数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第六中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第六中学高二上学期期中考试（2017-11）

辽宁省大连市普兰店区第六中学高二上学期期中考试 数学（文）试卷 号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息rn2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（本题共18道小题，每小题0分，共0分）‎ ‎1.‎ 若，则“”是“”的（ ）．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2.‎ 抛物线的焦点坐标为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎3.‎ 命题“若，则”的逆命题是（ ）．‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎4.‎ 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎5.‎ 命题，，命题，使得，则下列命题中为真命题的是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎6.‎ ‎ “”是“方程表示双曲线”的是（ ）．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7.‎ 下列命题：①，；②，；③；④“”的充要条件是“且”中，其中正确命题的个数是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎8.‎ 已知正方形的四个顶点分别为，，，，点，分别在线段，上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.‎ 双曲线3x2﹣y2=9的实轴长是（　　）‎ A．2 B．2 C．4 D．4‎ ‎10.‎ 抛物线y=﹣x2的准线方程是（　　）‎ A． B．y=2 C． D．y=﹣2‎ ‎11.‎ 已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（　　）‎ A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0‎ ‎12.‎ 已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．8‎ ‎13.‎ 若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（　　）‎ A． B．（y≠0）‎ C．（y≠0） D．（y≠0）‎ ‎14.‎ 直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 ‎15.‎ 已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2，则a等于（　　）‎ A．2 B．6 C．2或6 D．‎ ‎16.‎ 在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 ‎17.‎ 已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎18.‎ 四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题（本题共2道小题，每小题0分，共0分）‎ ‎19.‎ 已知点，分别为双曲线的焦点和虚轴端点，若线段的中点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为___________．‎ ‎20.‎ 已知为抛物线上一点，为抛物线焦点，过点作准线的垂线，垂足为．若，点的横坐标为，则___________．‎ 评卷人 得分 三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分）‎ ‎21.‎ 已知函数f（x）=x2+alnx．‎ ‎（1）当a=﹣2e时，求函数f（x）的极值；‎ ‎（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎22.‎ 已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy．‎ ‎（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎23.‎ 已知椭圆+=1及直线l：y=x+m，‎ ‎（1）当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．‎ ‎24.‎ 已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点．‎ ‎25.‎ 设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x满足2＜x≤3．‎ ‎（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎26.‎ 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过点F且垂直于x轴，l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．‎ 试卷答案 ‎1.B 或，所以“”是“”的必要而不充分条件，故选．‎ ‎2.D ‎∵抛物线方程的焦点坐标为，‎ ‎∴抛物线的焦点坐标是．故选．‎ ‎3.C 命题若“”则“”的逆命题是“”则“”，‎ 所以“若，则”的逆否命题是：“若，则”，故选．‎ ‎4.A 根据框图的循环结构，依次：‎ ‎，；‎ ‎，；‎ ‎，；跳出循环，‎ ‎∴输出结果，故选．‎ ‎5.C ‎，，‎ 令，，‎ ‎∴是真命题，，，‎ ‎∵，∴，∴是假命题，‎ ‎∴是真命题．故选．‎ ‎6.A 方程表示双曲线等价于，‎ 即或，所以“”是“方程表示双曲线”‎ 的充分而不必要条件．故选．‎ ‎7.D 或，所以①错误，②正确；‎ 或，所以③正确；‎ 且，所以④正确；‎ 综上，正确命题的个数是．故选．‎ ‎8.A 设，则，‎ 所以直线的方程为，‎ 直线的方程为：，设，‎ 则由，可得，‎ 消去可得．故选．‎ 二、填空题（共6道题，每个题5分，请把答案直接填在答题纸上）‎ ‎9．命题“若，则过原点”的否命题是___________．‎ ‎【答案】若，则圆不过原点 ‎∵若则的否命题若则，‎ 所以“若，则圆过原点的否命题”是“若，‎ 则圆不过原点”．‎ ‎9.A ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的标准方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的标准方程为﹣=1，‎ 则a2=3，则a=，‎ 即双曲线3x2﹣y2=9的实轴长2a=2，‎ 故选：A．‎ ‎10.B ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先把抛物线转换为标准方程x2=﹣8y，然后再求其准线方程．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴x2=﹣8y，‎ ‎∴其准线方程是y=2．‎ 故选B．‎ ‎11.D ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，‎ 故l的方程是 y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，‎ 故选：D．‎ ‎12.D ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．‎ ‎【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，‎ 显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，‎ ‎，解得m=8‎ 故选D ‎13.D ‎【考点】与直线有关的动点轨迹方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，得顶点C到A、B的距离和为定值10＞8，由椭圆定义可知，顶点C的轨迹为椭圆，且求得椭圆的长轴长及焦距，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，‎ 又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．‎ ‎∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，‎ 则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，‎ ‎∴顶点C的轨迹方程为．‎ 故选：D．‎ ‎14.A ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】直线y=kx﹣k+1恒过点（1，1），且在椭圆的内部，由此可得直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）‎ ‎∵‎ ‎∴（1，1）在椭圆的内部 ‎∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交 故选A．‎ ‎15.C ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求出圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，再由勾股定理能求出a．‎ ‎【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2，‎ 圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，‎ ‎∴=，‎ 解得a=2或a=6．‎ 故选C．‎ ‎16.A ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．‎ ‎【解答】解：如图，在正方体AC1中：‎ ‎∵A1B∥D1C ‎∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，‎ 又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，‎ ‎∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，‎ 故选A．‎ ‎17.A ‎【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程 ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2‎ ‎∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②‎ 由①②解得：a2=5，b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎18.A ‎【考点】余弦定理的应用；异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】根据CD∥AB，∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角，在△PAB中求出∠PAB的余弦值，即可得出CD与PA所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD中，CD∥AB ‎∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角 ‎△PAB中，PA=PB=，AB=2‎ ‎∴cos∠PAB===‎ 即CD与PA所成角的余弦值为 故选A ‎19.‎ 将化为标准方程，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴离心率．‎ ‎20.‎ 根据题意，可知，，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎21.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）a=﹣2e时，求出f′（x），利用x变化时，f'（x），f（x）的变化情况可求函数f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（2）问题转化为a≥﹣2x2在[1，2]恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当a=﹣2e时，f′（x）=2x﹣=，‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：‎ x ‎（0，）‎ ‎（，+∞）‎ f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极小值 ‎∴f（x）的单调递减区间是（0，）；单调递增区间是（，+∞），‎ ‎∴极小值是f（）=0，无极大值；‎ ‎（2）g（x）=x2+alnx+，x＞0，‎ g′（x）=2x+﹣，‎ ‎∵函数g（x）在[1，2]上是单调增函数，‎ ‎∴g′（x）≥0在[1，2]恒成立，‎ 即a≥﹣2x2在[1，2]恒成立，‎ 令h（x）=﹣2x2，h′（x）=﹣﹣4x＜0在[1，2]恒成立，‎ ‎∴h（x）在[1，2]单调递减，‎ ‎∴h（x）max=h（1）=0，‎ ‎∴a≥0．‎ ‎22.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．‎ ‎（2）设直线l的方程为y=kx+2．与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为．‎ 设椭圆的标准方程是．‎ 则2a=AC+BC，‎ 即，所以a=2．‎ 所以b2=a2﹣c2=4﹣2=2．‎ 所以椭圆的标准方程是．‎ ‎（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2．‎ 由得（1+2k2）x2+8kx+4=0．‎ 因为M，N在椭圆上，‎ 所以△=64k2﹣16（1+2k2）＞0．‎ 设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．‎ 则，‎ 若以MN为直径的圆恰好过原点，则，‎ 所以x1x2+y1y2=0，‎ 所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，‎ 即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，‎ 所以，，即，‎ 得k2=2，‎ 经验证，此时△=48＞0．‎ 所以直线l的方程为，或．‎ 即所求直线存在，其方程为．‎ ‎23.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）将直线方程代入椭圆方程，求得9x2+6mx+2m2﹣8=0，由△≥0，即可求得实数m的取值范围；‎ ‎（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=•=•，当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ ‎【解答】解：（1）将直线方程代入椭圆方程：，消去y，整理得：9x2+6mx+2m2﹣8=0，‎ 由△=36m2﹣36（2m2﹣8）=﹣36（m2﹣8），‎ ‎∵直线l与椭圆有公共点，‎ ‎∴△≥0，即﹣36（m2﹣8）≥0‎ 解得：﹣2≤m≤2，‎ 故所求实数m的取值范围为[﹣2，2]；‎ ‎（2）设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由（1）可知：利用韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 故丨AB丨=•=•=•，‎ 当m=0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．‎ ‎24.‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】（1）先求函数的导函数，然后根据1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，则f'（1）=0，f'（﹣1）=0，建立方程组，解之即可求出a与b的值；‎ ‎（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函数的单调性，从而函数的g（x）的极值点．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．‎ ‎∵1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点，‎ ‎∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（﹣1）=3﹣2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．‎ ‎（2）∵由（1）得，f（x）=x3﹣3x，‎ ‎∴g'（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=﹣2．‎ ‎∵当x＜﹣2时，g'（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g'（x）＞0，‎ ‎∴x=﹣2是g（x）的极值点．‎ ‎∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．‎ ‎∴g（x）的极值点是﹣2．‎ ‎25.‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（I）利用一元二次不等式的解法可化简命题p，若p∧q为真，则p真且q真，即可得出；‎ ‎（II）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）对于命题p：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，‎ 又a＞0，∴a＜x＜3a，‎ 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．‎ 由已知q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ ‎∴实数x的取值范围是2＜x＜3．‎ ‎（Ⅱ）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q⇏￢p，‎ 设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，‎ 又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|￢q}={x≤2或x＞3}，‎ 则0＜a≤2且3a＞3，‎ ‎∴实数a的取值范围是1＜a≤2．‎ ‎26.‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设抛物线方程为y2=2px（p≠0），依题意，可求得AB=2|p|，利用△OAB的面积等于4，即可求得p，从而可得此抛物线的标准方程．‎ ‎【解答】解：由题意，设抛物线方程为y2=2px（p≠0），‎ 焦点F（），直线l：x=，‎ ‎∴A、B两点坐标为（），（），‎ ‎∴AB=2|p|．‎ ‎∵△OAB的面积为4，‎ ‎∴•||•2|p|=4，‎ ‎∴p=±2．‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=±4x．‎