备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极（最）值问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题12 函数的极（最）值问题

专题12 函数的极（最）值问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．‎ 从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.‎ ‎(一)函数的极值问题 ‎1、函数极值的概念：‎ ‎（1）极大值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极大值，记作，其中是极大值点 ‎（2）极小值：一般地，设函数在点及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有，就说是函数的一个极小值，记作，其中是极小值点，极大值与极小值统称为极值 ‎2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：‎ ‎（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 ‎（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 ‎（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值 ‎ 27‎ ‎（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 ‎ ‎3、极值点的作用：‎ ‎（1）极值点为单调区间的分界点 ‎（2）极值点是函数最值点的候选点 ‎4、在处可导，那么为的一个极值点 说明：①前提条件：在处可导 ‎ ②单向箭头：在可导的前提下，极值点导数，但是导数不能推出为的一个极值点，例如：在处导数值为0，但不是极值点 ‎ ③上述结论告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：在处不可导，但是为函数的极小值点）‎ ‎5、求极值点的步骤： ‎ ‎（1）筛选： 令求出的零点（此时求出的点有可能是极值点）‎ ‎（2）精选：判断函数通过的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点 ‎（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点 27‎ ‎6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程.‎ ‎7、对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题.但要注意检验零点能否成为极值点.‎ ‎8、极值点与函数奇偶性的联系：‎ ‎（1）若为奇函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极小（极大）值点 ‎（2）若为偶函数，则当是的极大（极小）值点时，为的极大（极小）值点 ‎（二）函数的最值问题 ‎1、函数的最大值与最小值：‎ ‎（1）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最大值点，称为函数的最大值 ‎（2）设函数的定义域为，若，使得对，均满足，那么称为函数的一个最小值点，称为函数的最小值 ‎（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点 ‎（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值.例如：，由单调性可得有最小值，但由于取不到4，所以尽管函数值无限接近于,但就是达不到.没有最大值.）‎ ‎（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如，其最大值点为，有无穷多个.‎ ‎2．“最值”与“极值”的区别和联系 如图为一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是 27‎ ‎（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．‎ ‎（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；‎ ‎（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个.‎ ‎（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．‎ ‎3、结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．‎ ‎4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点.‎ ‎5、利用导数求函数的最值步骤:‎ 一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：‎ ‎（1）求在内的极值；‎ ‎（2）将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值 ‎6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础 ‎ ‎7、在比较的过程中也可简化步骤：‎ ‎（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 ‎（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 ‎8、最值点的作用 ‎（1）关系到函数的值域 ‎（2）由最值可构造恒成立的不等式：‎ 例如：，可通过导数求出，由此可得到对于任意的，均有，即不等式.‎ ‎【经典例题】‎ 例1【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ 27‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 例2【2019届湖北省黄冈、黄石等八市高三3月联考】已知函数 ‎（1）当时，求的极值；‎ ‎（2）若有两个不同的极值点 ，求的取值范围;‎ ‎【答案】（1）极小值（2）‎ 故在处有极小值； ‎ ‎（2）依题意可得，有两个不同的实根.‎ 设，则有两个不同的实根,，‎ 若，则，此时为增函数，故至多有1个实根，不符合要求；‎ 若，则当时，，当时，，‎ 故此时在上单调递增，在上单调递减，的最大值为 ‎, ‎ 27‎ 故为的极小值点，为的极大值点, 符合要求. ‎ 综上所述：的取值范围为.（分离变量的方法也可以）‎ 点睛：本题考查了函数极值点问题，利用导数知识对其求导，当遇到含有参量的时候可以采用分离参量的方法，也可以带着参量一起运算，分离参量后求出直线与曲线的交点问题即可，本题没有分离参量，进行的对参量的分类讨论，本题有一定难度 ‎ 例3【2019届江苏省淮安市等四市高三上一模】已知函数．‎ ‎⑴当时，求函数的极值；‎ ‎⑵若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，函数取得极小值为，无极大值；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1），通过求导分析，得函数取得极小值为，无极大值；（2），所以，通过求导讨论，得到的取值范围是．‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为 当时，，‎ 所以 ‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，‎ 27‎ ‎ ‎ 所以，代入得：‎ ‎ ‎ 设，则 不妨设则当时，，当时，‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， ‎ 代入可得：‎ 设，则对恒成立，‎ 所以在区间上单调递增，又 所以当时，即当时, ‎ 又当时 ‎ ‎ 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；‎ 即存在使得函数上点与函数上点处切线相同．‎ 27‎ 又由得：‎ 所以单调递减，因此 所以实数的取值范围是．‎ 例4【2019届福建省厦门市高三下第一次检查（3月）】已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）讨论函数极值点的个数.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证.‎ 记，则.‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增.‎ ‎∴，即，原不等式成立.‎ ‎（2）.‎ 记 ‎（ⅰ）当时，，在上单调递增，，.‎ ‎∴存在唯一，且当时，；当.‎ ‎①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点；‎ ‎②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当 27‎ 时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点；‎ ‎（ⅲ）当时，由（1）可知，对任意，从而，而对任意.‎ ‎∴对任意.‎ 此时令，得；令，得.‎ ‎∴在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点.‎ ‎（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号.‎ 此时令，得；令得.‎ 点睛：求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值；（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值.‎ 27‎ 例5【2017北京，理19】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ 例6【2019届北京市人大附高三十月月考】已知是实数,函数 ‎（Ⅰ）若求的值及曲线在点处的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）求在区间上的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（I）首先根据导数求，再根据切线方程求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， ，比较 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值.‎ 27‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ 因为所以 当时, ‎ 所以曲线在点处的切线方程为 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, .‎ 令解得 当即 在上单调递增,从而 当即 在上单调递减,从而 当即 在上单调递减,在上单调递增,从而 综上所述, .‎ 例7【2019届北京市城六区高三一模】．已知函数 ‎(I)当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.‎ 27‎ 试题解析：（Ⅰ）当时，‎ 故 ‎ 令，得 故的单调递增区间为 ‎（Ⅱ）方法1：‎ 令 则 由，‎ ‎ 故存在，‎ ‎ 故当时，；当时，‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 27‎ 故 故，解得 ‎ 故的值为.‎ ‎（Ⅱ）方法2：的最大值为的充要条件为对任意的，且存在，使得，等价于对任意的，且存在，使得，‎ 等价于的最大值为.‎ ‎ ，‎ 令，得.‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 故的最大值为，即.‎ 例8【2019届北京市清华附中高三十月月考】已知在时取得极值,且.‎ ‎（Ⅰ）试求常数, , 的值;‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）当时, 有极大值,当时, 有极小值.‎ 27‎ 再由,‎ 所以,③‎ 联立①②③解得;‎ ‎（Ⅱ）,,‎ 当或时, ,‎ 当时, ,‎ 所以,当时, 有极大值,当时, 有极小值.‎ 例9【2019届北京市首师大附高三十月月考】已知函数 ‎（Ⅰ）若是的极小值点,求实数的取值范围及函数的极值;‎ ‎（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最大值.‎ ‎【答案】（1）极小值为,极大值为.（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论.‎ 试题解析：解: ‎ ‎（Ⅰ）若是的极小值,则列表分析如下:‎ 27‎ 所以最大值可能为或 ‎①当时,最大值为 ‎②当时,最大值为 综上所述,当时,最大值为当时,最大值为 例10【2019届陕西省榆林市二模】已知函数，.‎ ‎（1）若时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若函数既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）代入，得，求导，利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最小值；‎ ‎（2）现求导数，函数既有极大值又有极小值，等价于有两个零点，可分和两种情况分类讨论，得到函数的单调性和极值，得到函数有极大值和极小值的条件，即可求解实数的取值范围.‎ 试题解析：‎ 列表：‎ 27‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以，函数的最小值为.‎ ‎（2），定义域为，.‎ 记，，，‎ ‎①当时，，在上单调递增，‎ 故在上至多有一个零点，‎ 此时，函数在上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意；‎ ‎②当时，令，可得，列表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 极大值 若，即，，即，‎ 27‎ 且当时，，函数在上单调递减；‎ 当时，，函数在上单调递增，函数在处取极小值.‎ 由于，且 （事实上，令， ，故在上单调递增，所以）.‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用.‎ ‎【精选精练】‎ ‎1.【2019届安徽省安庆市2019届高三二模】已知函数（e是自然对数的底数）， 则f（x）的极大值为（ ）‎ A. 2e-1 B. C. 1 D. 2ln2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎ 的极大值为，选D.‎ ‎2．【2019届福建省三明市第一中学高三下开学】函数在的最小值是(　　)‎ 27‎ A. B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，‎ 令 得，或，令得，，‎ 所以在，单调递增，在单调递减，‎ ‎， .‎ 本题选择B选项.‎ ‎3.【2019届广东省茂名市五大联盟学校高三3月联考】已知函数 (其中，为自然对数的底数)在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 由，可得f(x）在区间，上单调递增；‎ 由，可得f(x)在区间上单调递减，故f(x)在x=1处取得极大值，‎ 所以若函数f(x)在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【名师点睛】反思这类型题型，首先先利用导函数的解析式，判断得出极值点存在并且只有一个并得出极值点的范围.由于极值点与参数有关，因此就需要假设，假设后，再代进行化简消元最终求得参数的取值范围.‎ 27‎ ‎4.【2019届海南省高三第二次联考】若是函数的极值点，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且是函数的极值点，所以，解得. ‎ ‎5．【2019届北京市北京19中高三十月月考】已知函数的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数在______________处取得极值.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【点睛】本题考查函数的极值的判定.本题的易错点是将看成一个极值点，要注意是可导函数在处取得极值的必要不充分条件，而本题中函数在附近单调递增.‎ ‎6．【2019届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三一模】已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：‎ ‎①；②；③；④；‎ 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】①③‎ 27‎ ‎【名师点睛】此题主要考查了导数在研究函数的极值、最值、以及单调性等中的应用，主要涉及函数求导的计算公式、法则，还有函数极值点和最值的应用等方面的知识和技能，属于中高档题型，也是常考考点.首先利用导数判断函数的单调性，由函数值大小的比较，来确定其自变量的大小，从而解决问题①②.‎ ‎7【2019届北京市清华附中高三十月月考】设函数（其中）.‎ ‎（Ⅰ）当时,求函数在时的切线方程;‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎【答案】（1）（2）当时,函数无极值,当时,函数在处取得极小值,无极大值.‎ ‎【解析】试题分析： 将代入，算出时的切线方程求导，讨论当时、当时的极值情况 解析：（Ⅰ）定义域为,‎ 时, ,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以切线方程为;‎ ‎（Ⅱ）,定义域为,‎ ‎①当时, ,函数在上为增函数,此时函数无极值;‎ 27‎ ‎②当时,令,解得,‎ 当时, ,当时, ,‎ 所以函数在处取得极小值,且极小值为,无极大值,‎ 综上,当时,函数无极值,‎ 当时,函数在处取得极小值,无极大值.‎ ‎8．【2019届北京市丰台区高三一模】已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若函数在上有极值，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，因为， ，利用点斜式方程即可求解切线的方程； ‎ ‎（Ⅱ）由，分和讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎（ⅰ）当时，对于任意，都有，‎ 27‎ 所以函数在上为增函数，没有极值，不合题意． ‎ ‎（ⅱ）当时，令，则． ‎ ‎ ‎ ‎9．【2019届江西省上饶市高三下二模】设函数（为常数， 为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在内存在三个极值点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为（2）. ‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接求导，再求函数的单调区间. (2)第（2）问，对k进行分类讨论，求出每一种情况下函数的单调性，再分析函数在内存在三个极值点的条件从而得到实数k的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎(1) 函数的定义域为.. ‎ 由可得，所以当时， ；当时， . ‎ 27‎ 故的单调递减区间为，单调递增区间为 ‎ ‎（2）由（1）知，当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故在内仅存在一个极值点；‎ 当时，令， ，依题函数与函数， 的图象有两个横坐标不等于2的交点.‎ ‎，当时， ，则在上单调递减， ‎ 当时， ，则在上单调递增；‎ 而 和极大值点.‎ 综上，函数在内存在三个极值点时，实数的取值范围为. ‎ 27‎ ‎【名师点睛】本题的难点在第（2）问，主要是对函数的分析，把它的图像和性质分析清楚了，原命题自然分析清楚了.解答数学问题，要善于抓住主要问题，再突破.‎ ‎10．【2019届北京市城六区高三一模】已知函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明： 存在极小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 的导函数为． 依题意，解得．‎ ‎(Ⅱ) 由．令， 恒成立，故在单调递增．因为， ， ，故存在，使得．可得f(x)在减，‎ 令，‎ 则 ．‎ 所以对任意，有，故在单调递增．‎ 27‎ 因为，所以， ，‎ 故存在，使得．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．‎ 所以存在极小值．‎ ‎11【2019届北京师范大学附中高三下二模】已知函数，其中，为自然对数底数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）已知，若函数对任意都成立，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）．‎ ‎【解析】【试题分析】(1)求导后令导数等于零,求得极值点后写出单调区间.(2)结合(1)求得函数的最小值,由此得到的取值范围.再利用导数求得 的取值范围.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）因为，因为，由得， ‎ 所以当时，，单调递减；‎ 当时，单调递增．‎ 综上可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． ‎ 27‎ ‎（2）因为，由函数对任意都成立，得，‎ 因为，所以． ‎ 所以，‎ 设，‎ ‎ ‎ 所以，即的最大值为，此时，．‎ ‎【名师点睛】本小题主要考查函数导数与函数的单调区间,考查利用导数求解不等式的问题.求函数单调区间的基本步骤是:首先求函数的定义域,其次对函数求导,求导后一般需要对导函数进行通分和因式分解,然后求得导函数的零点,即原函数的极值点,结合图象判断函数的单调区间.‎ ‎12．【2019届新疆维吾尔自治区高三二模】已知函数（）.若是的极值点.‎ ‎（I）求,并求在上的最小值；‎ ‎（II）若不等式对任意都成立，其中为整数， 为的导函数，求的最大值.‎ ‎【答案】（I），最下值2；(II）2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先根据是的极值点得到 再利用导数求函数的单调区间，求函数在上的最小值.(2)第（2）问，先分离参数得到，再求函数（）的最小值，即得到k的最大值.‎ 试题解析：‎ 27‎ ‎（I），由是的极值点，得，∴.‎ 易知在上单调递减，在上单调递增，‎ 所有当时， 在上取得最小值2.‎ ‎（II）由（I）知，此时，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，∴‎ 令（），∴‎ ‎（）‎ ‎【名师点睛】本题的难点在求出（）后，求函数的单调区间不方便，此时需要二次求导.所以需要再构造函数，研究函数h(x)的单调性和值域，从而研究出函数g(x)的性质得解. 当我们一次求导后，如果不方便解出，一般要考虑二次求导.‎ 27‎