高考理数　双曲线及其性质

高考理数　双曲线及其性质

§10.2 　双曲线及其性质 高考理数 ( 课标专用) 考点一　双曲线的定义和标准方程 1. (2017课标Ⅲ,5,5分)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的一条渐近线方程为 y =   x ,且与椭圆   +   =1有公共焦点,则 C 的方程为       (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1　    C.   -   =1　    D.   -   =1 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案    B 　本题考查求解双曲线的方程. 由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为   -   = k ( k >0),即   -   =1,∵双曲线与椭圆   +   =1有公共焦点,∴4 k +5 k =12-3,解得 k =1,故双曲线 C 的方程为   -   =1.故选B. 一题多解 　∵椭圆   +   =1的焦点为( ± 3,0),双曲线与椭圆   +   =1有公共焦点,∴ a 2 + b 2 =( ± 3) 2 =9①,∵双曲线的一条渐近线为 y =   x ,∴   =   ②,联立①②可解得 a 2 =4, b 2 =5.∴双曲线 C 的方 程为   -   =1. 2 .(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程   -   =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4, 则 n 的取值范围是(　　) A.(-1,3)　    B.(-1,   )　    C.(0,3)　    D.(0,   ) 答案    A 　解法一:由题意可知: c 2 =( m 2 + n )+(3 m 2 - n )=4 m 2 ,其中 c 为半焦距,∴2 c =2 × 2| m |=4,∴| m |=1, ∵方程   -   =1表示双曲线, ∴( m 2 + n )·(3 m 2 - n )>0, ∴- m 2 < n <3 m 2 ,∴-1< n <3.故选A. 解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴   ① 或   ②由①得 m 2 =1, n ∈(-1,3).②无解.故选A. 知识拓展 　对于方程 mx 2 + ny 2 =1,若表示椭圆,则 m 、 n 均为正数且 m ≠ n ;若表示双曲线,则 m · n <0. 考点二　双曲线的几何性质 1. (2018课标Ⅰ,11,5分)已知双曲线 C :   - y 2 =1, O 为坐标原点, F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C 的两 条渐近线的交点分别为 M , N .若△ OMN 为直角三角形,则| MN |=   (　　) A.   　    B.3　    C.2   　    D.4 答案    B 　本题主要考查双曲线的几何性质. 由双曲线 C :   - y 2 =1可知其渐近线方程为 y = ±   x ,∴∠ MOx =30 ° ,∴∠ MON =60 ° ,不妨设∠ OMN =90 ° ,则易知焦点 F 到渐近线的距离为 b ,即| MF |= b =1,又知| OF |= c =2,∴| OM |=   ,则在Rt△ OMN 中,| MN |=| OM |·tan∠ MON =3.故选B.   解题关键 　利用双曲线的几何性质求出∠ MON 的大小及| OM |的值是求解本题的关键. 2. (2018课标Ⅱ,5,5分)双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离心率为   ,则其渐近线方程为   (　　) A. y = ±   x 　    B. y = ±   x 　    C. y = ±   x 　    D. y = ±   x 答案    A 　本题主要考查双曲线的几何性质. ∵ e =   ,∴   =   =   =   , ∴双曲线的渐近线方程为 y = ±   x = ±   x .故选A. 3. (2018课标Ⅲ,11,5分)设 F 1 , F 2 是双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左,右焦点, O 是坐标原点.过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若| PF 1 |=   | OP |,则 C 的离心率为   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.   答案    C 　本题考查双曲线的几何性质. 点 F 2 ( c ,0)到渐近线 y =   x 的距离| PF 2 |=   = b ( b >0),而| OF 2 |= c ,所以在Rt△ OPF 2 中,由勾股定 理可得| OP |=   = a ,所以| PF 1 |=   | OP |=   a . 在Rt△ OPF 2 中,cos∠ PF 2 O =   =   , 在△ F 1 F 2 P 中, cos∠ PF 2 O =   =   , 所以   =   ⇒ 3 b 2 =4 c 2 -6 a 2 , 则有3( c 2 - a 2 )=4 c 2 -6 a 2 , 解得   =   (负值舍去), 即 e =   .故选C. 方法总结 　求双曲线的离心率的值(或取值范围) 根据题设条件,得出一个关于 a , b , c 的等式(或不等式),利用 c 2 = a 2 + b 2 消去 b ,转化为关于 a 、 c 的等 式(或不等式),即可求得离心率的值(或取值范围). 4. (2014课标Ⅰ,4,5分,0.687)已知 F 为双曲线 C : x 2 - my 2 =3 m ( m >0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐 近线的距离为   (　　) A.   　    B.3　    C.   m 　    D.3 m 答案    A 　由题意知,双曲线的标准方程为   -   =1,其中 a 2 =3 m , b 2 =3,故 c =   =   ,不 妨取 F (   ,0),一条渐近线为 y =   x ,化成一般式即为 x -   y =0,由点到直线的距离公式可 得 d =   =   ,故选A. 思路分析 　将双曲线的方程化为标准方程,求出一个焦点坐标和一条渐近线方程,再由点到直 线的距离公式计算即可. 知识延伸 　任何双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为定值 b (其中 b 为虚半轴长). 5. (2015课标Ⅰ,5,5分,0.576)已知 M ( x 0 , y 0 )是双曲线 C :   - y 2 =1上的一点, F 1 , F 2 是 C 的两个焦点.若   ·   <0,则 y 0 的取值范围是   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案    A 　不妨令 F 1 为双曲线的左焦点,则 F 2 为右焦点,由题意可知 a 2 =2, b 2 =1,∴ c 2 =3.∴ F 1 (-   , 0), F 2 (   ,0),则   ·   =(-   - x 0 )·(   - x 0 )+(- y 0 )·(- y 0 )=   +   -3. 又知   -   =1,∴   =2+2   ,∴   ·   =3   -1<0. ∴-   < y 0 <   ,故选A. 思路分析 　由双曲线方程求出 F 1 , F 2 的坐标,利用数量积的坐标运算表示出   ·   ,利用 M 在 双曲线上得   =2+2   ,从而将   ·   转化为仅含 y 0 的式子,由   ·   <0即可解得 y 0 的取值范围. 解题关键 　依据   ·   <0正确构建关于 y 0 的不等式是解题的关键. 6. (2015课标Ⅱ,11,5分,0.365)已知 A , B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ ABM 为等腰三角形, 且顶角为120 ° ,则 E 的离心率为   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.   答案    D　 设双曲线 E 的标准方程为   -   =1( a >0, b >0),则 A (- a ,0), B ( a ,0),不妨设点 M 在第一象 限内,则易得 M (2 a ,   a ),又 M 点在双曲线 E 上,于是   -   =1,可得 b 2 = a 2 ,∴ e =   =   . 思路分析 　设出双曲线方程,依据题意,求出点 M 的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于 a 、 b 的 方程,进而可得出双曲线 E 的离心率. 7. (2016课标Ⅱ,11,5分)已知 F 1 , F 2 是双曲线 E :   -   =1的左,右焦点,点 M 在 E 上, MF 1 与 x 轴垂直,sin ∠ MF 2 F 1 =   ,则 E 的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.2 答案    A　 解法一:由 MF 1 ⊥ x 轴,可得 M   ,∴| MF 1 |=   .由sin∠ MF 2 F 1 =   ,可得cos∠ MF 2 F 1 =   =   ,又tan∠ MF 2 F 1 =   =   ,∴   =   ,∴ b 2 =   ac ,∵ c 2 = a 2 + b 2 ⇒ b 2 = c 2 - a 2 ,∴ c 2 - a 2 -   ac =0 ⇒ e 2 -   e -1=0,∴ e =   .故选A. 解法二:由 MF 1 ⊥ x 轴,得 M   ,∴| MF 1 |=   ,由双曲线的定义可得| MF 2 |=2 a +| MF 1 |=2 a +   ,又 sin∠ MF 2 F 1 =   =   =   ⇒ a 2 = b 2 ⇒ a = b ,∴ e =   =   .故选A. 考点一　双曲线的定义和标准方程 1. (2018天津,7,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于 x 轴的直线 与双曲线交于 A , B 两点.设 A , B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d 1 和 d 2 ,且 d 1 + d 2 =6,则双曲 线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案    C 　本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用. ∵双曲线   -   =1( a >0, b >0)的离心率为2, ∴ e 2 =1+   =4, ∴   =3,即 b 2 =3 a 2 , ∴ c 2 = a 2 + b 2 =4 a 2 , 由题意可设 A (2 a ,3 a ), B (2 a ,-3 a ), ∵   =3,∴渐近线方程为 y = ±   x , 则点 A 与点 B 到直线   x - y =0的距离分别为 d 1 =   =   a , d 2 =   =   a ,又 ∵ d 1 + d 2 =6,∴   a +   a =6,解得 a =   ,∴ b 2 =9.∴双曲线的方程为   -   =1,故选C. 解题关键 　利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点 A 与点 B 的坐标是求解本题的关键. 方法归纳 　求双曲线标准方程的方法 (1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出 a , b 的值,即可求得方程. (2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条 件构造关于 a , b 的方程(组),解得 a , b 的值,即可求得方程. 2. (2015广东,7,5分)已知双曲线 C :   -   =1的离心率 e =   ,且其右焦点为 F 2 (5,0),则双曲线 C 的方 程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案    C　 由已知得   解得   故 b =3,从而所求的双曲线方程为   -   =1,故选C. 3. (2017天津,5,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左焦点为 F ,离心率为   .若经过 F 和 P (0,4) 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案    B　 本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程. 由离心率为   可知 a = b , c =   a ,所以 F (-   a ,0),由题意可知 k PF =   =   =1,所以   a =4, 解得 a =2   ,所以双曲线的方程为   -   =1,故选B. 方法总结　 求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构 造关于参数 a , b 的方程组,从而解方程组求出参数 a 和 b 的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满 足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程. 4. (2016天津,6,5分)已知双曲线   -   =1( b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆 与双曲线的两条渐近线相交于 A , B , C , D 四点,四边形 ABCD 的面积为2 b ,则双曲线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案    D 　设 A ( x 0 , y 0 ),不妨令其在第一象限, 由题意得   可得   =   ,   =   ×   =   , 结合2 x 0 ·2 y 0 =2 b ,可得 b 2 =12. 所以双曲线的方程为   -   =1.故选D. 5 .(2015天津,6,5分)已知双曲线   -   =1( a >0, b >0)的一条渐近线过点(2,   ),且双曲线的一个焦 点在抛物线 y 2 =4   x 的准线上,则双曲线的方程为   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案    D 　由题意知点(2,   )在渐近线 y =   x 上,所以   =   ,又因为抛物线的准线为 x =-   ,所 以 c =   ,故 a 2 + b 2 =7,所以 a =2, b =   .故双曲线的方程为   -   =1.选D. 6. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线 C 的离心率为2,焦点为 F 1 、 F 2 ,点 A 在 C 上.若| F 1 A |=2| F 2 A |,则 cos∠ AF 2 F 1 =(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　由题意得   解得| F 2 A |=2 a ,| F 1 A |=4 a , 又由已知可得   =2,所以 c =2 a ,即| F 1 F 2 |=4 a , ∴cos∠ AF 2 F 1 =   =   =   .故选A. 考点二　双曲线的几何性质 1 .(2018浙江,2,4分)双曲线   - y 2 =1的焦点坐标是   (　　) A.(-   ,0),(   ,0)　    B.(-2,0),(2,0) C.(0,-   ),(0,   )　    D.(0,-2),(0,2) 答案    B　 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质. ∵ a 2 =3, b 2 =1,∴ c =   =2.又∵焦点在 x 轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0). 易错警示　 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在 x 轴上还是 y 轴上,容易判断错误; (2)双曲线与椭圆的标准方程中 a , b , c 的关系式容易混淆. 2 .(2016浙江,7,5分)已知椭圆 C 1 :   + y 2 =1( m >1)与双曲线 C 2 :   - y 2 =1( n >0)的焦点重合, e 1 , e 2 分别 为 C 1 , C 2 的离心率,则   (　　) A. m > n 且 e 1 e 2 >1　    B. m > n 且 e 1 e 2 <1 C. m < n 且 e 1 e 2 >1　    D. m < n 且 e 1 e 2 <1 答案    A 　在椭圆中, a 1 = m , c 1 =   , e 1 =   . 在双曲线中, a 2 = n , c 2 =   , e 2 =   . 因为 c 1 = c 2 , 所以 n 2 = m 2 -2. 从而   ·   =   =   , 令 t = m 2 -1,则 t >1,   ·   =   >1,即 e 1 e 2 >1.结合图形易知 m > n ,故选A. 思路分析 　根据焦点重合可得 m 2 与 n 2 之间的关系,进而建立    关于 m 的解析式,然后判定范围 即可. 评析 　本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力. 3. (2014山东,10,5分)已知 a > b >0,椭圆 C 1 的方程为   +   =1,双曲线 C 2 的方程为   -   =1, C 1 与 C 2 的离心率之积为   ,则 C 2 的渐近线方程为   (　　) A. x ±   y =0　    B.   x ± y =0 C. x ± 2 y =0　    D.2 x ± y =0 答案    A 　设椭圆 C 1 和双曲线 C 2 的离心率分别为 e 1 和 e 2 ,则 e 1 =   , e 2 =   .因为 e 1 · e 2 =   ,所以   =   ,即   =   ,∴   =   . 故双曲线的渐近线方程为 y = ±   x = ±   x ,即 x ±   y =0. 4. (2014重庆,8,5分)设 F 1 、 F 2 分别为双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦点,双曲线上存在一点 P 使得| PF 1 |+| PF 2 |=3 b ,| PF 1 |·| PF 2 |=   ab ,则该双曲线的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.3 答案    B　 设| PF 1 |= m ,| PF 2 |= n ,依题意不妨设 m > n >0, 于是   ∴ m · n =   ·   ·   ⇒ m =3 n   . ∴ a = n , b =   n ⇒ c =   n , ∴ e =   ,选B. 评析 　本题考查双曲线的定义及性质,依据条件列出关系式后,若直接求   ,则运算量很大,改 为利用| PF 1 |与| PF 2 |的关系求解,巧妙转化,会降低运算难度. 5. (2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线   -   =1( a >0, b >0)的右焦点 F ( c ,0)到一 条渐近线的距离为   c ,则其离心率的值是 　　　     . 答案 　2 解析　 本题考查双曲线的性质. 双曲线的一条渐近线方程为 bx - ay =0,则 F ( c ,0)到这条渐近线的距离为   =   c ,∴ b =   c ,∴ b 2 =   c 2 ,又 b 2 = c 2 - a 2 ,∴ c 2 =4 a 2 ,∴ e =   =2. 6. (2017北京,9,5分)若双曲线 x 2 -   =1的离心率为   ,则实数 m = 　　　     . 答案 　2 解析　 本题考查双曲线的性质. 由题意知, a 2 =1, b 2 = m . ∵ e =   =   =   =   ,∴ m =2. 7.( 2016北京,13,5分)双曲线   -   =1( a >0, b >0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA , OC 所在的直 线,点 B 为该双曲线的焦点.若正方形 OABC 的边长为2,则 a = 　　　     . 答案 　2 解析　 由 OA 、 OC 所在直线为渐近线,且 OA ⊥ OC ,知两条渐近线的夹角为90 ° ,从而双曲线为等 轴双曲线,则其方程为 x 2 - y 2 = a 2 . OB 是正方形的对角线,且点 B 是双曲线的焦点,则 c =2   ,根据 c 2 =2 a 2 可得 a =2. 评析 　本题考查等轴双曲线及其性质. 8. (2015湖南,13,5分)设 F 是双曲线 C :   -   =1的一个焦点.若 C 上存在点 P ,使线段 PF 的中点恰为 其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 　　　     . 答案        解析 　不妨设 F 为左焦点(- c ,0),点 P 在第一象限,因为线段 PF 的中点恰为双曲线 C 虚轴的一个端 点,所以由中点坐标公式得 P ( c ,2 b ),又 P 在双曲线 C 上,∴   -   =1,∴   =5,∴ e =   =   . 9. (2016山东,13,5分)已知双曲线 E :   -   =1( a >0, b >0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, AB , CD 的 中点为 E 的两个焦点,且2| AB |=3| BC |,则 E 的离心率是 　　　     . 答案 　2 解析 　由已知得| AB |=| CD |=   ,| BC |=| AD |=| F 1 F 2 |=2 c . 因为2| AB |=3| BC |,所以   =6 c , 又 b 2 = c 2 - a 2 , 所以2 e 2 -3 e -2=0,解得 e =2,或 e =-   (舍去). 评析 　本题考查了双曲线的基本性质,利用2| AB |=3| BC |和 b 2 = c 2 - a 2 构造关于离心率 e 的方程是求 解的关键. 10. (2017山东,14,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线   -   =1( a >0, b >0)的右支与焦点为 F 的 抛物线 x 2 =2 py ( p >0)交于 A , B 两点.若| AF |+| BF |=4| OF |,则该双曲线的渐近线方程为 　　　     . 答案      y = ±   x 解析 　本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 因为4| OF |=| AF |+| BF |, 所以4 ×   = y 1 +   + y 2 +   , 即 y 1 + y 2 = p ①. 由   消去 x , 得 a 2 y 2 -2 pb 2 y + a 2 b 2 =0, 所以 y 1 + y 2 =   ②. 由①②可得   =   ,故双曲线的渐近线方程为 y = ±   x . 思路分析 　由抛物线的定义和| AF |+| BF |=4| OF |可得 y 1 + y 2 的值(用 p 表示).再联立双曲线和抛物 线的方程,消去 x 得关于 y 的一元二次方程,由根与系数的关系得 y 1 + y 2 .从而得   的值,进而得渐近 线方程. 解题关键 　求渐近线方程的关键是求   的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到| AF |、| BF |为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又 A 、 B 为两曲线的交点,因此应联立它们的方程 求解.这样利用 y 1 + y 2 这个整体来建立等量关系便可求解. 考点一　双曲线的定义和标准方程 (2013广东,7,5分)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F (3,0),离心率等于   ,则 C 的方程是   (　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 C组    教师专用题组 答案    B 　由右焦点为 F (3,0)可知 c =3,又因为离心率等于   ,所以   =   ,所以 a =2.由 c 2 = a 2 + b 2 知 b 2 =5,故双曲线 C 的方程为   -   =1,故选B. 考点二　双曲线的几何性质 1. (2015四川,5,5分)过双曲线 x 2 -   =1的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线 于 A , B 两点,则| AB |=   (　　) A.   　    B.2   　    C.6　    D.4   答案    D 　双曲线 x 2 -   =1的右焦点为 F (2,0), 其渐近线方程为   x ± y =0. 不妨设 A (2,2   ), B (2,-2   ),所以| AB |=4   ,故选D. 2. (2015湖北,8,5分)将离心率为 e 1 的双曲线 C 1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b ( a ≠ b )同时增加 m ( m >0) 个单位长度,得到离心率为 e 2 的双曲线 C 2 ,则   (　　) A.对任意的 a , b , e 1 > e 2 B.当 a > b 时, e 1 > e 2 ;当 a < b 时, e 1 < e 2 C.对任意的 a , b , e 1 < e 2 D.当 a > b 时, e 1 < e 2 ;当 a < b 时, e 1 > e 2 答案    D 　依题意有 e 1 =   =   , e 2 =   =   . 而   -   =   , ∵ a >0, b >0, m >0, ∴当 a > b 时,   <   ,有 e 1 < e 2 ; 当 a < b 时,   >   ,有 e 1 > e 2 .故选D. 3. (2015重庆,10,5分)设双曲线   -   =1( a >0, b >0)的右焦点为 F ,右顶点为 A ,过 F 作 AF 的垂线与 双曲线交于 B , C 两点,过 B , C 分别作 AC , AB 的垂线,两垂线交于点 D .若 D 到直线 BC 的距离小于 a +   ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是   (　　) A.(-1,0) ∪ (0,1)　    B.(- ∞ ,-1) ∪ (1,+ ∞ ) C.(-   ,0) ∪ (0,   )　    D.(- ∞ ,-   ) ∪ (   ,+ ∞ ) 答案    A 　由题知 F ( c ,0), A ( a ,0),不妨令 B 点在第一象限,则 B   , C   , k AB =   , ∵ CD ⊥ AB , ∴ k CD =   , ∴直线 CD 的方程为 y +   =   ( x - c ). 由双曲线的对称性,知点 D 在 x 轴上,得 x D =   + c , 点 D 到直线 BC 的距离为 c - x D ,∴   < a +   = a + c , b 4 < a 2 ( c - a )·( c + a )= a 2 · b 2 , b 2 < a 2 ,   <1,又 该双曲线的渐近线的斜率为   或-   ,∴双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0) ∪ (0,1).选A. 4. (2014广东,4,5分)若实数 k 满足0< k <9,则曲线   -   =1与曲线   -   =1的   (　　) A.焦距相等　     B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等　    D.离心率相等 答案    A 　∵0< k <9, ∴9- k >0,25- k >0. ∴   -   =1与   -   =1均表示双曲线, 又25+(9- k )=34- k =(25- k )+9, ∴它们的焦距相等,故选A. 5. (2013课标Ⅰ,4,5分,0.911)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的离心率为   ,则 C 的渐近线方程 为   (　　) A. y = ±   x 　    B. y = ±   x C. y = ±   x 　    D. y = ± x 答案    C 　∵   =   =   =   ,∴ C 的渐近线方程为 y = ±   x .故选C. 思路分析 　由双曲线离心率与   的关系可得   =   ,由此即可写出渐近线方程. 6. (2012课标,8,5分)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 =16 x 的准线交于 A , B 两点,| AB |=4   ,则 C 的实轴长为   (　　) A.   　    B.2   　    C.4　    D.8 答案    C 　如图, AB 为抛物线 y 2 =16 x 的准线, 由题意可得 A (-4,2   ). 设双曲线 C 的方程为 x 2 - y 2 = a 2 ( a >0),则有16-12= a 2 ,故 a =2,∴双曲线的实轴长2 a =4.故选C.   评析     本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实 轴长为2 a . 7. (2011课标,7,5分)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A , B 两点, | AB |为 C 的实轴长的2倍,则 C 的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.2　    D.3 答案    B　 不妨设双曲线 C 为   -   =1( a >0, b >0),并设 l 过 F 2 ( c ,0)且垂直于 x 轴,则易求得| AB |=   , ∴   =2 × 2 a , b 2 =2 a 2 , ∴离心率 e =   =   =   ,故选B. 错因分析　 将| AB |求错或者将实轴长视作 a 是致错的主要原因. 评析     本题主要考查双曲线的方程、离心率和实轴等几何性质,属中等难度题目. 8 .(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线   -   =1的焦距是 　　　     . 答案 　2   解析 　由   -   =1,得 a 2 =7, b 2 =3,所以 c 2 =10, c =   ,所以2 c =2   . 9. (2015山东,15,5分)平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C 1 :   -   =1( a >0, b >0)的渐近线与抛物线 C 2 : x 2 =2 py ( p >0)交于点 O , A , B .若△ OAB 的垂心为 C 2 的焦点,则 C 1 的离心率为 　　　     . 答案        解析　 设点 A 在点 B 左侧,抛物线 C 2 的焦点为 F ,则 F   .由   和   分别解得 A   , B   . ∵ F 为△ OAB 的垂心, ∴ AF ⊥ OB , ∴ k AF · k OB =-1, 即   ·   =-1 ⇒ 4 b 2 =5 a 2 ⇒ 4( c 2 - a 2 )=5 a 2 ⇒   =   , ∴ e =   =   . 10 .(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线 C :   - y 2 =1( a >0)的右焦点为 F ,点 A , B 分别在 C 的两条渐 近线上, AF ⊥ x 轴, AB ⊥ OB , BF ∥ OA ( O 为坐标原点). (1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P ( x 0 , y 0 )( y 0 ≠ 0)的直线 l :   - y 0 y =1与直线 AF 相交于点 M ,与直线 x =   相交于点 N . 证明:当点 P 在 C 上移动时,   恒为定值,并求此定值.   解析　 (1)设 F ( c ,0),因为 b =1,所以 c =   , 直线 OB 的方程为 y =-   x ,直线 BF 的方程为 y =   ( x - c ),解得 B   . 又直线 OA 的方程为 y =   x , 则 A   , k AB =   =   . 又因为 AB ⊥ OB ,所以   ·   =-1, 解得 a 2 =3, 故双曲线 C 的方程为   - y 2 =1. (2)由(1)知 a =   ,则直线 l 的方程为   - y 0 y =1( y 0 ≠ 0), 即 y =   . 因为直线 AF 的方程为 x =2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M   ;直线 l 与直线 x =   的交点为 N   , 则   =   =   =   ·   . 因为 P ( x 0 , y 0 )是 C 上一点, 则   -   =1,代入上式得   =   ·   =   ·   =   , 所求定值为   =   =   . 考点一　双曲线的定义和标准方程 1. (2018河南洛阳尖子生4月联考,8)设 F 1 、 F 2 分别为双曲线   -   =1的左、右焦点,过 F 1 引圆 x 2 + y 2 =9的切线 F 1 P 交双曲线的右支于点 P , T 为切点, M 为线段 F 1 P 的中点, O 为坐标原点,则| MO |-| MT | 等于   (　　) A.4　    B.3　    C.2　    D.1 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    D　 连接 PF 2 , OT ,则有| MO |=   | PF 2 |=   (| PF 1 |-2 a )=   (| PF 1 |-6)=   | PF 1 |-3,| MT |=   ·| PF 1 |-| F 1 T |=   | PF 1 |-   =   | PF 1 |-4,于是有| MO |-| MT |=   -   =1,故选D. 2. (2018安徽淮南三校1月联考,11)已知双曲线   -   =1右焦点为 F , P 为双曲线左支上一点,点 A (0,   ),则△ APF 周长的最小值为   (　　) A.4+   　    B.4(1+   ) C.2(   +   )　    D.   +3   答案    B 　由题意知 F (   ,0),设左焦点为 F 0 ,则 F 0 (-   ,0),由题可知△ APF 的周长 l 为| PA |+| PF |+ | AF |,而| PF |=2 a +| PF 0 |,∴ l =| PA |+| PF 0 |+2 a +| AF | ≥ | AF 0 |+| AF |+2 a =   +   +2 × 2=4   +4=4(   +1),当且仅当 A , F 0 、 P 三点共线时取得“=”,故选B. 3. (2017湖北黄冈二模,5)已知双曲线 x 2 -   =1的左,右焦点分别为 F 1 , F 2 ,双曲线的离心率为 e ,若双 曲线上存在一点 P 使   = e ,则   ·   的值为   (　　) A.3　    B.2　    C.-3　    D.-2 答案    B 　由题意及正弦定理得   =   = e =2,∴| PF 1 |=2| PF 2 |,由双曲线的定义知| PF 1 |-| PF 2 |=2,∴| PF 1 |=4,| PF 2 |=2,又| F 1 F 2 |=4,由余弦定理可知cos∠ PF 2 F 1 =   =   =   , ∴   ·   =|   |·|   |cos∠ PF 2 F 1 =2 × 4 ×   =2.故选B. 4. (2017河南新乡二模,7)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点为 F ,点 B 是虚轴的一个端点, 线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A ,若   =2   ,且|   |=4,则双曲线 C 的方程为(　　) A.   -   =1　    B.   -   =1 C.   -   =1　    D.   -   =1 答案    D 　不妨设 B (0, b ),由   =2   , F ( c ,0),可得 A   ,代入双曲线 C 的方程可得   ×   -   = 1,即   ·   =   ,∴   =   ,① 又|   |=   =4, c 2 = a 2 + b 2 , ∴ a 2 +2 b 2 =16,② 由①②可得, a 2 =4, b 2 =6, ∴双曲线 C 的方程为   -   =1,故选D. 5. (2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知 F 1 、 F 2 分别是双曲线 x 2 -   =1( b >0)的左、右焦点, A 是双曲线上在第一象限内的点,若| AF 2 |=2且∠ F 1 AF 2 =45 ° ,延长 AF 2 交双曲线的右支于点 B ,则△ F 1 AB 的面积等于 　　　     . 答案　 4 解析　 由题意知 a =1,由双曲线定义知| AF 1 |-| AF 2 |=2 a =2,| BF 1 |-| BF 2 |=2 a =2,∴| AF 1 |=2+| AF 2 |=4,| BF 1 | =2+| BF 2 |.由题意知| AB |=| AF 2 |+| BF 2 |=2+| BF 2 |,∴| BA |=| BF 1 |,∴△ BAF 1 为等腰三角形,∵∠ F 1 AF 2 =45 ° ,∴∠ ABF 1 =90 ° ,∴△ BAF 1 为等腰直角三角形.∴| BA |=| BF 1 |=   | AF 1 |=   × 4=2   .∴   =   | BA |·| BF 1 |=   × 2   × 2   =4.   考点二　双曲线的几何性质 1. (2018河南4月适应性测试,9)已知 F 1 、 F 2 分别是双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦点, P 是 双曲线上一点,若| PF 1 |+| PF 2 |=6 a ,且△ PF 1 F 2 的最小内角为   ,则双曲线的渐近线方程为   (　　) A. y = ± 2 x 　    B. y = ±   x C. y = ±   x 　    D. y = ±   x 答案    D 　不妨设 P 为双曲线右支上一点,则| PF 1 |>| PF 2 |,由双曲线的定义得| PF 1 |-| PF 2 |=2 a ,又| PF 1 |+| PF 2 |=6 a ,所以| PF 1 |=4 a ,| PF 2 |=2 a .又因为   所以∠ PF 1 F 2 为最小内角,故∠ PF 1 F 2 =   . 由余弦定理,可得   =   ,即(   a - c ) 2 =0,所以 c =   a ,则 b =   a ,所以双曲线的渐 近线方程为 y = ±   x ,故选D. 2. (2018山东泰安2月联考,11)已知双曲线 C 1 :   -   =1( a >0, b >0),圆 C 2 : x 2 + y 2 -2 ax +   a 2 =0,若双曲线 C 1 的一条渐近线与圆 C 2 有两个不同的交点,则双曲线 C 1 的离心率的范围是   (　　) A.   　    B.   　    C.(1,2)　    D.(2,+ ∞ ) 答案    A 　由双曲线方程可得其渐近线方程为 y = ±   x ,即 bx ± ay =0,圆 C 2 : x 2 + y 2 -2 ax +   a 2 =0可化为 ( x - a ) 2 + y 2 =   a 2 ,圆心 C 2 的坐标为( a ,0),半径 r =   a ,由双曲线 C 1 的一条渐近线与圆 C 2 有两个不同的 交点,得   <   a ,即 c >2 b ,即 c 2 >4 b 2 ,又知 b 2 = c 2 - a 2 ,所以 c 2 >4( c 2 - a 2 ),即 c 2 <   a 2 ,所以 e =   <   ,又 知 e >1,所以双曲线 C 1 的离心率的取值范围为   ,故选A. 3. (2016河南中原名校3月联考,6)过双曲线   -   =1( a >0, b >0)的右焦点与对称轴垂直的直线与 渐近线交于 A , B 两点,若△ OAB 的面积为   ,则双曲线的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   答案    D 　由题意可求得| AB |=   ,所以 S △ OAB =   ×   × c =   ,整理得   =   ,即 e =   ,故选 D. 4. (2017福建龙岩二模,11)已知离心率为   的双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左,右焦点分别为 F 1 , F 2 , M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点,且 OM ⊥ MF 2 , O 为坐标原点,若   =16,则双曲线的实 轴长是   (　　) A.32　    B.16　    C.84　    D.4 答案    B 　由题意知 F 2 ( c ,0),不妨令点 M 在渐近线 y =   x 上,由题意可知| F 2 M |=   = b ,所以| OM |=   = a .由   =16,可得   ab =16,即 ab =32,又 a 2 + b 2 = c 2 ,   =   ,所以 a =8, b =4, c =4   ,所以 双曲线 C 的实轴长为16.故选B. 5. (2018河南安阳二模,14)已知焦点在 x 轴上的双曲线   +   =1,它的焦点到渐近线的距离 的取值范围是 　　　     . 答案 　(0,2) 解析　 对于焦点在 x 轴上的双曲线   -   =1( a >0, b >0),它的焦点( c ,0)到渐近线 bx - ay =0的距离为   = b .本题中,双曲线   +   =1即   -   =1,其焦点在 x 轴上,则   解得4< m <8,则焦点到渐近线的距离 d =   ∈(0,2). 温馨提醒 　由双曲线的对称性可知双曲线的两焦点到两条渐近线的距离都相等. 6. (2018福建六校4月联考,15)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点为 F ,左顶点为 A ,以 F 为 圆心, FA 为半径的圆交 C 的右支于 P , Q 两点,△ APQ 的一个内角为60 ° ,则双曲线 C 的离心率为      　　     . 答案        解析 　由于双曲线和圆都关于 x 轴对称,又△ APQ 的一个内角为60 ° ,所以△ APQ 为正三角形,则 ∠ PFx =60 ° ,所以 x P = c +( a + c )cos 60 ° =   , y P =( a + c )sin 60 ° =   ,即 P   ,代入 双曲线方程   -   =1,整理得3 e 2 - e -4=0,解得 e =   ,故答案为   . B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:35分钟　　分值:50分) 一、选择题(每题5分,共35分) 1. (2018山西太原五中4月月考,11)已知 F 1 、 F 2 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦点,过 F 1 的直线 l 与双曲线的左支交于点 A ,与右支交于点 B ,若| AF 1 |=2 a ,∠ F 1 AF 2 =   ,则   =   (　　) A.1　    B.   　    C.   　    D.   答案    B 　如图所示,由双曲线定义可知| AF 2 |-| AF 1 |=2 a .   又| AF 1 |=2 a ,所以| AF 2 |=4 a ,因为∠ F 1 AF 2 =   π,所以   =   | AF 1 |·| AF 2 |·sin∠ F 1 AF 2 =   × 2 a × 4 a ×   = 2   a 2 . 设| BF 2 |= m ,由双曲线定义可知| BF 1 |-| BF 2 |=2 a ,所以| BF 1 |=2 a +| BF 2 |,又知| BF 1 |=2 a +| BA |,所以| BA |=| BF 2 |.又知∠ BAF 2 =   ,所以△ BAF 2 为等边三角形,边长为4 a ,所以   =   | AB | 2 =   × (4 a ) 2 =4   a 2 , 所以   =   =   ,故选B. 解题关键　 利用双曲线定义得| BF 1 |-| BF 2 |=2 a ,进而结合| BF 1 |=2 a +| BA |得出| BA |=| BF 2 |是求解本题 的关键. 思路分析　 利用双曲线定义及| AF 1 |=2 a 求得| AF 2 |,从而利用三角形面积公式求出   ;在△ BF 1 F 2 中,利用双曲线定义得| BA |=| BF 2 |,从而得△ ABF 2 为等边三角形,进一步可求得   ,最后得面 积的比值. 2. (2018广东六校4月联考,11)已知点 F 为双曲线 E :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点,直线 y = kx ( k >0)与 E 交于不同象限内的 M , N 两点,若 MF ⊥ NF ,设∠ MNF = β ,且 β ∈   ,则该双曲线的离心率的取 值范围是   (　　) A.[   ,   +   ]　    B.[2,   +1] C.[2,   +   ]　    D.[   ,   +1] 答案    D     如图,设左焦点为 F ',连接 MF '、 NF ',令| MF |= r 1 ,| MF '|= r 2 ,则| NF |=| MF '|= r 2 ,由双曲线定义 可知 r 2 - r 1 =2 a ①,∵点 M 与点 N 关于原点对称,且 MF ⊥ NF ,∴| OM |=| ON |=| OF |= c ,∴   +   =4 c 2 ②,由 ①②得 r 1 r 2 =2( c 2 - a 2 ),又知 S △ MNF =2 S △ MOF .∴   r 1 r 2 =2·   c 2 ·sin 2 β ,∴ c 2 - a 2 = c 2 ·sin 2 β ,∴ e 2 =   ,又∵ β ∈   ,∴sin 2 β ∈   ,∴ e 2 =   ∈[2,(   +1) 2 ]. 又 e >1,∴ e ∈[   ,   +1],故选D.   解题关键 　利用 S △ MNF =2 S △ MOF 将 e 2 用含 β 的三角函数式表示出来是解题的关键. 一题多解 　由双曲线的对称性与已知条件可知| OM |=| ON |=| OF |= c ,∴| MN |=2 c .在Rt△ NMF 中,| MF |=2 c ·sin β ,| NF |=2 c ·cos β ,∴|| MF |-| NF ||=2 c |sin β -cos β |=2 a ,∴ e =   =   =   ,∵ β ∈   ,∴ β +   ∈   ,∴cos   ∈   ,∴   ·   ∈   ,∴ e =   ∈[   ,   +1].故选D. 3. (2018河北衡水中学二模,12)已知双曲线 C : x 2 -   =1( b >0)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,点 P 是双 曲线 C 上的任意一点,过点 P 作双曲线 C 的两条渐近线的平行线,分别与两条渐近线交于 A , B 两 点,若四边形 PAOB ( O 为坐标原点)的面积为   ,且   ·   >0,则点 P 的横坐标的取值范围为   (　　) A.   ∪   B.   C.   ∪   D.   答案    A 　由题易知四边形 PAOB 为平行四边形,且不妨设双曲线 C 的渐近线 OA : bx - y =0, OB : bx + y =0.设点 P ( m , n ),则直线 PB 的方程为 y - n = b ( x - m ),且点 P 到渐近线 OB 的距离为 d =   .由   解得   ∴ B     ,     ,∴| OB |=   =   | bm - n |,∴ S ▱ PAOB =| OB |· d =   .又∵ m 2 -   =1,∴ b 2 m 2 - n 2 = b 2 ,∴ S ▱ PAOB =   b .又 S ▱ PAOB =   ,∴ b =2   .∴ 双曲线 C 的方程为 x 2 -   =1,∴ c =3,∴ F 1 (-3,0), F 2 (3,0),∴   ·   =(-3- m )(3- m )+ n 2 >0,即 m 2 -9+ n 2 >0, 又∵ m 2 -   =1,∴ m 2 -9+8( m 2 -1)>0,解得 m >   或 m <-   ,∴点 P 的横坐标的取值范围为   ∪   ,故选A. 解题关键 　设出点 P ,并表示出 S ▱ PAOB ,进而列方程求得 b 的值是解题的关键. 知识拓展 　点 P 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)上任意一点,过点 P 作两条渐近线的平行线,分别与 两渐近线交于 A , B 两点,则平行四边形 PAOB 的面积为定值   ab . 4. (2017安徽安庆二模,6)已知 F 1 、 F 2 为双曲线的焦点,过 F 2 作垂直于实轴的直线交双曲线于 A 、 B 两点, BF 1 交 y 轴于点 C ,若 AC ⊥ BF 1 ,则双曲线的离心率为   (　　) A.   　    B.   　    C.2   　    D.2   答案    B　 不妨设双曲线方程为   -   =1( a >0, b >0),由已知,取 A 点坐标为   ,取 B 点坐标为   ,则 C 点坐标为   ,由 AC ⊥ BF 1 知   ·   =0,又 b 2 = c 2 - a 2 ,可得3 c 4 -10 c 2 a 2 +3 a 4 =0,则有3 e 4 -10 e 2 +3=0,又 e >1,所以 e =   .故选B. 思路分析 　根据题意写出点 A 、 B 、 C 的坐标,根据 AC ⊥ BF 1 得   ·   =0,结合 b 2 = c 2 - a 2 及 e =   得 关于 e 的方程,解方程可得 e 的值. 5. (2018河北五个一联盟联考,10)设双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左焦点为 F ,直线4 x -3 y +20=0 过点 F 且与双曲线 C 在第二象限的交点为 P ,| OP |=| OF |,其中 O 为原点,则双曲线 C 的离心率为   (　　) A.5　    B.   　    C.   　    D.   答案    A 　∵直线4 x -3 y +20=0过双曲线 C 的左焦点, ∴令 y =0,得 x =-5,即 F (-5,0), ∴ c =5. 又知点 O 到直线4 x -3 y +20=0的距离 d =   =4. 设 PF 的中点为 M ,右焦点为 F 0 , 连接 OM ,则 OM ⊥ PF ,且| OM |=4, ∴| PF |=6, 连接 PF 0 , ∵ M 为 PF 的中点, O 为 FF 0 的中点, ∴ OM ∥ PF 0 且| OM |=   | PF 0 |, 则| PF 0 |=2| OM |=8, 由双曲线的定义可知| PF 0 |-| PF |=2 a , 即2 a =8-6=2,∴ a =1. ∴双曲线 C 的离心率 e =   =   =5.故选A. 解题关键 　想到作焦点三角形,进而利用双曲线的定义是解题的关键. 6. (2016河北石家庄二模,9)已知直线 l 与双曲线 C : x 2 - y 2 =2的两条渐近线分别交于 A , B 两点,若 AB 的中点在该双曲线上, O 为坐标原点,则△ AOB 的面积为   (　　) A.   　    B.1　    C.2　    D.4 答案    C 　由题意得,双曲线的两条渐近线方程为 y = ± x ,设 A ( x 1 , x 1 ), B ( x 2 ,- x 2 ),则 OA ⊥ OB , AB 的中 点为   ,又因为 AB 的中点在双曲线上,所以   -   =2,化简得 x 1 x 2 =2,所 以 S △ AOB =   | OA |·| OB |=   |   x 1 |·|   x 2 |=| x 1 x 2 |=2,故选C. 知识延伸　 等轴双曲线的性质:①离心率 e =   ;②渐近线互相垂直;③等轴双曲线上任意一点 到对称中心的距离是到两焦点距离的等比中项. 7.( 2017福建福州3月质检,11)已知双曲线 E :   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ,| F 1 F 2 |=6, P 是 E 右支上的一点, PF 1 与 y 轴交于点 A ,△ PAF 2 的内切圆与边 AF 2 的切点为 Q .若| AQ |=   ,则 E 的离心率是   (　　) A.2   　    B.   　    C.   　    D.   答案    C　 如图所示,设 PF 1 、 PF 2 分别与△ PAF 2 的内切圆切于 M 、 N ,依题意,有| MA |=| AQ |,| NP |=| MP |,| NF 2 |=| QF 2 |,| AF 1 |=| AF 2 |=| QA |+| QF 2 |,2 a =| PF 1 |-| PF 2 |=(| AF 1 |+| MA |+| MP |)-(| NP |+| NF 2 |)=2| QA |=2   ,故 a =   ,从而 e =   =   =   ,故选C. 思路分析　 画出符合题意的图形,根据双曲线的定义及切线长定理可得 a 的值,进而可求得离 心率 e 的值. 二、填空题(每题5分,共15分) 8. (2018山西太原4月联考,14)已知双曲线 C :   -   =1的右焦点为 F ,过点 F 向双曲线的一条渐近 线引垂线,垂足为 M ,再反向延长交另一条渐近线于 N ,若2   =   ,则双曲线 C 的离心率 e = 　      . 答案        解析 　如图所示. 渐近线 OM 的方程为 bx + ay =0,右焦点为 F ( c ,0),因此,| FM |=   = b .过点 F 作 FP ⊥ ON ,垂足为 P , 则| FP |=| FM |= b .又因为2   =   ,所以| FN |=2 b ,在直角三角形 FPN 中,sin∠ FNP =   =   =   ,所 以∠ FNP =   ,故在直角三角形 OMN 中,∠ MON =   ,所以∠ FON =   ,∴   =   ,即 a =   b ,所以 c =   =2 b ,所以双曲线的离心率为 e =   =   =   . 一题多解 　由2   =   知,   =   .由渐近线的对称性知∠ NOF =∠ MOF ,即 OF 为∠ NOM 的角 平分线,则cos∠ NOM =   =   =   ,所以∠ NOM =   ,∠ NOF =∠ MOF =   .因为双曲线 C 的渐 近线方程为 y = ±   x ,所以   =tan   =   ,所以 e =   =   =   . 9 .(2018河南天一大联考(五),16)已知 F 1 (- c ,0)、 F 2 ( c ,0)为双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左、右 焦点,过双曲线 C 的左焦点的直线与双曲线 C 的左支交于 Q , R 两点( Q 在第二象限内),连接 RO ( O 为坐标原点)并延长交 C 的右支于点 P ,若| F 1 P |=| F 1 Q |,∠ F 1 PF 2 =   π,则双曲线 C 的离心率为 　　   . 答案        解析　 设| PF 1 |= x ,则| PF 2 |= x -2 a ,作 Q 关于原点对称的点 S ,连接 PS , RS , SF 1 .因为双曲线关于原点中 心对称,所以| PO |=| OR |, S 在双曲线上,所以四边形 PSRQ 是平行四边形,根据对称性知, F 2 在线段 PS 上,| F 2 S |=| QF 1 |= x ,则∠ F 1 PS =   ,根据双曲线的定义,有| F 1 S |= x +2 a ,所以在△ PF 1 S 中,由余弦定 理得( x +2 a ) 2 = x 2 +(2 x -2 a ) 2 -2· x (2 x -2 a )·   ,解得 x =   a ,所以| PF 2 |=   a ,所以在△ PF 1 F 2 中,由余弦定 理得4 c 2 =   +   -2 ×   ×   a ×   a ,整理可得 e =   =   .   思路分析 　利用双曲线的对称性构造平行四边形 PSRQ ,设| PF 1 |= x ,利用双曲线定义及余弦定理 求得 x ,在△ PF 1 F 2 中,再次利用余弦定理得到关于 a , c 的等式,从而求得离心率. 方法点拨　 求圆锥曲线的离心率主要有两种方法:(1)直接求出 a , c 的值即可求得离心率;(2)根 据已知条件得出 a , b , c 之间的关系,构造 a , c 的关系,进而得到关于 e 的一元方程,从而可解得圆锥 曲线的离心率 e . 10. (2016福建漳州二模,16)已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左、右焦点为 F 1 、 F 2 , P 为双曲线 C 右支上异于顶点的一点,△ PF 1 F 2 的内切圆与 x 轴切于点(1,0),且 P 与点 F 1 关于直线 y =-   对称, 则双曲线的方程为 　　　　　　　     . 答案      x 2 -   =1 解析     设点 A (1,0),因为△ PF 1 F 2 的内切圆与 x 轴切于点(1,0),则| PF 1 |-| PF 2 |=| AF 1 |-| AF 2 |,所以2 a =( c + 1)-( c -1),则 a =1.因为点 P 与点 F 1 关于直线 y =-   对称,所以∠ F 1 PF 2 =   ,且   =   = b ,结合| PF 1 |-| PF 2 |=2,| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 =4 c 2 =4+4 b 2 ,可得 b =2.所以双曲线的方程为 x 2 -   =1. 解题关键 　利用切线长定理及已知条件得出 a =1,并由点 P 与点 F 1 关于直线 y =-   对称,得∠ F 1 PF 2 =   是解题的关键.