高考数学专题复习练习：单元质检九
单元质检九 解析几何
(时间:100分钟 满分:150分)
单元质检卷第21页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是( )
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
答案D
解析设所求直线方程为3x-4y+m=0,
由|m-1|5=3,解得m=16或m=-14.
即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
2.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
答案C
解析过原点与圆x2+(y-2)2=1相切的直线有2条;斜率为-1且与圆x2+(y-2)2=1相切的直线也有2条,且此两条切线不过原点,由此可得与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条.
3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为53c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为( )
A.52 B.352 C.32 D.35
答案C
解析由条件知,|bc|a2+b2=53c,
所以ba2+b2=53.所以4b2=5a2.
因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e=ca=32.
4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x212-y24=1的渐近线的距离为( )
A.1 B.3 C.33 D.36
答案A
解析抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x212-y24=1的渐近线x±3y=0的距离d=|2±0|1+3=1.
5.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是( )
A.33 B.22 C.14 D.12
答案D
解析由题意可知2n2=2m2+c2,又m2+n2=c2,所以m=c2.
因为c是a,m的等比中项,
所以c2=am,代入m=c2,解得e=ca=12.
6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23的直线方程是( )
A.y=-43x+3 B.x=0或y=-43x+3
C.x=0或y=43x+3 D.x=0
答案B
解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0;此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23.
当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.
因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为22-(3)2=1.
由点到直线距离公式得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.
综上,所求直线方程为x=0或y=-43x+3.
7.若直线x-y+2=0与圆C:(x-3)2+(y-3)2=4相交于A,B,则CA·CB的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.10
答案B
解析依题意,圆心C(3,3)到直线x-y+2=0的距离为|3-3+2|2=2,从而易得cos∠ACB2=22,即∠ACB2=45°,所以∠ACB=90°,所以CA·CB=0,故选B.
8.将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1>e2
B.当a>b时,e1>e2;当a
b时,e1e2〚导学号74920394〛
答案D
解析由条件知e12=c2a2=1+b2a2,e22=1+b+ma+m2,
当a>b时,b+ma+m>ba,则e12<e22,所以e1e22,所以e1>e2.
所以,当a>b时,e1e2.
9.(2016河南洛阳二模)设双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线与直线x=a2c分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,2) C.(1,2) D.(2,+∞)〚导学号74920395〛
答案B
解析双曲线x2a2-y2b2=1的两条渐近线方程为y=±bax,
当x=a2c时,y=±abc,
所以不妨令Aa2c,abc,Ba2c,-abc.
因为60°<∠AFB<90°,所以330)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=( )
A.19 B.13 C.3 D.9〚导学号74920396〛
答案A
解析由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,
则p=8,所以点M(1,4).
又双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-a,0),
所以直线AM的斜率为41+a.
由题意得41+a=1a,解得a=19.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( )
A.3 B.6 C.12 D.42〚导学号74920397〛
答案B
解析因为双曲线的离心率为2,
所以e2=c2a2=a2+b2a2=4,即b2=3a2,
所以双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±3x,代入y2=2px(p>0),
得x=23p或x=0,故xA=xB=23p,
又因为|AF|=xA+p2=23p+p2=7,所以p=6.
12.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.0,32 B.0,34
C.32,1 D.34,1〚导学号74920398〛
答案A
解析如图,取椭圆的左焦点F1,连接AF1,BF1.
由椭圆的对称性知四边形AF1BF是平行四边形,
则|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.故a=2.
不妨设M(0,b),则|3×0-4b|32+42≥45,即b≥1.
所以e=ca=1-ba2≤1-122=32.
又09,
则a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,
解得k=4.
若焦点在y轴上,即00)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为 .
答案8
解析设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.
又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4,22p.
又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以p216+12p2=36,所以p=8.
15.(2016河南洛阳二模)已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为 .
〚导学号74920399〛
答案2
解析圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径是r=1.
由圆的性质知:S四边形PACB=2S△PBC,
又因为四边形PACB的最小面积是2,
所以S△PBC的最小值为S=1=12rd(d是切线长),
所以d最小值=2.
由圆心到直线的距离就是PC的最小值,可得12+22=51+k2=5,又因为k>0,所以k=2.
16.若方程x24-t+y2t-1=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则14或t<1;
③曲线C不可能是圆;
④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则10,t-1>0且4-t≠t-1,
解得14或t<1,所以②正确;
若t=52时,该曲线表示为圆,所以③不正确;
若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得10).设抛物线W的焦点在直线AB的下方.
(1)求k的取值范围;
(2)设C为W上一点,且AB⊥AC,过B,C两点分别作W的切线,记两切线的交点为D,判断四边形ABDC是否为梯形,并说明理由.
解(1)抛物线y=x2的焦点为0,14.
由题意,得直线AB的方程为y-1=k(x-1),
令x=0,得y=1-k,即直线AB与y轴相交于点(0,1-k).
因为抛物线W的焦点在直线AB的下方,
所以1-k>14,解得k<34.
因为k>0,所以0b>0)与椭圆C2:x24+y2=1有相同的离心率,经过椭圆C2的左顶点作直线l,与椭圆C2相交于P,Q两点,与椭圆C1相交于A,B两点.
(1)若直线y=-x经过线段PQ的中点M,求直线l的方程:
(2)若存在直线l,使得PQ=13AB,求b的取值范围.
解(1)设P(-2,0),Q(x,y),则线段PQ的中点M为x-22,y2,
则x-22+y2=0,即x+y=2.
联立x+y=2,x24+y2=1,解得x=2,y=0,或x=65,y=45.
所以直线l的方程为y=0,或y-0=45-065-(-2)(x+2),化为x-4y+2=0.
(2)椭圆C2:x24+y2=1的离心率e=32.
设2c是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距,
则ca=32,又a2=b2+c2,可得a=2b,c=3b,椭圆C1的方程化为x2+4y2=4b2.
设直线l的方程为y=k(x+2),P(x3,y3),Q(x4,y4),A(x1,y1),B(x2,y2).
联立y=k(x+2),x2+4y2=4,
消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,
所以x3+x4=-16k21+4k2,x3x4=16k2-41+4k2,
|PQ|=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=41+k21+4k2.
联立y=k(x+2),x2+4y2=4b2,
消去y得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4b2=0,
所以x1+x2=-16k21+4k2,x1x2=16k2-4b21+4k2,
|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=4(1+k2)(b2+4b2k2-4k2)1+4k2.
因为PQ=13AB,所以|AB|=3|PQ|,
即3×41+k21+4k2=4(1+k2)(b2+4b2k2-4k2)1+4k2.
所以b2=1+81+4k2∈(1,9],即b∈(1,3].
所以b的取值范围是(1,3].〚导学号74920403〛
21.(12分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-3,求双曲线的离心率.
解(1)双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=±bax,
由双曲线的一条渐近线方程为y=x,
可得ba=1,解得a=b,
因为c=a2+b2=2,所以a=b=2.
由此可得双曲线方程为x22-y22=1.
(2)设A的坐标为(m,n),可得直线AO的斜率满足k=nm=-1-3,即m=3n.①
因为以点O为圆心,c为半径的圆的方程为x2+y2=c2,
所以将①代入圆的方程,得3n2+n2=c2,
解得n=12c,m=32c.
将点A32c,12c代入双曲线方程,得32c2a2-12c2b2=1,
化简得34c2b2-14c2a2=a2b2,
又因为c2=a2+b2,
所以上式化简整理得34c4-2c2a2+a4=0,
两边都除以a4,整理得3e4-8e2+4=0,
解得e2=23或e2=2,因为双曲线的离心率e>1,
所以该双曲线的离心率e=2(负值舍去).〚导学号74920404〛
22.(12分)(2016四川,文20)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P3,12在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
解(1)由已知,a=2b.
又椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P3,12,
故34b2+14b2=1,解得b2=1.
所以椭圆E的方程是x24+y2=1.
(2)设直线l的方程为y=12x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由方程组x24+y2=1,y=12x+m,得x2+2mx+2m2-2=0,①
方程①的判别式为Δ=4(2-m2).
由Δ>0,即2-m2>0,解得-2
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