浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高二上学期期中联考数学试题 含解析

‎2019-2020学年浙江省浙南名校联盟高二（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题）‎ 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ 2. 双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ 3. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值为 A. B. C. 5 D. 6‎ 4. 已知直线：，：，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也非必要条件 5. 已知直线l和平面，若直线l在空间中任意放置，则在平面内总有直线和 A. 垂直 B. 平行 C. 异面 D. 相交 6. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是 ‎ A. B. C. D. ‎ 7. 已知，且，，是函数的两个相邻的零点，且，则的值为 A. B. C. D. ‎ 8. 已知函数，则关于x的方程的实数解个数最多有 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 如图，已知矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角，记二面角的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为，则 ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 10. 已知数列对任意的，都有，且，则下列说法正确的是 A. 数列为单调递减数列，且 B. 数列为单调递增数列，且 C. 数列为单调递减数列，且 D. 数列为单调递增数列，且 二、填空题（本大题共7小题）‎ 11. 已知函数，则______，的解集为______．‎ 12. 若直线被圆C：截得的弦长为，则圆心C到直线l的距离是______，______．‎ 13. 某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的表面积是______，体积是______．‎ ‎ ‎ 1. 在中，，，D为线段AC的中点，若，则______，______．‎ 2. 已知F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且P到原点O的距离等于半焦距，的面积为6，则______．‎ 3. 实数x，y满足，则的最小值为______．‎ 4. 如图，在中，，且，D是线段BC上一点，过C点作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E，则的最大值为______． ‎ 三、解答题（本大题共5小题）‎ 5. 已知函数． Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间； Ⅱ当时，求的值域． ‎ 6. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，，且，． Ⅰ求证：平面ACF； Ⅱ求直线AE与平面ACF所成角的正弦值． ‎ ‎ ‎ 1. 已知正项等比数列和等差数列的首项均为1，是，的等差中项，且． Ⅰ求和的通项公式； Ⅱ设，数列前n项和为，若恒成立，求实数k的取值范围． ‎ 2. 如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点 Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ求面积的最大值．‎ ‎ ‎ 3. 已知实数，关于x的方程恰有三个不同的实数根， Ⅰ当时，求a的值； Ⅱ记函数的最小值，求的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】B ‎ ‎【解析】解：集合， ， ． 故选：B． 先分别求出集合A，B，由此能求出． 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，双曲线的标准方程为：， 则其，， 故， 则其离心率； 故选：D． 根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值，进而由双曲线的几何性质可得c的值，由离心率计算公式计算可得答案． 本题考查双曲线的几何性质，关键是利用双曲线的标准方程求出a、b的值． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分． 由得， 平移直线， 由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最小， 此时z最大． 由，解得，即 将的坐标代入目标函数， 得即的最大值为5． 故选：C． 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：直线：，：， ，解得． “”是“”的充分必要条件． 故选：C． 由求解a值，再由充分必要条件的判定得答案． 本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题． ‎ ‎5.【答案】A ‎ ‎【解析】解：当直线l与平面相交时， 平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，故B错． 当直线l与平面平行时， 平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，故D错． 当直线a在平面内时， 平面内的任意一条直线与直线l的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，故C错． 不管直线l与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内， 都可以在平面内找到一条直线与直线垂直， 因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故A正确． 故选：A． 本题可以从直线与平面的位置关系入手：直线与平面的位置关系可以分为三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，在这三种情况下在讨论平面中的直线与已知直线的关系，通过比较可知：每种情况都有可能垂直． 本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 6.【答案】A ‎ ‎【解析】解：由图象看出，在x的正半轴函数有增有减， 选项C，D的函数在上都是减函数，排除选项C，D， 由图象看出，在x正半轴的第一个零点在区间上，选项B不满足， 选项B的在正半轴的第一个零点为，选项A的在x轴的第一个零点为， 排除选项B，选项A正确． 故选：A． 根据在正半轴的图象可看出，在上有增有减，从而排除选项C，D；由图象可看出，在正半轴的第一个零点在上，而选项B的在x轴的第一个零点为，从而排除选项B，从而得出正确选项为A． 本题考查了根据函数的图象判断函数单调性的方法，反比例函数、一次函数的单调性，减函数的定义，函数零点的定义及求法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：，是函数的两个相邻的零点，且， 则，，函数， ，且， 故选：C． 由条件，是函数的两个相邻的零点，且， 知道周期，从而求出，得到函数， 由，且，利用平方关系求出即可得到答案． 本题考查了余弦函数图象和性质，同角三角函数基本关系，函数零点等知识，属于基础题． 8.【答案】B ‎ ‎【解析】解：令，则， 画出函数的图象如下左图，当时，与的交点最多有3‎ 个， 设三个交点的横坐标分别由左向右为， 当时，如右图，最多有2个交点， 当时，没有交点， 当时，最多有2个交点， 综上，关于x的方程的实数解个数最多有4个， 故选：B． 令，则，画出函数的图象，再画出，结合图象得到实数解的个数． 考查分段函数的画法，复合函数的零点问题，属于中档题． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】解：过C作平面ABFE，垂足为O，连结EO， 矩形ABFE与矩形EFCD所成二面角的平面角为锐角， 记二面角的平面角为，直线EC与平面ABFE所成角为，直线EC与直线FB所成角为， ，，， ， ，． 故选：C． 过C作平面ABFE，垂足为O，连结EO，则，，，由此能求出结果． 本题考查命题真假的判断，考查线面角、二面角、线线角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：数列对任意的，都有， 故：，故数列为单调递增数列， 所以，即，同理可得， 由， ，则， 故选：D． 利用判断数列为单调递增数列，再利用不等式的性质得出结论． 本题关键是根据判断函数的单调性，并推导， 11.【答案】1   ‎ ‎【解析】解：， 则． 由可得， ， 故答案为：1；． 直接把和代入后结合对数的运算性质可求； 由可得，结合对数的性质即可求解． 本题主要考查了对数的基本运算及对数不等式的求解，属于基础试题． 12.【答案】1   或3 ‎ ‎【解析】解：圆的标准方程为：，圆心，半径， 根据几何法得：，所以，得或者3． 故答案为：1；或3． 考察直线与圆的位置关系，相交弦，点的直线距离公式的应用． 主要利用相交弦，点的直线距离公式，基础题． 13.【答案】   ‎ ‎【解析】解：由三视图知，该几何体是底面为正视图的四棱柱，画出直观图如图所示； 则该几何体的表面积是 ； 体积是 故答案为：，． 由三视图知该几何体是平放的四棱柱，画出直观图，结合图形求它的表面积和体积． 本题考查了利用三视图求几何体的表面积与体积的计算问题，是基础题． 14.【答案】2   ‎ ‎【解析】解：由题意，设，则， 在中，由余弦定理， 可得， 可得， 解得，可得． 在中，由余弦定理可得， 又在中，， 所以由余弦定理可得． 故答案为：2，． 设，则，在中，由余弦定理可求，可得，在中，由余弦定理可得BC，在中，由余弦定理可求的值． 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：设， 点P 在椭圆上， 又点P到原点O的距离等于半焦距， ， 即 的面积为6， ， 可得 把代入得， 把代入得， 故得． 故答案为：． 运用椭圆的定义和性质，三角形面积，根据题意找到坐标之间的关系，利用解方程组的想法就可得到b的值． 考查椭圆的定义和性质，利用解方程组求值，属于常见题型． 16.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：令，则 ， 整理得，， 则， 即， 解得或， 的最小值为：2 故答案为：2． 令，带入原方程，得到含有t的x的一元二次方程有解，进而利用判别式求t即可； 考查转化思想，将最值问题，通过参数t转化为求一元二次方程有解，利用判别式解答，属于中档题； 17.【答案】 ‎ ‎【解析】解：， ， 又过点C作直线AD的垂线，交线段AD的延长线于点E， ， ， ， 不妨设 ，则， ， 又， ， 当时，． 故答案为：． 设 ，用以及题目中特殊向量， 来表示，再求最值 本题考察向量在几何图形中的应用，应用加法，减法，共线向量去表示，属于中档题． 18.【答案】解：Ⅰ函数， 所以，的最小正周期为． 令，求得， 单调递增区间为：． Ⅱ 因为，所以． 因为在上是增函数，在上是减函数， 所以在上是减函数，在上是增函数． 又因为，，， 所以的最大值为，最小值为， 所以的值域为． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，求得的最小正周期和单调递增区间； Ⅱ由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出的值域． 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 19.【答案】解：Ⅰ证明：取AC与BD的交点为O，连OF， ，， 四边形EFOD为平行四边形， ， 平面平面AFC， 平面ACF； Ⅱ解法一：平面ABCD， ，又， 四边形ABCD为的菱形， ， 平面ACF， 是直线AE与平面ACF所成角， 可得，，， ， 方法二：易证OA，OB，OF两两垂直，以OA，OB，OF为x，y，z轴建系， ， 设平面ACF法向量为， 得一个法向量， ， 直线AE与平面ACF所成角的正弦值． ‎ ‎【解析】Ⅰ取AC与BD的交点为O，连OF，证明，且，即可证明，进而得到平面ACF； Ⅱ将线面角转化为，或者建立坐标系，用向量法处理． 本题考查了线面平行的判定，线面角的求法，线面垂直的判定等，属于难题． 20.【答案】解：设的公比为q，的公差为d，由题意，由已知，，， 解得，， 所以通项公式，， 由有，设的前n项和为， 则，， 两式相减得， 所以， 恒成立，等价于对任意的正整数n，恒成立；或考虑右边单调性 所以，解得． ‎ ‎【解析】Ⅰ；设的公比为q，的公差为d，由题意将是，的等差中项，且表示为q和d的方程，即可得到和的通项公式； Ⅱ因为，用错位相减法求出其前n项和，恒成立，等价于对任意的正整数n，恒成立即可求出k的范围． 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，错位相减法求数列的前n项和，已经恒成立问题，本题属于难题． 21.【答案】解：Ⅰ由题意是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径， 可得，， 则椭圆的标准方程为． Ⅱ因为直线，过点P且互相垂直，可设：，：， 圆心O到直线的距离， ． 直线与圆O有两个交点，，所以， 又由，可得． ． 所以 ． 令，，则， ， 当，即时，有最大值为． ‎ ‎【解析】Ⅰ由题意可得，，然后求解椭圆的标准方程． Ⅱ因为直线，过点P且互相垂直，可设：，：，求出圆心O到直线的距离以及AB，直线与圆O有两个交点，推出，联立，转化求解PD的距离，求出三角形的面积，通过二次函数的性质求解面积的最大值． 本题考查直线以及圆与椭圆的亲子关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 22.【答案】解Ⅰ题设等价于二次函数有与有两个不同的交点，且二次函数与相切于x轴上方； 所以，得；， 所以； 方法一： 因为方程恰有三个不同的实数根， 所以，且 得，舍去 设方程的两根， 因为， 所以， 得 当时，， ，在单调递减， 所以； 当时，， ，在单调递增， 所以 当时，，对称轴， 1 > x _{1}'/>，又，， 在上先增后减， 又，即， ‎ 所以 综上所述，，， ， 令，则． ‎ ‎【解析】本题Ⅰ利用转化思想和数形结合思想把三个实数根转化为交点和切点求解； Ⅱ分类讨论，利用函数的单调性求出最值，从而求解． 本题考查了转化思想，数形结合思想，以及分类讨论思想，需要学生有较高的综合性的能力． ‎