湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试数学（文）试题
宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考
高三（文科）数学
一、选择题(每小题5分,共12小题60分)
1.若，则集合的子集个数是（ ）
A. 3个 B. 5个
C. 7个 D. 8个
【答案】D
【解析】
试题分析：根据补集的定义可知，所以子集个数为．
考点：子集个数.
2.已知，则的值等于（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【详解】,
，
，
，故选B.
考点：分段函数.
3.已知,则与垂直的向量是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合向量坐标公式和向量垂直的公式，先表示出，再进行求解即可
【详解】，
A项中，，，不符合；
B项中，，，不符合；
C选项中，,∵,∴与垂直，符合；
D选项中，，
故选：C
【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算，属于基础题
4.幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 是偶函数，且在上单调递增
B. 是偶函数，且在上单调递减
C. 是奇函数，且在上单调递减
D. 既不是奇函数，也不是偶函数，在上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】
设幂函数为，由图象过点得，由函数定义域知函数不具有奇偶性，再由得到函数在单调递增.
【详解】由题意设，
因为函数的图象经过点，
所以，解得，即，
所以既不奇函数，也不是偶函数，且在上是增函数.
故选：D．
【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式后，进一步考查幂函数的奇偶性、单调性，考查对函数性质的理解.
5.下列函数中在定义域内既是奇函数又是增函数的为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意，选项A中的函数既是奇函数又是增函数；选项B中函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数；选项C中函数是奇函数，且在是减函数，在上是减函数；选项D中函数是既不是奇函数也不是偶函数，且上是增函数.故选A.
考点：函数的奇偶性、单调性.
6.已知,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
观察可知，，则由诱导公式可求得
【详解】∵,
故选：D.
【点睛】本题考查诱导公式的用法，属于基础题
7.已知向量,夹角为,且,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可先求得，再由即可求得
【详解】由题可知，，
故选：C
【点睛】本题考查向量模长的求法，属于基础题
8.定义在上的函数对任意的正实数恒成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可判断函数为增函数，可将转化为，再去“”即可求解
【详解】∵函数对任意的正实数均有,
∴是定义在上的增函数,
∴不等式,即,可转化为，
∴所求不等式的解集是
故选：D
【点睛】本题考查根据函数的增减性解不等式，属于基础题
9.函数的图像的一条对称轴方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可令，求出对称轴的通式，给赋值，结合选项判断即可
【详解】令,得,当时,
故选：B.
【点睛】本题考查正弦型函数对称轴的通式的求法，属于基础题
10.设在内单调递增，，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先将命题中函数单增转化为在上恒成立，求出参数取值范围，即可求解
【详解】对函数求导可得，，
∵在内单调递增，则在上恒成立．即恒成立，从而，∴，
又，显然是的必要不充分条件
故选：B
【点睛】本题考查命题必要不充分条件判断，考查了利用导数研究函数单调性的方法，属于基础题
11.函数的零点个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
函数的零点可转化为两个函数图像的交点，画出两个函数的图象，则两个函数图象的交点个数即为已知函数的零点个数.
【详解】由已知，令，即，在同一坐标系中作函数
与的图象，可知两个函数图象有5个交点，
故选:D
【点睛】本题考查函数的图象的应用，考查函数零点概念和数形结合思想的应用．
12.已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设 ，
则,即x>0时 是增函数，
当x>1时,g(x)>g(1)=0,此时f(x)>0；
0
0；
x<−1时f(x)=−f(−x)<0.
则不等式x⋅f(x)>0等价为 或 ，
即x>1或x<−1，
则不等式xf(x)>0的解集是(−∞,−1)∪(1,+∞)，
本题选择A选项.
二、填空题(每小题5分,共4小题20分)
13.已知函数，且函数在点(2，f(2))处的切线的斜率是，则＝_____
【答案】
【解析】
【分析】
，根据解出即可.
【详解】，所以，所以，填.
【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率. 注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别.
14.已知两向量，若，则_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据两个向量共线的性质可得,再把要求的式子利用同角三角函数的基本关系化为，运算求得结果.
【详解】两向量，若，
则，即，
，故答案为4.
【点睛】本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，属于基础题.
同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.
15.已知向量，，则向量在上的投影为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出利用投影公式计算即可.
【详解】，则向量在上的投影为
故答案为
【点睛】本题考查向量数量积，投影，是基础题，准确运用投影公式是关键.
16.给出下列四个命题：
①的对称轴为；
②函数的最大值为2；
③；
④函数在区间上单调递增．
其中正确命题的序号为__________．
【答案】①②
【解析】
【分析】
对①，由正弦型函数的通式求解即可；
对②，结合辅助角公式化简，再进行最值判断；
对③，由特殊函数值可判断错误；
对④，先结合诱导公式将函数化为，由求出
的范围，再结合增减性判断即可
【详解】令，故①正确；，故该函数的最大值为2，故②正确；
当时，，故③错误；
由，故在区间上单调递减，故④错误．
故答案为：①②
【点睛】本题考查函数基本性质的应用，正弦型函数对称轴的求法，辅助角公式的用法，函数在给定区间增减性的判断，属于中档题
三、解答题(第17题10分,其余每题12分,共6小题70分)
17.已知,且.
(1)求实数的值;
(2)求向量与的夹角.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由向量的坐标公式结合可求参数；
（2）由公式，再结合坐标运算求解即可
【详解】,.
(1)∵,∴,即,
解得.
(2),
∴,
∴.
【点睛】本题考查由向量垂直求参数问题，向量夹角的求解，属于基础题
18.已知全集，集合，，．
Ⅰ求，．
Ⅱ若，求a的取值范围．
【答案】(Ⅰ)， (Ⅱ)
【解析】
【分析】
Ⅰ根据交集与并集、补集的定义，计算即可；
Ⅱ根据子集定义，列出不等式组求a的取值范围．
【详解】Ⅰ全集，集合，，
，
或，
；
Ⅱ，，，
若，则，
解得，
的取值范围是．
【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题．
19.已知函数.
(1)求该函数的最小正周期、单调增区间;
(2)若,求的值.
【答案】（1）最小正周期,单调递增区间为:（2）
【解析】
【分析】
（1）将函数化简可得，再由正弦型函数周期与单调区间通式求解即可；
（2）由得，又，即可求解
【详解】,,
∴的最小正周期,
令,可得,
即得单调递增区间为:
(2)由,得,可得:,
得:
【点睛】本题考查函数周期、单调区间求法，二倍角公式的应用，属于中档题
20.已知，设：指数函数在上为减函数，：不等式的解集为.若和有且仅有一个正确，求的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
分别求出命题正确时和命题成立时参数的取值范围，再结合正确不正确和正确不正确两种具体情况求解即可
【详解】解析：当正确时，
∵函数在上为减函数，∴，
∴当正确时，；
当正确时，
∵不等式的解集为，
∴当时，恒成立.
∴，∴.
∴当正确时，且
由题设，若和有且只有一个正确，则
（1）正确不正确，∴.
（2）正确不正确，∴.
综上所述，若和有且仅有一个正确，的取值范围是.
【点睛】本题考查由函数的增减性求解参数范围，二次函数恒成立问题的转化，由命题的真假求解参数范围，属于中档题
21.某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨平均处理成本最低？
【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴元；（2）每月处理量为吨时，平均成本最低.
【解析】
【分析】
（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）（月处理量）每吨的平均处理成本，即为，计算的最小值，注意分段.
【详解】（1）当时，该项目获利，则
∴当时，，因此，该项目不会获利
当时，取得最大值，
所以政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损；
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
当时，
所以当时，取得最小值；
当时，
当且仅当，即时，取得最小值
因为，所以当每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
【点睛】本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1）实际问题在求解的时候注意定义域问题；（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件.
22.已知函数.
（I）当时，求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.
试题解析：（I）的定义域为.当时，
，
曲线在处的切线方程为
（II）当时，等价于
设，则
，
（i）当，时，，故在上单调递增，因此；
（ii）当时，令得
.
由和得，故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是
【考点】 导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性
【名师点睛】求函数的单调区间的方法：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
