2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第七章 立体几何 第2节

2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第七章 立体几何 第2节

第七章 第2节 ‎1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有(　　 )‎ A．4个　　　　　　　　 B．3个 C．2个 D．1个 解析：A　[首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．]‎ ‎2．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　 )‎ A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等 D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c 解析：C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]‎ ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　 )‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 ‎4．如图所示，ABCD－A1B‎1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A‎1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是(　　 )‎ A．A，M，O三点共线 ‎ B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：A　[连接A‎1C1，AC，则A‎1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A‎1C⊂平面ACC‎1A1，‎ ‎∵M∈A‎1C，∴M∈平面ACC‎1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC‎1A1与平面AB1D1的交线上．‎ ‎∴A，M，O三点共线．]‎ ‎5．已知正四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　 )‎ A. B. C. D. 解析：D　[连BA1，则在正四棱柱中可得BA1∥CD1，‎ ‎∴∠A1BE即为异面直线BE与CD1所成角(或其补角)．‎ 设AA1＝2AB＝2，则在△A1BE中，BE＝，EA1＝1，BA2＝，由余弦定理得cos∠A1BE＝＝，‎ ‎∴异面直线BE与CD1所成角的余弦值为.故选D.]‎ ‎6．若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为　________　.‎ 解析：∵直线l⊥平面β，平面α⊥平面β ‎∴直线l∥平面α，或者直线l⊂平面α.‎ 答案：l∥α，或l⊂α ‎7．如图，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为　________　.‎ 解析：取AC的中点D，连接DE、DF，‎ 则DE∥PC，DF∥AB，∠EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，‎ 利用余弦定理可求得∠EDF＝120°，‎ 所以异面直线AB与PC所成的角为60°.‎ 答案：60°‎ ‎8．如图所示，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C‎1C的中点，有以下四个结论：‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线； ‎ ‎④直线MN与AC所成的角为60°.‎ 其中正确的结论为　________　(注：把你认为正确的结论序号都填上)．‎ 解析：∵直线CC1在平面CC1D1D上，而M∈平面CC1D1D，A∉平面CC1D1D，‎ ‎∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，‎ ‎∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，‎ 利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故③正确，利用平移法，可得直线MN与AC所成的角为60°，故④正确．‎ 答案：③④‎ ‎9．如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．‎ ‎(1)求证：直线EF与BD是异面直线；‎ ‎(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．‎ 解析：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．‎ ‎(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，‎ 所以相交直线EF与EG所成的角，‎ 即为异面直线EF与BD所成的角．‎ 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.‎ 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ ‎10．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ 解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥PABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.‎ ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，‎ 所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.‎