江西省宜春市2020届高三5月模拟考试 数学（文） Word版含答案
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宜春市2020届高三年级模拟考试数学(文)试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合M＝{x|－2
mn>m＋n B.mn>m－n>m＋n C.m－n>m＋n＝mm D.m＋n>m－n＝mn
9.将函数(f(x)＝sin(2x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象。若g(x)为偶函数，则m的最小值为
A. B. C. D.
10.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f'(x)≤0，则必有
A.f(0)＋f(2)<2f(1) B.f(0)＋f(2)≤2f(1) C.f(0)＋f(2)≥2f(1) D.f(0)＋f(2)>2f(1)
11.已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点。以F为圆心，OF为半径作圆F，圆F与C的渐近线交于异于O的A，B两点。若|AB|＝|OF|，则C的离心率为
A. B. C. D.2
12.己知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax＋2a存在零点，则实数a的取值范围为
A.[－，e3] B.(－∞，－]∪[e3，＋∞)
C.[－，] D.(－∞，－]∪[e2，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 10 -
13.若曲线＝mx2在点(1，m)处的切线与直线x－4y＋5＝0垂直，则m＝ 。
14.在区间(－1，1)内随机取两个数m，n，则关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根的概率为 。
15.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是小a、b、c，若 ，则∠C的大小为 。
16.如图所示。某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个正四棱柱，且正四棱柱的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则正四棱柱体积的最大值为 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选做题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)等差数列{an}中，公差d≠0，a5＝14，a32＝a1a11。
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn。
18.(12分)在某市“创全国文明城市”(简称“创文”)活动中，市教育局对本市A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了200人，将调查情况进行整理后制成下表：
假设每名高中学生是否参与“创文”活动是相互独立的。
(1)若本市共8000名高中学生，估计C学校参与“创文”活动的人数；
(2)在上表中从A，B两校没有参与“创文”活动的同学中随机抽取2人，求恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率；
- 10 -
(3)在随机抽查的200名高中学生中，进行文明素养综合素质测评(满分为100分)，得到如上的频率分布直方图，其中a＝4b。求a，b的值，并估计参与测评的学生得分的中位数。(计算结果保留两位小数)。
19.(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，△PAC为正三角形，M为枝PA的中点，AB⊥AC，AC＝BC，平面PAB⊥平面PAC。
(1)求证：AB⊥平面PAC；
(2)若AC＝2，求三棱锥P－BMC的体积。
20.(12分)已知函数f(x)＝(ax－sinx－1)·ex(a∈R)，f'(x)是其导函数。
(1)当a＝1时，求f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a≥1，证明：f'(x)在区间(0，π)内至多有1个零点。
21.(12分)已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，且过点P(1，)。
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F2的直线l交椭圆C于A，B两点，过A作x轴的垂线交椭圆C与另一点Q(Q不与A，B重合)。设△ABQ的外心为G，求证为定值。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝θ0，(ρ∈R)。
(1)求曲线C的极坐标方程；
- 10 -
(2)设直线l与曲线C相交于不同的两点P1，P2，指出θ0的范围，并求的取值范围。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知a，b，c为正数，且满足a＋b＋c＝3。
(1)证明：≤3；
(2)证明：9ab＋bc＋4ac≥l2abc。
宜春市2020届高三模拟考试数学（文科）试卷
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
D
A
C
B
C
C
D
B
C
B
- 10 -
二、填空题
13． -2 14．
15．16.64
三、解答题
17.（12分）
解：（1）∵是等差数列，公差，，，
可得，，解得，，……………3分
所以的通项公式.…………………………5分
（2），…………………………9分
数列的前项和
.…………………………12分
18． （12分）
解：（1）C学校高中生的总人数为，
C学校参与“创文”活动的人数为．…………………………4分
（2）A校没有参与“创城”活动的这1人记为，B校没有参与“创文”活动的这5人分别记为，任取2人共15种情况，如下：，这15种情况发生的可能性是相等的．…………………………6分
设事件N为抽取2人中A，B两校各有1人没有参与“创文”活动，有，共5种情况．
- 10 -
则．故恰好A，B两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为．…………………………8分
（3）依题意，，所以．
又，所以，．…………………………10分
因为，所以中位数在第三组，
所以中位数为．…………………………12分
18． （12分）
证明：（1）为等边三角形，且为的中点，.
平面平面，平面平面，平面，
平面，平面，.…………………………3分
又，，、平面，平面；…………………………6分
（2），且，，.
又是边长为的等边三角形，且为的中点，则，………8分
且，的面积为.
因此，三棱锥的体积为.
…………………………12分
20．（12分）
解：（1）当时，，则，………2分
又，则在处的切线方程为：，即．……4分
（2），
又，设，，
，………………………6分
- 10 -
因，故，
又，故对恒成立，即在区间单调递增；…………8分
又，；
故当时，，此时在区间内恰好有个零点．…10分
当时，，此时在区间内没有零点；
综上结论得证．…………………………12分
21.（12分）
解：（1）由题意知，…………………………2分
将P点坐标代入椭圆方程得，解得，
所以椭圆方程为.…………………………4分
（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为0，设直线为，
代入椭圆方程得.
设，则，……………6分
所以的中点坐标为，
所以.………………8分
因为G是的外心，所以G是线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点，
的垂直平分线方程为，
令，得，即，所以，…………………………10分
- 10 -
所以，所以为定值，定值为4.……………………12分
（二）选考题：
22.（10分）
解：（1）将曲线的参数方程，消去参数，
得.…………………………2分
将及代入上式,得.…………4分
（2）依题意由知.
将代入曲线的极坐标方程,得.
设,则，.…………6分
所以.……8分
因为,所以,则,
所以的取值范围为.…………………………10分
23. （10分）
（1）证明：.
（2）证明：.
证明：（1）因为，为正数，所以，
同理可得，，……………………2分
所以，
当且仅当时，等号成立
故. …………………………5分
- 10 -
（2）要证，只需证
即证，
即证，
即证.
因为，，， ………………8分
所以，
当且仅当，，时，等号成立，从而得证.
…………………………10分
- 10 -
