2020高考数学三轮冲刺 专题 直线的倾斜角和斜率练习（含解析）

2020高考数学三轮冲刺 专题 直线的倾斜角和斜率练习（含解析）

直线的倾斜角和斜率 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1. 设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 ‎ A. B. ，‎ C. D. ‎ ‎（正确答案）B ‎【分析】‎ 本题考查导数的几何意义，直线的倾斜角与斜率先求函数的导数的范围，即曲线斜率的取值范围，从而求出切线的倾斜角的范围．‎ ‎【解答】‎ 解：，，‎ 故选B．‎ ‎2. 已知直线的倾斜角为，则的值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）C 解：由直线方程，得直线的斜率，‎ 直线的倾斜角为，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ 首先根据直线斜率求出的正切值，然后利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．‎ 12‎ 本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎3. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为 ‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D ‎【分析】‎ 本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数，属于基础题先求出函数在切点出的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角．‎ ‎【解答】‎ 解：函数的图象在点处的切线的斜率为，‎ 设函数的图象在点处的切线的倾斜角为，‎ 则，，‎ 故选D．‎ ‎4. 直线MN的斜率为2，其中点，点M在直线上，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：根据题意，设M的坐标为，‎ 若点M在直线上，则有， ‎ 若直线MN的斜率为2，则有， ‎ 联立解可得，，‎ 即M的坐标为；‎ 故选：B．‎ 12‎ 设M的坐标为，根据题意可得，，联立解可得，，即可得答案．‎ 本题考查直线的斜率计算，关键是掌握直线的斜率计算公式．‎ ‎5. 一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 ‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎（正确答案）D 解：点关于y轴的对称点为，‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：，化为．‎ 反射光线与圆相切，‎ 圆心到直线的距离，‎ 化为，‎ 或．‎ 故选：D．‎ 点关于y轴的对称点为，可设反射光线所在直线的方程为：，利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ 本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎6. 直线的倾斜角的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ，‎ ‎（正确答案）B 解：直线的斜率为，‎ ‎，，‎ 12‎ 倾斜角的取值范围是，‎ 故选：B．‎ 由直线的方程可确定直线的斜率，可得其范围，进而可求倾斜角的取值范围．‎ 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属基础题．‎ ‎7. 直线l过点，在x轴上的截距取值范围是，其斜率取值范围是 ‎ A. B. 或 C. 或 D. 或 ‎（正确答案）D 解：因为直线l过点，在x轴上的截距取值范围是， ‎ 所以直线端点的斜率分别为：，，如图：‎ 所以或．‎ 故选D．‎ 直接利用直线斜率公式求出两个端点的斜率，即可得到结果．‎ 本题考查直线方程的应用，直线的斜率范围的求法，考查计算能力．‎ ‎8. 已知直线l经过两点，，那么直线l的斜率为 ‎ A. B. C. D. 3‎ ‎（正确答案）C 解：直线l的斜率，‎ 故选：C．‎ 利用斜率计算公式即可得出．‎ 本题考查了斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9. 由射线逆时针旋转到射线的位置所成角为，则 ‎ 12‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）A 解：如图所示，‎ 由射线逆时针旋转到射线 的位置所成角为，‎ 则；‎ ‎，即；‎ ‎，‎ ‎，应取．‎ 故选：A．‎ 根据直线到的角的正切公式求出，再利用同角的三角函数关系求出的值．‎ 本题考查了直线到的角的正切公式以及同角三角函数关系应用问题，是基础题．‎ ‎10. 若直线的参数方程为为参数，则直线的斜率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）D 解：直线的参数方程为为参数，消去参数化为普通方程可得．‎ 故直线的斜率等于．‎ 故选：D．‎ 12‎ 把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得，从而得到直线的斜率．‎ 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，根据直线的方程求直线的斜率，属于基础题．‎ ‎11. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 ‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎（正确答案）A 解：．‎ 在点处的切线方程为，‎ ‎，，‎ 在点处切线斜率为4．‎ 故选：A．‎ 欲求曲线在点处切线的斜率，即求，先求出，然后根据曲线在点处的切线方程为求出，从而得到的解析式，即可求出所求．‎ 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．‎ ‎12. 直线 l与直线和分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为，那么直线l的斜率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎（正确答案）B 解：设，，‎ 线段PQ的中点坐标为，‎ ‎， ‎ 12‎ 解得，， ‎ ‎，，直线l的斜率为： ‎ 故选B ‎ 设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．‎ 本题考查直线的斜率公式、中点公式的简单应用，属于基础性试题 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13. 直线为参数与圆C：交于A，B两点，且，则直线l 的斜率为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ ‎【分析】‎ 本题考查了直线参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎【解答】‎ 解：直线为参数与圆C：联立，可得．‎ ‎，．‎ ‎，，，‎ 直线AB的斜率为．‎ 故答案为．‎ ‎14. 曲线在点处的切线的倾斜角的弧度数为______．‎ ‎（正确答案）‎ 解： ‎ 令得到切线的斜率 ‎ 12‎ 设倾斜角为则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案为 求出导函数，求出在切点处的导数值，即切线的斜率，利用切线的斜率时倾斜角的正切值，再根据倾斜角的范围求出倾斜角．‎ 本题考查曲线在切点处的导数值是切线的斜率、考查直线的斜率与倾斜角的关系．‎ ‎15. 已知点P是圆C：上任意一点，曲线N：与x轴交于A，B两点，直线OP与曲线N交于点M，记直线MA，MB，OP的斜率分别为，，，则的取值范围是________．‎ ‎（正确答案）‎ 本题考查直线的斜率问题和圆的切线的斜率以及椭圆的标准方程和几何意义等，考查内容较多，可分开分别求三个斜率，最后求出三者的积的范围．‎ 解：曲线N为椭圆与x轴的两个交点为，，设，则，又点M满足即所以．‎ 因为P点在圆上，所以当过圆外一点与圆上连线的为圆的切线时，斜率取得最大值和最小值下面求过原点的圆的切线的斜率．‎ 设切线为，则圆心到直线的距离为半径2，即，整理得，解得：或，所以．‎ 则．‎ 故应填．‎ 12‎ ‎16. 直线的倾斜角范围为______ ．‎ ‎（正确答案）‎ 解：由于直线的斜率为，由于，‎ ‎．‎ 设此直线的倾斜角为，则，故．‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ 由于直线的斜率为，设此直线的倾斜角为，则，且，‎ 由此求出的范围．‎ 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎17. 在直角坐标系xOy中，过点作倾斜角为的直线l与曲线C：相交于不同的两点M，N．‎ 写出直线l的参数方程；‎ 求 的取值范围．‎ ‎（正确答案）解：为参数．‎ 12‎ 为参数代入，得，．‎ 由直线经过的定点和直线的倾斜角求得直线的参数方程即可；‎ 联立直线的参数方程与圆的方程，结合参数的几何意义即可求得最终结果．‎ 本题考查直线的参数方程，参数方程几何意义的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．‎ ‎18. 过点作倾斜角为a直线与曲线相交于M、N两点 写出直线MN的参数方程；‎ 求的最小值．‎ ‎（正确答案）解：直线MN过点 ‎ 且倾斜角为a ‎ 直线MN的参数方程为：为参数分 将直线MN的参数方程代入曲线得 ‎，整理得 ‎，分 设M，N对应的对数分别为，，‎ 则分 当时，取得最小值为分 12‎ 由已知中直线MN过点且倾斜角为a，根据直线参数方程的定义，将P点坐标和倾斜角代入即可得到直线MN的参数方程；‎ 将中所得直线参数方程代入曲线方程，并将其化为一个关于t的一元二次方程，根据，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出的最小值．‎ 本题考查的知识点是直线的参数方程与参数方程的优越性，其中求出直线的方程，并正确理解参数方程中参数t的几何意义是解答本题的关键．‎ ‎19. 在直角坐标系xOy中，设倾斜角为的直线为参数与曲线为参数相交于不同两点A，B．‎ 若，求线段AB中点M的坐标；‎ 若，其中，求直线l的斜率．‎ ‎（正确答案）解：当时，由，得，‎ 直线方程为，‎ 由，得曲线C的普通方程为，‎ 设，再由，得：，‎ ‎，，‎ 的坐标为；‎ 把直线的参数方程代入，‎ 得：，‎ 12‎ ‎，由，得：，‎ ‎，，‎ 得，．‎ 又，故取．‎ 直线L的斜率为．‎ 把直线和圆的参数方程化为普通方程，联立后根据根与系数的关系求出两交点中点的横坐标，待入直线方程再求中点的纵坐标；‎ 把直线方程和圆的方程联立，化为关于t的一元二次方程，运用直线参数方程中参数t的几何意义，结合给出的等式求解直线的倾斜角的正切值，则斜率可求，‎ 本题考查了参数方程化普通方程，考查了直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，解答此题的关键是灵活运用直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．‎ 12‎