 抛物线的焦点坐标为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.‎ 命题“若,则”的逆命题是( ).‎ A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 ‎4.‎ 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎5.‎ 命题,,命题,使得,则下列命题中为真命题的是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎6.‎ ‎ “”是“方程表示双曲线”的是( ).‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.‎ 下列命题:①,;②,;③;④“”的充要条件是“且”中,其中正确命题的个数是( ).‎ A. B. C. D.‎ ‎8.‎ 已知正方形的四个顶点分别为,,,,点,分别在线段,上运动,且,设与交于点,则点的轨迹方程是( ).‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9.‎ 双曲线3x2﹣y2=9的实轴长是(  )‎ A.2 B.2 C.4 D.4‎ ‎10.‎ 抛物线y=﹣x2的准线方程是(  )‎ A. B.y=2 C. D.y=﹣2‎ ‎11.‎ 已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  )‎ A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0‎ ‎12.‎ 已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于(  )‎ A.4 B.5 C.7 D.8‎ ‎13.‎ 若△ABC的个顶点坐标A(﹣4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为(  )‎ A. B.(y≠0)‎ C.(y≠0) D.(y≠0)‎ ‎14.‎ 直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是(  )‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎15.‎ 已知圆(x﹣a)2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2,则a等于(  )‎ A.2 B.6 C.2或6 D.‎ ‎16.‎ 在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是(  )‎ A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直 ‎17.‎ 已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2﹣6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎18.‎ 四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为,底面ABCD是边长为2的正方形,则CD与PA所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(本题共2道小题,每小题0分,共0分)‎ ‎19.‎ 已知点,分别为双曲线的焦点和虚轴端点,若线段的中点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为___________.‎ ‎20.‎ 已知为抛物线上一点,为抛物线焦点,过点作准线的垂线,垂足为.若,点的横坐标为,则___________.‎ 评卷人 得分 三、解答题(本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分)‎ ‎21.‎ 已知函数f(x)=x2+alnx.‎ ‎(1)当a=﹣2e时,求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)若函数g(x)=f(x)+在[1,2]上是单调增函数,求实数a的取值范围.‎ ‎22.‎ 已知矩形ABCD中,,BC=1.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.‎ ‎(1)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点P(0,2)的直线l与(1)中的椭圆交于M,N两点,是否存在直线l,使得以线段MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.‎ ‎23.‎ 已知椭圆+=1及直线l:y=x+m,‎ ‎(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值.‎ ‎24.‎ 已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.‎ ‎(1)求a和b的值;‎ ‎(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.‎ ‎25.‎ 设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足2<x≤3.‎ ‎(Ⅰ)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.‎ ‎26.‎ 已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.‎ 试卷答案 ‎1.B 或,所以“”是“”的必要而不充分条件,故选.‎ ‎2.D ‎∵抛物线方程的焦点坐标为,‎ ‎∴抛物线的焦点坐标是.故选.‎ ‎3.C 命题若“”则“”的逆命题是“”则“”,‎ 所以“若,则”的逆否命题是:“若,则”,故选.‎ ‎4.A 根据框图的循环结构,依次:‎ ‎,;‎ ‎,;‎ ‎,;跳出循环,‎ ‎∴输出结果,故选.‎ ‎5.C ‎,,‎ 令,,‎ ‎∴是真命题,,,‎ ‎∵,∴,∴是假命题,‎ ‎∴是真命题.故选.‎ ‎6.A 方程表示双曲线等价于,‎ 即或,所以“”是“方程表示双曲线”‎ 的充分而不必要条件.故选.‎ ‎7.D 或,所以①错误,②正确;‎ 或,所以③正确;‎ 且,所以④正确;‎ 综上,正确命题的个数是.故选.‎ ‎8.A 设,则,‎ 所以直线的方程为,‎ 直线的方程为:,设,‎ 则由,可得,‎ 消去可得.故选.‎ 二、填空题(共6道题,每个题5分,请把答案直接填在答题纸上)‎ ‎9.命题“若,则过原点”的否命题是___________.‎ ‎【答案】若,则圆不过原点 ‎∵若则的否命题若则,‎ 所以“若,则圆过原点的否命题”是“若,‎ 则圆不过原点”.‎ ‎9.A ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线的标准方程进行求解即可.‎ ‎【解答】解:双曲线的标准方程为﹣=1,‎ 则a2=3,则a=,‎ 即双曲线3x2﹣y2=9的实轴长2a=2,‎ 故选:A.‎ ‎10.B ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y,然后再求其准线方程.‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴x2=﹣8y,‎ ‎∴其准线方程是y=2.‎ 故选B.‎ ‎11.D ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程.‎ ‎【解答】解:由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,‎ 故l的方程是 y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0,‎ 故选:D.‎ ‎12.D ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】先把椭圆方程转换成标准方程,进而根据焦距求得m.‎ ‎【解答】解:将椭圆的方程转化为标准形式为,‎ 显然m﹣2>10﹣m,即m>6,‎ ‎,解得m=8‎ 故选D ‎13.D ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】由△ABC的个顶点坐标A(﹣4,0)、B(4,0),△ABC的周长为18,得顶点C到A、B的距离和为定值10>8,由椭圆定义可知,顶点C的轨迹为椭圆,且求得椭圆的长轴长及焦距,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵A(﹣4,0)、B(4,0),∴|AB|=8,‎ 又△ABC的周长为18,∴|BC|+|AC|=10.‎ ‎∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆,‎ 则a=5,c=4,b2=a2﹣c2=25﹣16=9,‎ ‎∴顶点C的轨迹方程为.‎ 故选:D.‎ ‎14.A ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系.‎ ‎【分析】直线y=kx﹣k+1恒过点(1,1),且在椭圆的内部,由此可得直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系.‎ ‎【解答】解:直线y=kx﹣k+1可化为y=k(x﹣1)+1,所以直线恒过点(1,1)‎ ‎∵‎ ‎∴(1,1)在椭圆的内部 ‎∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交 故选A.‎ ‎15.C ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】先求出圆心(a,0)到直线y=x﹣4的距离d=,再由勾股定理能求出a.‎ ‎【解答】解:∵圆(x﹣a)2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2,‎ 圆心(a,0)到直线y=x﹣4的距离d=,‎ ‎∴=,‎ 解得a=2或a=6.‎ 故选C.‎ ‎16.A ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交,可得结论.‎ ‎【解答】解:如图,在正方体AC1中:‎ ‎∵A1B∥D1C ‎∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1,‎ 又∵EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,‎ ‎∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交,‎ 故选A.‎ ‎17.A ‎【考点】双曲线的简单性质;双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程,求得圆心坐标和半径,从而确定双曲线的焦距,得a、b间的一个等式,再利用直线与圆相切的几何性质,利用圆心到渐近线距离等于圆的半径,得a、b间的另一个等式,联立即可解得a、b的值,从而确定双曲线方程 ‎【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣6x+5=0的圆心C(3,0),半径r=2‎ ‎∴双曲线(a>0,b>0)的右焦点坐标为(3,0),即c=3,∴a2+b2=9,①‎ ‎∵双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程为bx﹣ay=0,‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径,即=2 ②‎ 由①②解得:a2=5,b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎18.A ‎【考点】余弦定理的应用;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】根据CD∥AB,∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角,在△PAB中求出∠PAB的余弦值,即可得出CD与PA所成角的余弦值.‎ ‎【解答】解:∵正方形ABCD中,CD∥AB ‎∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角 ‎△PAB中,PA=PB=,AB=2‎ ‎∴cos∠PAB===‎ 即CD与PA所成角的余弦值为 故选A ‎19.‎ 将化为标准方程,‎ ‎∴,,,‎ ‎∴离心率.‎ ‎20.‎ 根据题意,可知,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,解得:.‎ ‎21.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)a=﹣2e时,求出f′(x),利用x变化时,f'(x),f(x)的变化情况可求函数f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)问题转化为a≥﹣2x2在[1,2]恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ 当a=﹣2e时,f′(x)=2x﹣=,‎ 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下:‎ x ‎(0,)‎ ‎(,+∞)‎ f'(x)‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ 极小值 ‎∴f(x)的单调递减区间是(0,);单调递增区间是(,+∞),‎ ‎∴极小值是f()=0,无极大值;‎ ‎(2)g(x)=x2+alnx+,x>0,‎ g′(x)=2x+﹣,‎ ‎∵函数g(x)在[1,2]上是单调增函数,‎ ‎∴g′(x)≥0在[1,2]恒成立,‎ 即a≥﹣2x2在[1,2]恒成立,‎ 令h(x)=﹣2x2,h′(x)=﹣﹣4x<0在[1,2]恒成立,‎ ‎∴h(x)在[1,2]单调递减,‎ ‎∴h(x)max=h(1)=0,‎ ‎∴a≥0.‎ ‎22.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程;直线的一般式方程;直线与圆相交的性质;直线与圆锥曲线的综合问题.‎ ‎【分析】(1)由题意可得点A,B,C的坐标,设出椭圆的标准方程,根据题意知2a=AC+BC,求得a,进而根据b,a和c的关系求得b,则椭圆的方程可得.‎ ‎(2)设直线l的方程为y=kx+2.与椭圆方程联立,根据判别式大于0求得k的范围,设M,N两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).根据韦达定理求得x1+x2和x1x2,进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点,推断则,得知x1x2+y1y2=0,根据x1x2求得y1y2代入即可求得k,最后检验看是否符合题意.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.‎ 设椭圆的标准方程是.‎ 则2a=AC+BC,‎ 即,所以a=2.‎ 所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2.‎ 所以椭圆的标准方程是.‎ ‎(2)由题意知,直线l的斜率存在,可设直线l的方程为y=kx+2.‎ 由得(1+2k2)x2+8kx+4=0.‎ 因为M,N在椭圆上,‎ 所以△=64k2﹣16(1+2k2)>0.‎ 设M,N两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).‎ 则,‎ 若以MN为直径的圆恰好过原点,则,‎ 所以x1x2+y1y2=0,‎ 所以,x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=0,‎ 即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=0,‎ 所以,,即,‎ 得k2=2,‎ 经验证,此时△=48>0.‎ 所以直线l的方程为,或.‎ 即所求直线存在,其方程为.‎ ‎23.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)将直线方程代入椭圆方程,求得9x2+6mx+2m2﹣8=0,由△≥0,即可求得实数m的取值范围;‎ ‎(2)由(1)可知,由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=•=•,当m=0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.‎ ‎【解答】解:(1)将直线方程代入椭圆方程:,消去y,整理得:9x2+6mx+2m2﹣8=0,‎ 由△=36m2﹣36(2m2﹣8)=﹣36(m2﹣8),‎ ‎∵直线l与椭圆有公共点,‎ ‎∴△≥0,即﹣36(m2﹣8)≥0‎ 解得:﹣2≤m≤2,‎ 故所求实数m的取值范围为[﹣2,2];‎ ‎(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由(1)可知:利用韦达定理可知:x1+x2=﹣,x1x2=,‎ 故丨AB丨=•=•=•,‎ 当m=0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.‎ ‎24.‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件.‎ ‎【分析】(1)先求函数的导函数,然后根据1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,则f'(1)=0,f'(﹣1)=0,建立方程组,解之即可求出a与b的值;‎ ‎(2)先求出g'(x)的解析式,求出g'(x)=0的根,判定函数的单调性,从而函数的g(x)的极值点.‎ ‎【解答】解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx,得f'(x)=3x2+2ax+b.‎ ‎∵1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点,‎ ‎∴f'(1)=3+2a+b=0,f'(﹣1)=3﹣2a+b=0,解得a=0,b=﹣3.‎ ‎(2)∵由(1)得,f(x)=x3﹣3x,‎ ‎∴g'(x)=f(x)+2=x3﹣3x+2=(x﹣1)2(x+2),解得x1=x2=1,x3=﹣2.‎ ‎∵当x<﹣2时,g'(x)<0;当﹣2<x<1时,g'(x)>0,‎ ‎∴x=﹣2是g(x)的极值点.‎ ‎∵当﹣2<x<1或x>1时,g'(x)>0,∴x=1不是g(x)的极值点.‎ ‎∴g(x)的极值点是﹣2.‎ ‎25.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;复合命题的真假.‎ ‎【分析】(I)利用一元二次不等式的解法可化简命题p,若p∧q为真,则p真且q真,即可得出;‎ ‎(II)¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p⇒¬q,且¬q⇏¬p,即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)对于命题p:由x2﹣4ax+3a2<0得(x﹣3a)(x﹣a)<0,‎ 又a>0,∴a<x<3a,‎ 当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.‎ 由已知q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.‎ 若p∧q为真,则p真且q真,‎ ‎∴实数x的取值范围是2<x<3.‎ ‎(Ⅱ)¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p⇒¬q,且¬q⇏¬p,‎ 设A={x|¬p},B={x|¬q},则A⊊B,‎ 又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a},B={x|¬q}={x≤2或x>3},‎ 则0<a≤2且3a>3,‎ ‎∴实数a的取值范围是1<a≤2.‎ ‎26.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】设抛物线方程为y2=2px(p≠0),依题意,可求得AB=2|p|,利用△OAB的面积等于4,即可求得p,从而可得此抛物线的标准方程.‎ ‎【解答】解:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p≠0),‎ 焦点F(),直线l:x=,‎ ‎∴A、B两点坐标为(),(),‎ ‎∴AB=2|p|.‎ ‎∵△OAB的面积为4,‎ ‎∴•||•2|p|=4,‎ ‎∴p=±2.‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=±4x.‎
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