中考复习 特殊四边形综合题

中考复习 特殊四边形综合题

特殊四边形综合题 ‎1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ ‎2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）‎ ‎（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．‎ ‎①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．‎ （2） 拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．‎ ‎3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与 边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．‎ ‎（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；‎ ‎（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；‎ ‎（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．‎ ‎4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）求证：AF⊥FM；‎ ‎（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．‎ ‎ ‎ ‎5．如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．‎ ‎（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；‎ ‎（2）当BE=2EC时，求的值；‎ ‎（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．‎ ‎6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当t=　 　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　 　；‎ ‎（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？‎ ‎（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．‎ ‎ ‎ ‎7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．‎ ‎（1）求证：BG=AE；‎ ‎（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）‎ ‎①求证：BG⊥GE；‎ ‎②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．‎ ‎9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．‎ ‎（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系　 　；‎ ‎（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．‎ ‎10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止 ‎（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP　∽　△PCD（填：“≌”或“～”‎ ‎（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．‎ ‎11．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．‎ ‎（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）‎ ‎（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3‎ 的猜想，并选择一种情况给予证明．‎ ‎12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．‎ ‎（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；‎ ‎（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．‎ ‎①求证：DE⊥FG；‎ ‎②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．‎ ‎13．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．‎ ‎（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．‎ ‎①求证：△AGE≌△AFE；‎ ‎②若BE=2，DF=3，求AH的长．‎ ‎（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．‎ ‎14．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎15．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．‎ ‎（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．‎ ‎①求证：BD⊥CF；‎ ‎②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．‎ ‎16．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．‎ ‎（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；‎ ‎（2）若KD=KG，BC=4﹣．‎ ‎①求KD的长度；‎ ‎②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=时，求m的值．‎ ‎17．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）若点P在线段AB上．‎ ‎①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．‎ ‎（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．‎ ‎①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；‎ ‎②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．‎ ‎19．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．‎ ‎（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；‎ ‎（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC 边的延长线于点N，请你直接写出的值．‎ ‎20．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．‎ ‎（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是　 　，位置关系是　 　；‎ ‎（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；‎ ‎（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．‎ ‎21．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．‎ ‎（1）求证：∠HEA=∠CGF；‎ ‎（2）当AH=DG=2时，‎ ‎ 求证：菱形EFGH为正方形；‎ ‎（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．‎ ‎22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BEC；‎ ‎（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；‎ ‎（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．‎ ‎23．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．‎ ‎（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；‎ ‎（2）求证：2BE=AC+CN；‎ ‎（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎24．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．‎ ‎（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是　 　；‎ ‎（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．‎ ‎25．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．‎ ‎【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．‎ ‎【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 　关系时，仍有EF=BE+FD．‎ ‎【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40‎ ‎（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）‎ ‎26．如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．‎ ‎（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．‎ ‎（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长．‎ ‎27．如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．‎ ‎（1）如图1，当点E在CB边上时，‎ ‎ 求证：PE=CE；‎ ‎（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．‎ ‎28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　 　．‎ ‎（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．‎ ‎（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．‎ ‎29．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．‎ ‎（1）如图1，若点M与点C重合，‎ ‎ 求证：DF=MN；‎ ‎（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；‎ ‎①当点F是边AB的中点时，求t的值；‎ ‎②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．‎ ‎30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．‎ ‎（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　 　；‎ ‎（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；‎ ‎（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．‎ 特殊四边形综合题答案 ‎1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．‎ ‎（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？‎ ‎（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；‎ ‎（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．‎ 解：（1）四边形APQD为平行四边形；‎ ‎（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，‎ ‎∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°，‎ ‎∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，‎ 在△AOB和△OPQ中，‎ ‎∴△AOB≌△POQ（SAS），‎ ‎∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，‎ ‎∴∠AOP=∠BOQ=90°，‎ ‎∴OA⊥OP；‎ ‎（3）如图，过O作OE⊥BC于E．‎ ‎①如图1，当P点在B点右侧时，‎ 则BQ=x+2，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=（x+1）2﹣，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=2时，y有最大值为2；‎ ‎②如图2，当P点在B点左侧时，‎ 则BQ=2﹣x，OE=，‎ ‎∴y=וx，即y=﹣（x﹣1）2+，‎ 又∵0≤x≤2，‎ ‎∴当x=1时，y有最大值为；‎ 综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；‎ ‎2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）‎ ‎（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．‎ ‎①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；‎ ‎②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；‎ ‎（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．‎ 解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠GPH=∠FPD，‎ ‎∵DE平分∠ADC，‎ ‎∴∠PDF=∠ADP=45°，‎ ‎∴△HPD为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DHP=∠PDF=45°，‎ 在△HPG和△DPF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△HPG≌△DPF（ASA），‎ ‎∴PG=PF；‎ ‎②结论：DG+DF=DP，‎ 由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，‎ ‎∴HD=DP，HG=DF，‎ ‎∴HD=HG+DG=DF+DG，‎ ‎∴DG+DF=DP；‎ ‎（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，‎ 如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，‎ ‎∵PF⊥PG，‎ ‎∴∠GPF=∠HPD=90°，‎ ‎∴∠GPH=∠FPD，‎ ‎∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，‎ ‎∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，‎ 在△HPG和△DPF中，‎ ‎∵‎ ‎∴△HPG≌△DPF，‎ ‎∴HG=DF，‎ ‎∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，‎ ‎∴DG﹣DF=DP．‎ ‎3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．‎ ‎（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；‎ ‎（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；‎ ‎（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．‎ ‎（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；‎ ‎（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可．‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BCF=∠DCE=90°‎ ‎∵AC是正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠ACB=∠ACD=45°，‎ ‎∴∠ACF=∠ACE，‎ ‎∵∠EAF被对角线AC平分，‎ ‎∴∠CAF=∠CAE，‎ 在△ACF和△ACE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACF≌△ACE，‎ ‎∴CE=CE，‎ ‎∵CE=a，CF=b，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∵△ACF≌△ACE，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE，‎ ‎∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=67.5°，‎ ‎∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，‎ ‎∵∠CAF=∠CAE=22.5°，‎ ‎∴∠CAE=∠CEA，‎ ‎∴CE=AC=4，‎ 即：a=b=4；‎ ‎（2）当△AEF是直角三角形时，‎ ‎①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°，‎ ‎∵∠CEF+∠CFE=90°，‎ ‎∴∠AFD=∠CEF ‎∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，‎ ‎∴∠AEF=45°=∠EAF ‎∴AF=EF，‎ 在△ADF和△FCE中 ‎∴△ADF≌△FCE，‎ ‎∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，‎ ‎∴a=8，b=4‎ ‎②当∠AEF=90°时，‎ 同①的方法得，CF=4，CE=8，‎ ‎∴a=4，b=8．‎ ‎（3）ab=32，‎ 理由：如图，‎ ‎∵AB∥CD ‎∴∠BAG=∠AFC，‎ ‎∵∠BAC=45°，‎ ‎∴∠BAG+∠CAF=45°，‎ ‎∴∠AFC+∠CAF=45°，‎ ‎∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°，‎ ‎∴∠CAF=∠AEC，‎ ‎∵∠ACF=∠ACE=135°，‎ ‎∴△ACF∽△ECA，‎ ‎∴，‎ ‎∴EC×CF=AC2=2AB2=32‎ ‎∴ab=32．‎ ‎4．（2016•淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．‎ ‎（1）求证：=；‎ ‎（2）求证：AF⊥FM；‎ ‎（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．‎ ‎【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题．‎ ‎（2）由（1）的结论即可证明．‎ ‎（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到=，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠MAF=∠MBE，‎ ‎∴A、B、M、F四点共圆，‎ ‎∴∠ABM+∠AFM=180°，‎ ‎∴∠AFM=90°，‎ ‎∴∠FAM=∠FMA=45°，‎ ‎∴AM=AF，‎ ‎∴=．‎ ‎（2）由（1）可知∠AFM=90°，‎ ‎∴AF⊥FM．‎ ‎（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM 理由：∵A、B、M、F四点共圆，‎ ‎∴∠BAM=∠EFM，‎ ‎∵∠BAM=∠FMN，‎ ‎∴∠EFM=∠FMN，‎ ‎∴MN∥BD，‎ ‎∴=，∵CB=DC，‎ ‎∴CM=CN，‎ ‎∴MB=DN，‎ 在△ABM和△ADN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△ADN，‎ ‎∴∠BAM=∠DAN，‎ ‎∵∠MAN=45°，‎ ‎∴∠BAM+∠DAN=45°，‎ ‎∴∠BAM=22.5°．‎ ‎5．（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．‎ ‎（1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；‎ ‎（2）当BE=2EC时，求的值；‎ ‎（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．‎ ‎【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可；‎ ‎（2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例=，得出ED2=6a2，由勾股定理得出DC=a，即可得出结果；‎ ‎（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=，设EM=x，则FC=FE=x+，由勾股定理得出方程，解方程求出EM=，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可得出n的值．‎ ‎（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点，‎ ‎∴CF=DE=EF，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，‎ ‎∵∠BFC=90°，E为BC中点，‎ ‎∴EF=EC，∴CF=CE，‎ 在△BCF和△DEC中，，‎ ‎∴△BCF≌△DEC（ASA）；‎ ‎（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a，‎ ‎∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，‎ ‎∴CF=DE，‎ ‎∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°，‎ ‎∴△BCF∽△DEC，‎ ‎∴=，‎ 即：=，‎ 解得：ED2=6a2‎ 由勾股定理得：，‎ ‎∴==；‎ ‎（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：‎ ‎∵CF是Rt△DCE斜边上的中线，‎ ‎∴FC=FE=FD，‎ ‎∴∠FEC=∠FCE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∴∠ADF=∠CEF，‎ ‎∴∠ADF=∠BCF，‎ 在△ADF和△BCF中，，‎ ‎∴△ADF≌△BCF（SAS），‎ ‎∴∠AFD=∠BFC=90°，‎ ‎∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°，‎ ‎∴四边形C′MFH是矩形，‎ ‎∴FM=C′H=，‎ 设EM=x，则FC=FE=x+，‎ 在Rt△EMC和Rt△FMC中，‎ 由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2，‎ ‎∴12﹣x2=（x+）2﹣（）2，‎ 解得：x=，或x=﹣（舍去），‎ ‎∴EM=，FC=FE=+；‎ 由（2）得：，‎ 把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=，‎ ‎∴，‎ 解得：n=4．‎ ‎6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．‎ ‎（1）求证：BE=DF；‎ ‎（2）当t=　6+6　秒时，DF的长度有最小值，最小值等于　12　；‎ ‎（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？‎ ‎（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；‎ ‎（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；‎ ‎（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；‎ ‎②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=6；‎ ‎（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=6；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=6，根据tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=6+12，由GF=DE=t得FM=t﹣6﹣12，‎ 利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．‎ 解：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，‎ ‎∴∠DCF=∠BCE，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴DC=BC，‎ 在△DCF和△BCE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DCF≌△BCE（SAS），‎ ‎∴DF=BE；‎ ‎（2）如图1，‎ 当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，‎ 在Rt△ABE′中，AB=6，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，‎ ‎∴设AE′=x，则BE′=2x，‎ ‎∴AB=x=6，‎ 则AE′=6‎ ‎∴DE′=6+6，DF=BE′=12，‎ 故答案为：6+6，12；‎ ‎（3）∵CE=CF，‎ ‎∴∠CEQ＜90°，‎ ‎①当∠EQP=90°时，如图2①，‎ ‎∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，‎ ‎∴∠CBD=∠CEF，‎ ‎∵∠BPC=∠EPQ，‎ ‎∴∠BCP=∠EQP=90°，‎ ‎∵AB=CD=6，tan∠ABC=tan∠ADC=2，‎ ‎∴DE=6，‎ ‎∴t=6秒；‎ ‎②当∠EPQ=90°时，如图2②，‎ ‎∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，‎ ‎∴EC与AC重合，‎ ‎∴DE=6，‎ ‎∴t=6秒；‎ ‎（4）y=t﹣12﹣，‎ 如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，‎ 由（1）知∠1=∠2，‎ 又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，‎ ‎∴∠DCE=∠GCF，‎ 在△DCE和△GCF中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△DCE≌△GCF（SAS），‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∵∠1=∠3，∠1=∠2，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∴GF∥CD，‎ 又∵AH∥BN，‎ ‎∴四边形CDMN是平行四边形，‎ ‎∴MN=CD=6，‎ ‎∵∠BCD=∠DCG，‎ ‎∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，‎ ‎∴CN=CG=CD=6，‎ ‎∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，‎ ‎∴GN=12，‎ ‎∴GM=6+12，‎ ‎∵GF=DE=t，‎ ‎∴FM=t﹣6﹣12，‎ ‎∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，‎ ‎∴FH=（t﹣6﹣12），‎ 即y=t﹣12﹣．‎ ‎7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．‎ ‎（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；‎ ‎（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；‎ ‎（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．‎ ‎【分析】（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形．‎ ‎（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可．‎ ‎（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．‎ ‎（1）解：结论AE=EF=AF．‎ 理由：如图1中，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，‎ ‎∴△ABC，△ADC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠DAC=60°‎ ‎∵BE=EC，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，‎ ‎∵∠EAF=60°，‎ ‎∴∠CAF=∠DAF=30°，‎ ‎∴AF⊥CD，‎ ‎∴AE=AF（菱形的高相等），‎ ‎∴△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE=EF=AF．‎ （2） 证明：如图2中，‎ ‎∵∠BAC=∠EAF=60°，‎ ‎∴∠BAE=∠CAE，‎ 在△BAE和△CAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAE≌△CAF，‎ ‎∴BE=CF．‎ ‎（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，‎ ‎∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠AEB=45°，‎ 在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，‎ ‎∴BG=2，AG=2，‎ 在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，‎ ‎∴AG=GE=2，‎ ‎∴EB=EG﹣BG=2﹣2，‎ ‎∵△AEB≌△AFC，‎ ‎∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，‎ 在RT△CHF中，∵∠HCF=180°﹣∠BCD=60°，CF=2﹣2，‎ ‎∴FH=CF•sin60°=（2﹣2）•=3﹣．‎ ‎∴点F到BC的距离为3﹣．‎ ‎8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE．‎ ‎（1）求证：BG=AE；‎ ‎（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示）‎ ‎①求证：BG⊥GE；‎ ‎②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求的值．‎ ‎【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；‎ ‎（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；‎ ‎②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=GE=x，由（1）的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=AB=x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=x，所以GM=x，于是可计算出的值．‎ ‎（1）证明：如图①，‎ ‎∵AD为等腰直角△ABC的高，‎ ‎∴AD=BD，‎ ‎∵四边形DEFG为正方形，‎ ‎∴∠GDE=90°，DG=DE，‎ 在△BDG和△ADE中 ‎，‎ ‎∴△BDG≌△ADE，‎ ‎∴BG=AE；‎ ‎（2）①证明：如图②，‎ ‎∵四边形DEFG为正方形，‎ ‎∴△DEG为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠1=∠2=45°，‎ 由（1）得△BDG≌△ADE，‎ ‎∴∠3=∠2=45°，‎ ‎∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°，‎ ‎∴BG⊥GE；‎ ‎②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，‎ ‎∴DG=GE=x，‎ ‎∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x，‎ 在Rt△BGA中，‎ ‎，‎ ‎∵△ABD为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠4=45°，BD=AB=x，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ 而∠BDM=∠GDB，‎ ‎∴△DBM∽△DGB，‎ ‎∴BD：DG=DM：BD，即x：x=DM：x，解得DM=x，‎ ‎∴GM=DG﹣DM=x﹣x=x，‎ ‎∴==．‎ ‎9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．‎ ‎（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系　AF=AE　；‎ ‎（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．‎ ‎（2）如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．‎ ‎（3）如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．‎ 解：（1）如图①中，结论：AF=AE．‎ 理由：∵四边形ABFD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DF，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AC=DF，‎ ‎∵DE=EC，‎ ‎∴AE=EF，‎ ‎∵∠DEC=∠AEF=90°，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴AF=AE．‎ 故答案为AF=AE．‎ ‎（2）如图②中，结论：AF=AE．‎ 理由：连接EF，DF交BC于K．‎ ‎∵四边形ABFD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥DF，‎ ‎∴∠DKE=∠ABC=45°，‎ ‎∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED，‎ ‎∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，‎ ‎∴∠EKF=∠ADE，‎ ‎∵∠DKC=∠C，‎ ‎∴DK=DC，‎ ‎∵DF=AB=AC，‎ ‎∴KF=AD，‎ 在△EKF和△EDA中，‎ ‎，‎ ‎∴△EKF≌△EDA，‎ ‎∴EF=EA，∠KEF=∠AED，‎ ‎∴∠FEA=∠BED=90°，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴AF=AE．‎ ‎（3）如图③中，结论不变，AF=AE．‎ 理由：连接EF，延长FD交AC于K．‎ ‎∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，‎ ‎∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，‎ ‎∴∠EDF=∠ACE，‎ ‎∵DF=AB，AB=AC，‎ ‎∴DF=AC 在△EDF和△ECA中，‎ ‎，‎ ‎∴△EDF≌△ECA，‎ ‎∴EF=EA，∠FED=∠AEC，‎ ‎∴∠FEA=∠DEC=90°，‎ ‎∴△AEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴AF=AE．‎ ‎10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止 ‎（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP　∽　△PCD（填：“≌”或“～”‎ ‎（2）类比探究：如图（3）在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；‎ ‎（3）拓展延伸：设AE=t，△EPF面积为S，试确定S关于t的函数关系式；当S=4.2时，求所对应的t的值．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质找出∠B=∠C=90°，再通过角的计算得出∠BAP=∠CPD，由此即可得出△ABP∽△PCD；‎ ‎（2）过点F作FH⊥PC于点H，根据矩形的性质以及角的计算找出∠B=∠FHP=90°、∠BEP=∠HPE，由此即可得出△BEP∽△HPE，根据相似三角形的性质，找出边与边之间的关系即可得出结论；‎ ‎（3）分点E在AB和AD上两种情况考虑，根据相似三角形的性质找出各边的长度，再利用分割图形求面积法找出S与t之间的函数关系式，令S=4.2求出t值，此题得解．‎ 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠B=∠C=90°，∴∠BAP+∠BPA=90°．‎ ‎∵∠MPN=90°，∴∠BPA+∠CPD=90°，‎ ‎∴∠BAP=∠CPD，∴△ABP∽△PCD．‎ 故答案为：∽．‎ ‎（2）是定值．如图3，过点F作FH⊥PC于点H，‎ ‎∵矩形ABCD中，AB=2，‎ ‎∴∠B=∠FHP=90°，HF=AB=2，‎ ‎∴∠BPE+∠BEP=90°．‎ ‎∵∠MPN=90°，‎ ‎∴∠BPE+∠HPE=90°，‎ ‎∴∠BEP=∠HPE，‎ ‎∴△BEP∽△HPE，‎ ‎∴，∵BP=1，‎ ‎∴．‎ ‎（3）分两种情况：‎ ‎①如图3，当点E在AB上时，0≤t≤2．‎ ‎∵AE=t，AB=2，‎ ‎∴BE=2﹣t．‎ 由（2）可知：△BEP∽△HPE，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴HP=4﹣2t．‎ ‎∵AF=BH=PB+BH=5﹣2t，‎ ‎∴S=S矩形ABHF﹣S△AEF﹣S△BEP﹣S△PHF ‎=AB•AF﹣AE•AF﹣BE•PB﹣PH•FH ‎=t2﹣4t+5（0≤t≤2）．‎ 当S=4.2时，t2﹣4t+5=4.2，‎ 解得：t=2±．‎ ‎∵0≤t≤2，‎ ‎∴t=2﹣；‎ ‎②如图4，当点E在AD上时，0≤t≤1，过点E作EK⊥BP于点K，‎ ‎∵AE=t，BP=1，‎ ‎∴PK=1﹣t．‎ 同理可证：△PKE∽△FCP，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴FC=2﹣2t．‎ ‎∴DF=CD﹣FC=2t，DE=AD﹣AE=5﹣t，‎ ‎∴S=S矩形EKCD﹣S△EKP﹣S△EDF﹣S△PCF=CD•DE﹣EK•KP﹣DE•DF﹣PC•FC=t2﹣2t+5（0≤t≤1）．‎ 当S=4.2时，t2﹣2t+5=4.2，‎ 解得：t=1±．‎ ‎∵0≤t≤1，‎ ‎∴t=1﹣．‎ 综上所述：当点E在AB上时，S=t2﹣4t+5（0≤t≤2），当S=4.2时，t=2﹣；当点E在AD上时，S=t2﹣2t+5（0≤t≤1），当S=4.2时，t=1﹣．‎ ‎11．（2016•龙东地区）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．‎ ‎（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）‎ ‎（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．‎ ‎【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．‎ ‎（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．‎ 图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．‎ 解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，‎ ‎∴∠AEO=∠CFO=90°，‎ 在△AEO和△CFO中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF，‎ ‎∴OE=OF．‎ ‎（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．‎ ‎ 图3中的结论为：CF=OE﹣AE．‎ 如图2中的结论证明如下：‎ 延长EO交CF于点G，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠EAO=∠GCO，‎ 在△EOA和△GOC中，‎ ‎，‎ ‎∴△EOA≌△GOC，‎ ‎∴EO=GO，AE=CG，‎ 在Rt△EFG中，∵EO=OG，‎ ‎∴OE=OF=GO，‎ ‎∵∠OFE=30°，‎ ‎∴∠OFG=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△OFG是等边三角形，‎ ‎∴OF=GF，∵OE=OF，‎ ‎∴OE=FG，∵CF=FG+CG，‎ ‎∴CF=OE+AE．‎ 选图3的结论证明如下：‎ 延长EO交FC的延长线于点G，‎ ‎∵AE⊥BP，CF⊥BP，‎ ‎∴AE∥CF，‎ ‎∴∠AEO=∠G，‎ 在△AOE和△COG中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COG，‎ ‎∴OE=OG，AE=CG，‎ 在Rt△EFG中，∵OE=OG，‎ ‎∴OE=OF=OG，‎ ‎∵∠OFE=30°，‎ ‎∴∠OFG=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴△OFG是等边三角形，‎ ‎∴OF=FG，‎ ‎∵OE=OF，‎ ‎∴OE=FG，‎ ‎∵CF=FG﹣CG，‎ ‎∴CF=OE﹣AE．‎ ‎12．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．‎ ‎（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；‎ ‎（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．‎ ‎①求证：DE⊥FG；‎ ‎②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长（直接写出结果，不必写出解答过程）．‎ ‎【分析】（1）利用判定定理（SAS）可证；‎ ‎（2）①利用（1）的结论与正方形的性质，只需证明∠FDE+∠DFG=90°即可；‎ ‎②由DE⊥FG可构造直角三角形，利用等边三角形的性质及三角函数可求DE的长．‎ 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是其对角线，‎ ‎∴∠DCE=∠BCE，CD=CB 在△BCE与△DCE中，‎ ‎∴△BCE≌△DCE（SAS）．‎ ‎（2）①证明：∵由（1）可知△BCE≌△DCE，‎ ‎∴∠FDE=∠FBC 又∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴CD∥AB，‎ ‎∴∠DFG=∠BGF，∠CFB=∠GBF，‎ 又∵FG=FB，‎ ‎∴∠FGB=∠FBG，‎ ‎∴∠DFG=∠CFB，‎ 又∵∠FCB=90°，‎ ‎∴∠CFB+∠CBF=90°，‎ ‎∴∠EDF+∠DFG=90°，‎ ‎∴DE⊥FG ‎②解：如下图所示，‎ ‎∵△BFG为等边三角形，‎ ‎∴∠BFG=60°，‎ ‎∵由（1）知∠DFG=∠CFB=60°，‎ 在Rt△FCB中，∠FCB=90°，‎ ‎∴FC=CB•cot60°=，DF=2﹣，‎ 又∵DE⊥FG，‎ ‎∴∠FDE=∠FED=30°，OD=OE，‎ 在Rt△DFO中，‎ ‎ OD=DF•cos30°=﹣1，‎ ‎∴DE=2（﹣1）‎ ‎13．如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．‎ ‎（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．‎ ‎①求证：△AGE≌△AFE；‎ ‎②若BE=2，DF=3，求AH的长．‎ ‎（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．‎ ‎【分析】（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；‎ ‎（2）将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．‎ 解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠BAD=90°．‎ 又∵∠EAF=45°，‎ ‎∴∠BAE+∠DAF=45°．‎ ‎∴∠BAG+∠BAE=45°．‎ ‎∴∠GAE=∠FAE．‎ 在△GAE和△FAE中，‎ ‎∴△GAE≌△FAE．‎ ‎②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，‎ ‎∴AB=AH，GE=EF=5．‎ 设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．‎ 在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．‎ 解得：x=6．‎ ‎∴AB=6．‎ ‎∴AH=6．‎ ‎（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°．‎ 由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．‎ ‎∴∠NDM′=90°．‎ ‎∴NM′2=ND2+DM′2．‎ ‎∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，‎ ‎∴∠EAF=∠FAM′=45°．‎ 在△AMN和△ANM′中，，‎ ‎∴△AMN≌△ANM′．‎ ‎∴MN=NM′．‎ 又∵BM=DM′，‎ ‎∴MN2=ND2+BM2．‎ ‎14．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF 于点G，连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形EFDG是菱形；‎ ‎（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；‎ ‎（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；‎ ‎（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；‎ ‎（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．‎ 解：（1）证明：∵GE∥DF，‎ ‎∴∠EGF=∠DFG．‎ ‎∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，‎ ‎∴∠DGF=∠DFG．‎ ‎∴GD=DF．‎ ‎∴DG=GE=DF=EF．‎ ‎∴四边形EFDG为菱形．‎ ‎（2）EG2=GF•AF．‎ 理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．‎ ‎∵四边形EFDG为菱形，‎ ‎∴GF⊥DE，OG=OF=GF．‎ ‎∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，‎ ‎∴△DOF∽△ADF．‎ ‎∴，即DF2=FO•AF．‎ ‎∵FO=GF，DF=EG，‎ ‎∴EG2=GF•AF．‎ ‎（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．‎ ‎∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，‎ ‎∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．‎ 解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．‎ ‎∵DF=GE=2，AF=10，‎ ‎∴AD==4．‎ ‎∵GH⊥DC，AD⊥DC，‎ ‎∴GH∥AD．‎ ‎∴△FGH∽△FAD．‎ ‎∴，即=．‎ ‎∴GH=．‎ ‎∴BE=AD﹣GH=4﹣=．‎ ‎15．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．‎ ‎（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；‎ ‎（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．‎ ‎①求证：BD⊥CF；‎ ‎②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．‎ ‎【分析】（1）根据旋转变换的性质和全等三角形的判定定理证明△CAF≌△BAD，证明结论；‎ ‎（2）①根据全等三角形的性质、垂直的定义证明即可；‎ ‎②连接DF，延长AB交DF于M，根据题意和等腰直角三角形的性质求出DM、BM的长，根据勾股定理求出BD的长，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可得到答案．‎ 解：（1）BD=CF．‎ 理由如下：由题意得，∠CAF=∠BAD=θ，‎ 在△CAF和△BAD中，‎ ‎，‎ ‎∴△CAF≌△BAD，‎ ‎∴BD=CF；‎ ‎（2）①由（1）得△CAF≌△BAD，‎ ‎∴∠CFA=∠BDA，‎ ‎∵∠FNH=∠DNA，∠DNA+∠NAD=90°，‎ ‎∴∠CFA+∠FNH=90°，‎ ‎∴∠FHN=90°，即BD⊥CF；‎ ‎②连接DF，延长AB交DF于M，‎ ‎∵四边形ADEF是正方形，AD=3，AB=2，‎ ‎∴AM=DM=3，BM=AM﹣AB=1，‎ ‎∵△ABC绕点A逆时针旋转45°，‎ ‎∴∠BAD=45°，‎ ‎∴AM⊥DF，‎ ‎∴DB==，‎ ‎∵∠MAD=∠MDA=45°，‎ ‎∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，‎ ‎∴△DMB∽△DHF，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，DH=．‎ ‎16．如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．‎ ‎（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；‎ ‎（2）若KD=KG，BC=4﹣．‎ ‎①求KD的长度；‎ ‎②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S△PMN=时，求m的值．‎ ‎【分析】（1）①先根据AAS判定△DOK≌△BOG，②再根据等腰三角形ABF和平行四边形AFKG的性质，得出结论BG=AB+AK；‎ ‎（2）①先根据等量代换得出AF=KG=KD=BG，再设AB=a，根据AK=FG列出关于a的方程，求得a的值，进而计算KD的长；②先过点G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出关于m的方程，求得m的值即可．‎ 解：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC ‎∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO ‎∵点O是BD的中点 ‎∴DO=BO ‎∴△DOK≌△BOG（AAS）‎ ‎②∵四边形ABCD是矩形 ‎∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC 又∵AF平分∠BAD ‎∴∠BAF=∠BFA=45°‎ ‎∴AB=BF ‎∵OK∥AF，AK∥FG ‎∴四边形AFGK是平行四边形 ‎∴AK=FG ‎∵BG=BF+FG ‎ ‎∴BG=AB+AK ‎（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形 ‎∴AK=FG，AF=KG 又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG ‎∴AF=KG=KD=BG 设AB=a，则AF=KG=KD=BG=a ‎∴AK=4﹣﹣a，FG=BG﹣BF=a﹣a ‎∴4﹣﹣a=a﹣a 解得a=‎ ‎∴KD=a=2‎ ‎②过点G作GI⊥KD于点I 由（2）①可知KD=AF=2‎ ‎∴GI=AB=‎ ‎∴S△DKG=×2×=‎ ‎∵PD=m ‎∴PK=2﹣m ‎∵PM∥DG，PN∥KG ‎∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN ‎∴，即S△DPN=（）2‎ 同理S△PKM=（）2‎ ‎∵S△PMN=‎ ‎∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2×‎ 又∵S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM ‎∴2×=﹣（）2﹣（）2，即m2﹣2m+1=0‎ 解得m1=m2=1‎ ‎∴当S△PMN=时，m的值为1‎ ‎17．已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．‎ ‎（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；‎ ‎（2）若点P在线段AB上．‎ ‎①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；‎ ‎②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定定理证明△APE≌△CFE，根据全等三角形的性质证明结论；‎ ‎（2）①根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质解答；‎ ‎②根据PE∥CF，得到=，代入a、b的值计算求出a：b，根据角平分线的判定定理得到∠HCG=∠BCG，证明∠AEC=∠ACB，即可求出∠AEC的度数．‎ 解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，‎ ‎∴AB=BC，BP=BF，‎ ‎∴AP=CF，‎ 在△APE和△CFE中，‎ ‎，‎ ‎∴△APE≌△CFE， ∴EA=EC；‎ ‎（2）①∵P为AB的中点，‎ ‎∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，‎ ‎∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，‎ ‎∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；‎ ‎②‎ ‎∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，‎ ‎∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴=，即=，‎ 解得，a=b；‎ 作GH⊥AC于H，‎ ‎∵∠CAB=45°，‎ ‎∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，‎ ‎∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，‎ ‎∴∠HCG=∠BCG，‎ ‎∵PE∥CF，‎ ‎∴∠PEG=∠BCG，‎ ‎∴∠AEC=∠ACB=45°．‎ ‎∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．‎ ‎18．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：△AOC′≌△BOD′．‎ ‎（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．‎ ‎①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；‎ ‎②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质及角之间的关系证明△BOD′≌△AOC′；‎ ‎（2）①先进行假设，然后根据平行四边形的性质及相似三角形比例关系即可得出答案；‎ ‎②易证△BOD′≌△C′OA，则AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，从而得出∠AMB=α．‎ ‎（1）证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，‎ ‎∴OA=OC=OB=OD，‎ 又∵OD=OD′，OC=OC′，‎ ‎∴OB=OD′=OA=OC′，‎ ‎∵∠D′OD=∠C′OC，‎ ‎∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，‎ ‎∴∠BOD′=∠AOC′，‎ ‎∴在△BOD′和△AOC′中，‎ ‎∴△BOD′≌△AOC′；‎ ‎（2）解：①△AOC′∽△BOD′；理由如下：‎ ‎∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，‎ 又∵OD=OD′，OC=OC′，‎ ‎∴OC′=OA，OD′=OB，‎ ‎∵∠D′OD=∠C′OC，‎ ‎∴180°﹣∠D′OD=180°﹣∠C′OC，‎ ‎∴∠BOD′=∠AOC′，‎ ‎∴△BOD′∽△AOC′，‎ ‎∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，‎ ‎∵AC=kBD，‎ ‎∴AC′=kBD′，‎ ‎∴△BOD′∽△AOC′；‎ ‎②AC′=kBD′，∠AMB=α；‎ 设BD′与OA相交于点N，‎ ‎∴∠BNO=∠ANM，‎ ‎∴180°﹣∠OAC′﹣∠ANM=180°﹣∠OBD′﹣∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，‎ 综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α；‎ ‎19．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交DC、CB于点E、F．‎ ‎（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；‎ ‎（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为P． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当E、F分别是边DC、CB的中点时，过点P任作一直线，分别交DA边于点M，BC边于点G，DC边的延长线于点N，请你直接写出的值．‎ ‎【分析】（1）连接OE、0F，由四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，又由E、F分别为DC、CB中点，证得0E=OF=OA，则可得点O即为△AEF的外心；‎ ‎（2）①连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，求出∠IPJ的度数，又由点P是等边△AEF的外心，易证得△PIE≌△PJA，可得PI=PJ，即点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；‎ ‎②连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y﹣1，先利用AAS证明△GBP≌△MDP，得出BG=DM=x，CG=1﹣x，再由BC∥DA，得出△NCG∽△NDM，根据相似三角形对应边成比例得出=，进而求出为定值2．‎ ‎（1）证明：如图1，连接OE、0F，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，‎ ‎∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．‎ ‎∠ADO=∠ADC=×60°=30°，‎ 又∵E、F分别为DC、CB中点，‎ ‎∴OE=CD，OF=BC，AO=AD，‎ ‎∴0E=OF=OA，‎ ‎∴点O即为△AEF的外心；‎ ‎（2）解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：‎ 如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，‎ ‎∴∠PIE=∠PJD=90°，‎ ‎∵∠ADC=60°，‎ ‎∴∠IPJ=360°﹣∠PIE﹣∠PJD﹣∠JDI=120°，‎ ‎∵点P是等边△AEF的外心，‎ ‎∴∠EPA=120°，PE=PA，‎ ‎∴∠IPJ=∠EPA，‎ ‎∴∠IPE=∠JPA，‎ ‎∴△PIE≌△PJA，‎ ‎∴PI=PJ，‎ ‎∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上；‎ ‎②为定值2．‎ 连接BD、AC交于点P，由（1）可得点P即为△AEF的外心．‎ 如图3，设MN交BC于点G，‎ 设DM=x，DN=y（x≠0，y≠O），则CN=y﹣1，‎ ‎∵BC∥DA，‎ ‎∴∠GBP=∠MDP，∠BGP=∠DMP，‎ 又由（1）知BP=DP，‎ ‎∴△GBP≌△MDP（AAS），‎ ‎∴BG=DM=x，‎ ‎∴CG=1﹣x．‎ ‎∵BC∥DA，‎ ‎∴△NCG∽△NDM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴x+y=2xy，‎ ‎∴+=2，‎ 即=2．‎ ‎20．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点E在直线CD上（与点C，D不重合），连接AE，平移△ADE，使点D移动到点C，得到△BCF，过点F作FG⊥BD于点G，连接AG，EG．‎ ‎（1）问题猜想：如图1，若点E在线段CD上，试猜想AG与EG的数量关系是　AG=EG　，位置关系是　AG⊥EG　；‎ ‎（2）类比探究：如图2，若点E在线段CD的延长线上，其余条件不变，小明猜想（1）中的结论仍然成立，请你给出证明；‎ ‎（3）解决问题：若点E在线段DC的延长线上，且∠AGF=120°，正方形ABCD的边长为2‎ ‎，请在备用图中画出图形，并直接写出DE的长度．‎ ‎【分析】（1）由平移得到EF=AD，再由正方形的性质得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，从而证明△AGD≌△EGF即可；‎ ‎（2）由平移得到EF=AD，再由正方形的性质得出∠ADG=∠CDB，DG=FG，从而证明△AGD≌△EGF即可；‎ ‎（3）由（1）的结论AG=EG，AG⊥EG，得出∠GEA=45°，推导出∠AED=30°，再由三角函数即可求解．‎ 解：（1）如图1，‎ 由平移得，EF=AD，‎ ‎∵BD是正方形的对角线，‎ ‎∴∠ADB=∠CDB=45°，‎ ‎∵CF⊥BD，‎ ‎∴∠DGF=90°，‎ ‎∴∠GFD+∠CBD=90°，‎ ‎∴∠DFG=45°，‎ ‎∴GD=GF，‎ 在△AGD和△EGF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AGD≌△EGF ‎∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，‎ ‎∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，‎ ‎∴AG⊥EG．‎ 故答案为AG=EG，AG⊥EG．‎ ‎（2）（1）中的结论仍然成立，‎ 证明：如图2‎ 由平移得，EF=AD，‎ ‎∵BD是正方形的对角线，‎ ‎∴∠ADB=∠CDB=45°，‎ ‎∵CF⊥BD，‎ ‎∴∠DGF=90°，‎ ‎∴∠GFD+∠CBD=90°，‎ ‎∴∠DFG=45°，‎ ‎∴GD=GF，‎ 在△AGD和△EGF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AGD≌△EGF ‎∴AG=EG，∠AGD=∠EGF，‎ ‎∴∠AGE=∠AGD+∠DGE=∠EGF+DGE=90°，‎ ‎∴AG⊥EG．‎ ‎（3）由（1）有，AG=CG，AG⊥EG，‎ ‎∴∠GEA=45°，‎ ‎∵∠AGF=120°，‎ ‎∴∠AGB=∠CGB，=30°，‎ ‎∴∠FGE=∠CGB=∠CGE=30°，‎ ‎∴∠CEG=75°，‎ ‎∴∠AED=30°，‎ 在Rt△ADE中，AD=2，‎ ‎∴DE=2．‎ ‎21．如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF．‎ ‎（1）求证：∠HEA=∠CGF；‎ ‎（2）当AH=DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；‎ ‎（3）设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值．‎ ‎【分析】（1）过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，由AB与CD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由GE为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，利用等式的性质即可得证；‎ ‎（2）由于四边形ABCD为正方形，四边形HEFG为菱形，那么∠D=∠A=90°，HG=HE，而AH=DG=2，易证△AHE≌△DGH，从而有∠DHG=∠HEA，等量代换可得∠AHE+∠DHG=90°，易证四边形HEFG为正方形；‎ ‎（3）欲求△FCG的面积，由已知得CG的长易求，只需求出GC边的高，通过证明△AHE≌△MFG可得．‎ ‎（1）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，‎ ‎∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，‎ ‎∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，‎ ‎∴∠AEH=∠FGM；‎ ‎（2）证明：在△HDG和△AEH中，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠D=∠A=90°，‎ ‎∵四边形EFGH是菱形，‎ ‎∴HG=HE，‎ 在Rt△HDG和△AEH中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△HDG≌△AEH（HL），‎ ‎∴∠DHG=∠AEH，‎ ‎∴∠DHG+∠AHE=90°‎ ‎∴∠GHE=90°，‎ ‎∴菱形EFGH为正方形；‎ ‎（3）解：过F作FM⊥CD于M，‎ 在△AHE与△MFG中，，‎ ‎∴△AHE≌△MFG，‎ ‎∴MF=AH=x，∵DG=2x，‎ ‎∴CG=6﹣2x，‎ ‎∴y=CG•FM=•x•（6﹣2x）=﹣（x﹣）2+，‎ ‎∵a=﹣1＜0，∴当x=时，y最大=．‎ ‎22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BEC；‎ ‎（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；‎ ‎（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；‎ ‎（2）利用梯形的面积和直角三角形面积公式求出答案；‎ ‎（3）利用全等三角形的性质结合相似三角形的判定与性质得出AF的长，进而得出答案．‎ ‎（1）证明：如图1，∵∠DEC=90°，‎ ‎∴∠AED+∠CEB=90°，‎ ‎∵∠ADE+∠AED=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠CEB，‎ 在△ADE和△BEC中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BEC（AAS）；‎ （2） 证明：如图1，‎ ‎∵AB⊥BC，∠DEC=90°，‎ ‎∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，‎ ‎∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC，‎ ‎∴BE=a，BC=b，‎ ‎∴（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，‎ 整理得：a2+b2=c2；‎ （3） 解：如图2，‎ 由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS），‎ 则AD=BE=2，BC=AE=4，‎ ‎∵DF⊥CF，∴∠AFD+∠BFC=90°，‎ ‎∵∠BFC+∠BCF=90°，∴∠AFD=∠BCF，‎ 又∵∠A=∠B，∴△AFD∽△BCF，‎ ‎∴=，‎ 设AF=x，则BF=6﹣x，‎ 故=，‎ 解得：x1=2，x2=4，‎ ‎∵点F不与点E重合，‎ ‎∴x=2，‎ ‎∴EF=6﹣2﹣2=2．‎ ‎23．如图1，正方形ABCD中，AC是对角线，等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，点M在CD边上，连接AN，点E是AN的中点，连接BE．‎ ‎（1）若CM=2，AB=6，求AE的值；‎ ‎（2）求证：2BE=AC+CN；‎ ‎（3）当等腰Rt△CMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F．请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质知∠ACN=90°，运用勾股定理计算即可；‎ ‎（2）延长NC与AB的延长线交于一点G，AC+CN转化为GN，运用三角形的中位线性质易得证；‎ ‎（3）类比（2）易得BE=（AC﹣CN）．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，AB=6，‎ ‎∴AC=6，‎ ‎∵等腰Rt△CMN中，∠CMN=90°，CM=MN，CM=2，‎ ‎∴CN=2，∵∠ACN=90°，‎ ‎∴AN===4，‎ ‎∵点E是AN的中点，‎ ‎∴AE=2；‎ ‎（2）如图①，延长NC与AB的延长线交于一点G，‎ 则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点，‎ ‎∴AC=CG ∴GN=AC+CN，‎ ‎∵点E是AN的中点，∴BE=GN ‎∴BE=AC+CN；‎ ‎（3）BE=（AC﹣CN）‎ 如图②，延长CN与AB的延长线交于一点G，‎ 则△ACG是等腰直角三角形，B为AG的中点，‎ ‎∴AC=CG，∴GN=AC﹣CN，‎ ‎∵点E是AN的中点，‎ ‎∴BE=GN，∴BE=（AC﹣CN）．‎ ‎24．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH．‎ ‎（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是　CH=AB　；‎ ‎（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．‎ ‎【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．‎ ‎（2）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABF≌△CBE，即可判断出∠1=∠2；然后根据EH⊥BF，∠BCE=90°，可得C、H两点都在以BE为直径的圆上，判断出∠4=∠HBC，即可判断出CH=BC，最后根据AB=BC，判断出CH=AB即可．‎ ‎（3）首先根据三角形三边的关系，可得CK＜AC+AK，据此判断出当C、A、K三点共线时，CK的长最大；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△DFK≌△DEH，即可判断出DK=DH，再根据全等三角形判定的方法，判断出△DAK≌△DCH，即可判断出AK=CH=AB；最后根据CK=AC+AK=AC+AB，求出线段CK长的最大值是多少即可．‎ 解：（1）如图1，连接BE，，‎ 在正方形ABCD中，‎ AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，‎ ‎∵点E是DC的中点，DE=DF，‎ ‎∴点F是AD的中点，‎ ‎∴AF=CE，‎ 在△ABF和△CBE中，‎ ‎∴△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵EH⊥BF，∠BCE=90°，‎ ‎∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，‎ ‎∴∠3=∠2，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，‎ ‎∴∠4=∠HBC，‎ ‎∴CH=BC，‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴CH=AB．‎ 故答案为：CH=AB．‎ ‎（2）当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论CH=AB仍然成立．‎ 如图2，连接BE，‎ 在正方形ABCD中，‎ AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，‎ ‎∵AD=CD，DE=DF，‎ ‎∴AF=CE，‎ 在△ABF和△CBE中，‎ ‎∴△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵EH⊥BF，∠BCE=90°，‎ ‎∴C、H两点都在以BE为直径的圆上，‎ ‎∴∠3=∠2，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ ‎∵∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，‎ ‎∴∠4=∠HBC，‎ ‎∴CH=BC，‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴CH=AB．‎ （3） 如图3，‎ ‎∵CK≤AC+AK，‎ ‎∴当C、A、K三点共线时，CK的长最大，‎ ‎∵∠KDF+∠ADH=90°，∠HDE+∠ADH=90°，‎ ‎∴∠KDF=∠HDE，‎ ‎∵∠DEH+∠DFH=360°﹣∠ADC﹣∠EHF=360°﹣90°﹣90°=180°，‎ ‎∠DFK+∠DFH=180°，∴∠DFK=∠DEH，‎ 在△DFK和△DEH中，‎ ‎∴△DFK≌△DEH，‎ ‎∴DK=DH，‎ 在△DAK和△DCH中，‎ ‎∴△DAK≌△DCH，∴AK=CH 又∵CH=AB，∴AK=CH=AB，‎ ‎∵AB=3，∴AK=3，AC=3，‎ ‎∴CK=AC+AK=AC+AB=，‎ 即线段CK长的最大值是．‎ ‎25．问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．‎ ‎【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．‎ ‎【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F 分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　∠BAD=2∠EAF　关系时，仍有EF=BE+FD．‎ ‎【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）‎ ‎【分析】【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可．‎ ‎【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案；‎ ‎【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，只要再证明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．‎ ‎【发现证明】证明：如图（1），‎ ‎∵△ADG≌△ABE，‎ ‎∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，‎ 又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°，‎ ‎∴∠GAF=∠FAE，‎ 在△GAF和△FAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFG≌△AFE（SAS），‎ ‎∴GF=EF，‎ 又∵DG=BE，‎ ‎∴GF=BE+DF，‎ ‎∴BE+DF=EF；‎ ‎【类比引申】∠BAD=2∠EAF．‎ 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM，‎ ‎∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°，‎ ‎∴∠D=∠ABM，‎ 在△ABM和△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABM≌△ADF（SAS），‎ ‎∴AF=AM，∠DAF=∠BAM，‎ ‎∵∠BAD=2∠EAF，‎ ‎∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，‎ ‎∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF，‎ 在△FAE和△MAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△FAE≌△MAE（SAS），‎ ‎∴EF=EM=BE+BM=BE+DF，‎ 即EF=BE+DF．‎ 故答案是：∠BAD=2∠EAF．‎ ‎【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF，过A作AH⊥GD，垂足为H．‎ ‎∵∠BAD=150°，∠DAE=90°，‎ ‎∴∠BAE=60°．‎ 又∵∠B=60°，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BE=AB=80米．‎ 根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°，‎ 又∵∠ADF=120°，‎ ‎∴∠GDF=180°，即点G在 CD的延长线上．‎ 易得，△ADG≌△ABE，‎ ‎∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE，‎ 又∵AH=80×=40，HF=HD+DF=40+40（﹣1）=40‎ 故∠HAF=45°，‎ ‎∴∠DAF=∠HAF﹣∠HAD=45°﹣30°=15°‎ 从而∠EAF=∠EAD﹣∠DAF=90°﹣15°=75°‎ 又∵∠BAD=150°=2×75°=2∠EAF ‎∴根据上述推论有：EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109（米），即这条道路EF的长约为109米．‎ ‎26．如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．‎ ‎（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．‎ ‎（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=时，求线段CG的长．‎ ‎【分析】（1）根据正方形的性质，可得OA与OC的关系，OD与OF的关系，∠AOC与∠DOF的关系，根据等式的性质，可得∠AOD与∠COF的关系，根据SAS，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得证明结论；‎ ‎（2）根据全等三角形的性质、对顶角的性质，可得三角形的两个对应角相等，可得三角形相似，根据相似三角形的性质，可得证明结论；‎ ‎（3）根据勾股定理，可得OE的长，根据根据正方形的性质，可得OM、OD、OE的关系，根据线段的和差，可得AM的长，根据同一个角的正切的两种表达方式，可得OG的长，再根据线段的和差，可得答案．‎ ‎（1）解：AD=CF．‎ 理由如下：‎ 在正方形ABCO和正方形ODEF中，‎ AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，‎ ‎∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，（等式的性质）‎ 即∠AOD=∠COF，‎ 在△AOD和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOD≌△COF（SAS），‎ ‎∴AD=CF；‎ ‎（2）证明：如图2，设AD与CF交于点H ‎∵△AOD≌△COF（SAS）∴∠OCF=∠GAO．‎ ‎∵∠CGH=∠AGO，∴△AOG∽△CHG．‎ ‎∴∠CHG=∠GOA=90°．∴AD⊥CF． ‎ ‎（3）解：如图，连接DF交OE于M，则DF⊥OE，DM=OM=OE，‎ ‎∵正方形ODEF的边长为，由勾股定理得 ‎∴OE==2，‎ ‎∴DM=OM=OE×=1，‎ ‎∴AM=AO+OM=3+1=4（线段的和差）‎ 在Rt△ADM中，tan∠DAM=．‎ ‎∴tan∠GAO=tan∠DAM=，‎ ‎∴OG==‎ ‎∴CG=OC﹣OG=3﹣=．‎ ‎27如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，连接PF，点P是FD的中点，连接PE、PC．‎ ‎（1）如图1，当点E在CB边上时，求证：PE=CE；‎ ‎（2）如图2，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明．‎ ‎【分析】（1）延长EP交DC于点G，由正方形的性质和已知条件可证明△PEF≌△PGD（AAS），进而可证明△CGE是等腰直角三角形，则CP⊥GE，CP=EG=PE，所以△CPE是等腰直角三角形．由等腰三角形的性质可得PE=CE，问题得证；‎ ‎（2）PE=CE，延长EP交CD的延长线于点G，由（1）的证明思路即可证得．‎ 解：（1）延长EP交DC于点G，如图（1）所示：‎ ‎∵∠FEC=∠DCE=90°，‎ ‎∴EF∥CD，‎ ‎∴∠PFE=∠PDG，‎ 又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，‎ ‎∴在△PEF和△PGD中 ‎∴△PEF≌△PGD（AAS），‎ ‎∴PE=PG，EF=GD，‎ ‎∵BE=EF，‎ ‎∴BE=GD．‎ ‎∵CD=CB，‎ ‎∴CG=CE，‎ ‎∴△CGE是等腰直角三角形，‎ ‎∴CP⊥GE，CP=EG=PE，‎ ‎∴△CPE是等腰直角三角形．‎ ‎∴PE=CE；‎ ‎（2）PE=CE，理由如下：如图（2）所示：‎ 延长EP交CD的延长线于点G，‎ ‎∵∠FEB+∠DCB=180°，‎ ‎∴EF∥CD，‎ ‎∴∠PEF=∠PGD，‎ 又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，‎ ‎∴在△PEF和△PGD中，‎ ‎，‎ ‎∴△PEF≌△PGD（AAS），‎ ‎∴PE=PG，EF=GD，‎ ‎∵BE=EF，∴BE=GD．‎ ‎∵CD=CB，∴CG=CE，‎ ‎∴△CGE是等腰直角三角形，‎ ‎∴CP⊥GE，CP=EG=PE，‎ ‎∴△CPE是等腰直角三角形．‎ ‎∴PE=CE．‎ ‎28．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．‎ ‎（1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　．‎ ‎（2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．‎ ‎（3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．‎ ‎【分析】（1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长；‎ ‎（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE=1，BF=3，由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根据∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分类讨论，求得矩形的宽．‎ ‎（3）首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，∠AEO=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长．‎ 解：（1）‎ ‎∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90°‎ ‎∴∠DGC=90°，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形 ‎∴∠ADC=90°，AD=CD，∵∠ADE+∠2=90°，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，∴∠1=∠ADE，‎ ‎∵l3∥l4，∴∠1=∠DCG，‎ ‎∠ADE=∠DCG，‎ 在△AED与△DGC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△GDC（AAS），‎ ‎∴AE=GD=1，ED=GC=3，‎ ‎∴AD==，‎ 故答案为：；‎ ‎（2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，‎ 则BE=1，BF=3，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，‎ ‎∵∠ABE+∠EAB=90°，∴∠FBC=∠EAB，‎ 当AB＜BC时，AB=BC，‎ ‎∴AE=BF=，‎ ‎∴AB==；‎ 如图3当AB＞BC时，‎ 同理可得：BC=，‎ ‎∴矩形的宽为：，；‎ ‎（3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l4于点O，N，‎ ‎∵∠OAE′=30°，则∠E′FN=60°‎ ‎∵AE′=AE=1，‎ 故E′O=，E′N=，E′D′=，‎ 由勾股定理可知菱形的边长为：==．‎ ‎29．正方形ABCD边长为4cm，点E，M分别是线段AC，CD上的动点，连接DE并延长，交正方形ABCD的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．‎ ‎（1）如图1，若点M与点C重合，求证：DF=MN；‎ ‎（2）如图2，若点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；‎ ‎①当点F是边AB的中点时，求t的值；‎ ‎②连结FM，FN，当t为何值时△MNF是等腰三角形（直接写出t值）．‎ ‎【分析】（1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到结论；‎ ‎（2）①当点F是AB中点时，由比例式，计算即可，②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4﹣t，再分三种情况计算．‎ 证明：（1）∵∠DNC+ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，‎ ‎∴∠ADF=∠DCN，‎ 在△ADF和△DNC中 ‎，‎ ‎∴△ADF≌△DNC，∴DF=MN；‎ ‎（2）①当点F是AB中点时，‎ ‎∴AF=AB=2，‎ 由题意可知，CM=t，AE=t，CE=4﹣t，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴t=，‎ ‎②∵△AEF∽△CED，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴AF=，‎ ‎∵△MND∽△DFA，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴DN=CM=t，AN=DM=4﹣t，‎ ‎∵△MNF是等腰三角形，‎ Ⅰ、当FN=FM，‎ ‎∵MN⊥DF，∴FD是MN的垂直平分线，‎ ‎∴DN=DM，∴t=4﹣t，‎ ‎∴t=2（此时点F与点B重合），‎ Ⅱ、当FM=MN时，点F在BC上，如图1，‎ ‎∵∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN，‎ ‎∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=4﹣t，‎ ‎∵△NDM∽△DCF，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴t=4（此时点F与点C重合），‎ Ⅲ、当FN=MN时，如图2，‎ ‎∵∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN，‎ ‎∴△FAN≌△NDM，∴AF=DN，‎ ‎∴=t，∴t=0（舍），‎ 即：当t=2或t=4时，△MNF是等腰三角形．‎ ‎30．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边长分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．‎ ‎（1）如图①，当∠MAN点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：　AH=AB　；‎ ‎（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；‎ ‎（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．‎ ‎【分析】（1）由三角形全等可以证明AH=AB，‎ ‎（2）延长CB至E，使BE=DN，证明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB，‎ ‎（3）分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt△MCN中，由勾股定理，解得x．‎ 解：（1）如图①AH=AB，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠B=∠D=90°，‎ 在△ABM与△ADN中，，‎ ‎∴△ABM≌△ADN，‎ ‎∴∠BAM=∠DAN，AM=AN，‎ ‎∵AH⊥MN，‎ ‎∴∠MAH=MAN=22.5°，‎ ‎∵∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°，‎ 在△ABM与△AHM中，，‎ ‎∴△ABM≌△AHM，∴AB=AH；‎ 故答案为：AH=AD；‎ ‎（2）数量关系成立．如图②，延长CB至E，使BE=DN．‎ ‎∵ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，‎ 在Rt△AEB和Rt△AND中，，‎ ‎∴Rt△AEB≌Rt△AND，‎ ‎∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，‎ ‎∴∠EAM=∠NAM=45°，‎ 在△AEM和△ANM中，，‎ ‎∴△AEM≌△ANM，‎ ‎∴S△AEM=S△ANM，EM=MN，‎ ‎∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，‎ ‎∴AB=AH；‎ ‎（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，‎ ‎∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°，‎ 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，‎ 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，‎ 设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，‎ 在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC2，‎ ‎∴52=（x﹣2）2+（x﹣3）2，‎ 解得x1=6，x2=﹣1（不符合题意，舍去）‎ ‎∴AH=6．‎