南京市2019届高三数学二轮专题复习资料专题12：圆锥曲线
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专题 12：圆锥曲线
目录
问题归类篇 ............................................................................................................................................................... 2
类型一：方程的标准形式 ............................................................................................................................... 2
类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用 ................................................................................................... 4
类型三：离心率或范围的计算 ....................................................................................................................... 8
类型四：直线与圆锥曲线的综合问题 ..........................................................................................................11
综合应用篇 ............................................................................................................................................................. 16
一、例题分析 ................................................................................................................................................. 16
二、反馈巩固 ................................................................................................................................................. 19
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问题归类篇
类型一：方程的标准形式
一、前测回顾
1．椭圆x2
m＋y2
4＝1 的焦距是 2，则 m 的值是 ．
2.双曲线x2
4＋y2
k ＝1 的离心率 e∈(1，2)，则 k 的取值范围是 ．
3.若 a≠0，则抛物线 y＝4ax2 的焦点坐标为 ．
4.已知直线l 过点 1,0 且垂直于 x 轴，若 被抛物线 2 4y ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为
_________．
答案：1.3 或 5；2.(－12,0)；3.(0, 1
16a)．4.
二、方法联想
方程的标准形式
涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴
上，抛物线要注意开口方向．
三、方法应用
例 1.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点 1( 3, )2
，焦点 12( 3,0), ( 3,0)FF ，圆 O 的直径为 12FF ．
（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 ,AB两点．若 OAB△ 的面积为 26
7
，
求直线 l 的方程．
解：（1）因为椭圆C 的焦点为 1 3,0F ， 2 3,0F ，
可设椭圆C 的方程为
22
2210xy abab ．又点 13, 2
在椭圆 上，
所以 22
22
3114
3
ab
ab
，解得
2
2
4
1
a
b
，因此，椭圆 的方程为
2
2 14
x y．
因为圆O 的直径为 12FF ，所以其方程为 223xy．
（2）①设直线l 与圆 相切于 0 0 0 00,, 0P x y x y，则 22
003xy，
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所以直线l 的方程为 0
00
0
xy x x yy ，即 0
00
3xyxyy ．
由
2
2
0
00
14
3
x y
xyxyy
，消去 y ，得 2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0x y x x x y ．（ *）
因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
所以 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 024 4 4 36 4 48 2 0x x y y y x ．
因为 0x ， 0 0y ，所以 0 2x ， 0 1y ．
因此，点 P 的坐标为 2,1 ．
②因为三角形OAB 的面积为 26
7
，所以 1 2 6
27AB OP ，从而 42
7AB ．
设 11,A x y ， 22,B x y ，由（*）得
22
0 0 0
12 22
00
24 48 2
24
x y x
x
xy
， ，
所以
222
22 002 0
1 2 1 2 22 220 00
48 2
1
4
yxxAB x x y y y xy
．
因为 22
003xy，
所以
2
02
22
0
16 2 32
491
x
AB
x
，即 42
002 45 100 0xx ，
解得 2
0
5
2x （ 2
0 20x 舍去），则 2
0
1
2y ，因此 P 的坐标为 10 2,22
．
综上，直线l 的方程为 5 3 2yx ．
例 2.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 )0(1: 2
2
2
2
ba
b
y
a
xC 的右焦点为 F ，点 A 是椭圆的左顶
点，过原点的直线 MN 与椭圆交于 NM, 两点（ M 在第三象限），与椭圆的右准线交于 P 点．已知 MNAM ，
且 24
3OA OM b．
（1）求椭圆C 的离心率 e ；
（2）若 10
3AMN POFS S a，求椭圆 的标准方程．
x
y
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解：（1）由题意
22
22
2 2 2
1
( ) ( )22
xy
ab
aaxy
，消去 y 得
2
22
2 0c x ax ba ，解得
2
122
abx a x c ， ，
所以
2
2 ( ,0)M
abxac ，
2
2
2
4
3MA
abOA OM x x a bc ，
2
2
3
4
c
a ，所以 3
2e ；
（2）由（1） 2 2 2( , )33M b b ，右准线方程为 43
3xb ，
直线 MN 的方程为 2yx ，所以 4 3 4 6( , )33P b b ，
21 3 4 6= 2 22 2 3POF PS OF y b b b ， 22 2 4 22233AMN AOM MS S OA y b b b ，
所以 224 2 102 2 + 33b b a ， 210 2 20
33bb ，所以 2, 2 2ba，
椭圆C 的标准方程为 128
22
yx ．
四、归类巩固
*1.以 y＝±
2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．
答案：
3或
6
2 (已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系)
*2.以抛物线 y2＝4x 的焦点为焦点，以 y＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ．
答案：x2
1
2
－y2
1
2
＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)
类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用
一、前测回顾
1. 已知 F1、F2 是椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且 PF1⊥PF2．
若△PF1F2 的面积为 9，则 b 的值为__________．
2.已知定点 A(3，2)，F 是抛物线 y2＝2x 的焦点，点 P 是抛物线上的动点，当 PA＋PF 最小时，点 P 的坐标
为 ．
3. 点 F 为椭圆x2
4 ＋y2
3 ＝1 的右焦点，过点 F 且倾斜角为π
3的直线交椭圆于 A,B 两点(AF
0，b>0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C
的一条渐近线交于 M、N 两点.若∠MAN=60°，则 C 的离心率为 .
答案: 23
3 （已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率）
*3.双曲线x2
4－y2
k ＝1 的离心率 e∈(1，2)，则 k 的取值范围是 ．
答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)
*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心
率的取值范围为 ．
答案：(1， 2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)
*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于 A，B 两点，左焦点在以 AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心
率的取值范围为 ．
答案：(1， 2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)
**6．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点．P
为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E．若直线 BM 经过
OE 的中点，则 C 的离心率为 ．
答案：1
3 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是 F1，F2，这两条曲线在第一象限
的交点为 P，△PF1F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形．若 PF1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是 e1，e2，
则 e1·e2 的取值范围是 ．
答案：(1
3,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)
**8.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以 A，B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为________．
答案： 3＋1
2 (三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)
**9.椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆上恰好有 6 个不同的点 P
,使得△PF1F2 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ▲ .
答案： 1 1 1( , ) ( ,1)3 2 2 .
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类型四：直线与圆锥曲线的综合问题
一、 前测回顾
1．(1)点 A 是椭圆x2
36＋y2
20＝1 的左顶点，点 F 是右焦点，若点 P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，满足 PA⊥PF，
则点 P 的坐标为 ．
(2)若点 O 和点 F 分别为椭圆x2
4＋y2
3＝1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP→
· FP→的最大
值为 ．
答案：(1)(3
2，5
2 3)．(2)6．
2．(1)如图，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P
在椭圆 C 上，且 OP⊥AF， 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ
的斜率的 2 倍，则椭圆 C 的离心率为 ．
(2)已知椭圆的方程为x2
6＋y2
2＝1，与右焦点 F 相应的准线 l 与 x 轴相交于点 A，过
点 A 的直线与椭圆相交于 P、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆相
交于另一点 M，
证明：→FM＝λ→QF ．
(3) 过点 M(1，1)作斜率为－1
2的直线与椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)相交于 A，B 两点，若 M 是线段 AB
的中点，则椭圆 C 的离心率等于________．
答案：(1) 2
2 ；(2)略；(3) 2
2 ．
3． (1)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆x2
10＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是 ．
(2)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4，O 为原点．若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，则线
段 AB 长度的最小值为 ．
答案：（1）6 2；（ 2）2 2．
二、方法联想
1．椭圆上一个点问题
方法 1：设点. ①设点(x0,y0)代入方程、列式、消元；②设点(acosθ,bsinθ)
方法 2：求点. 代入方程、列式、求解．
注意 考虑 x0(或 y0)的取值范围．
变式：如图，椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为
F，点 P 在椭圆 C 上，且 OP⊥AF.
求证：存在椭圆 C，使直线 AF 平分线段 OP.
答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)
2．直线与椭圆相交于两点问题
①已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；
②两点均未知
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方法 1 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2＋Bx＋C
＝0，由韦达定理得 x1＋x2＝－B
A，x1x2＝C
A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2 通过直线方
程化为 x1，x2)． 有时也可以直接求出两交点.
注意：(1)设直线方程时讨论垂直于 x 轴情况；
(2)通过△判断交点个数；
(3)根据需要也可消去 x 得关于 y 的方程．
结论：弦长公式 ｜AB｜＝ 1＋k2｜x1－x2｜＝ 1＋ 1
k2｜y1－y2｜．
方法 2 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得
x12
a2 ＋y12
b2 ＝1，
x22
a2 ＋y22
b2 ＝1，
通过已知条件建立 x1、y1 与 x2、
y2 的关系，消去 x2、y2 解关于 x1、y1 的方程组（或方程）．
方法 3 点差法
设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得
x12
a2 ＋y12
b2 ＝1，
x22
a2 ＋y22
b2 ＝1，
两式相减得y1－y2
x1－x2
＝－b2
a2×x1＋x2
y1＋y2
，
即 kAB＝－b2
a2×x0
y0
，其中 AB 中点 M 为(x0，y0)．
注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．
3. 圆锥曲线的最值与范围问题
(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方
程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．
(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求
参数作为函数，另一个元作为自变量求解．
三、方法应用
例 1.已知椭圆
22
22: 1 0xyM a bab 的离心率为 6
3
，焦距为 22．斜率为 k 的直线l 与椭圆 M 有两个
不同的交点 A ， B ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 1k ，求||AB 的最大值；
（3）设 20P , ，直线 PA 与椭圆 的另一个交点为C ，直线 PB 与椭圆 的另一个交点为 D ．若C ，
和点 71( , )44Q 共线，求 ．
解：（1）由题意得 2 2 2c ，所以 2c ，
又 6
3
ce a ，所以 3a ，所以 2 2 2 1b a c ，
所以椭圆 M 的标准方程为
2
2 13
x y．
（2）设直线 AB 的方程为 y x m ，
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由 2
2 13
y x m
x y
消去 y 可得 224 6 3 3 0x mx m ，
则 2 2 236 4 4 3 3 48 12 0m m m ，即 2 4m ，
设 11A x y, ， 22B x y, ，则 12
3
2
mxx ，
2
12
33
4
mxx ，
则
2
222
1 2 1 2 1 2
641 1 4 2
mAB k x x k x x x x ，
易得当 2 0m 时， max| | 6AB ，故 AB 的最大值为 6 ．
（3）设 11A x y, ， 22B x y, ， 33C x y, ， 44D x y, ，
则 22
1133xy ①， 22
2233xy ②，
又 20P , ，所以可设 1
1
1 2PA
ykk x
，直线 PA 的方程为 1 2y k x，
由
1
2
2
2
13
y k x
x y
消去 y 可得 2 2 2 2
1 1 11 3 12 12 3 0k x k x k ，
则
2
1
13 2
1
12
13
kxx k
，即
2
1
312
1
12
13
kxxk
，
又 1
1
1 2
yk x
，代入①式可得 1
3
1
7 12
47
xx x
，所以 1
3
147
yy x
，
所以 11
11
7 12
4 7 4 7
xyC xx
, ，同理可得 22
22
7 12
4 7 4 7
xyD xx
, ．
故 33
71,44QC x y
， 44
71
44QD x y
, ，
因为Q ， C ， D 三点共线，所以 3 4 4 3
7 1 7 1 04 4 4 4x y x y
，
将点 ， 的坐标代入化简可得 12
12
1yy
xx
，即 1k ．
例 2.已知点 P(0，1)，椭圆
2
4
x +y2=m(m>1)上两点 A，B 满足 AP =2 PB ，则当 m=___________时，点 B 坐
标的绝对值最大．
解：
方法一：设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，
当直线斜率不存在时， 9m ， 2 0x .
当直线斜率存在时，设 AB 为 1y kx.联立
2
2
4
1
x ym
y kx
得 22(4 1) 8 4 4 0k x kx m ，
20 4 1 0mk m ， 12 2
8
41
kxx k
，
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12 2
44
41
mxx k
.
∵ 2AP PB ，∴ 122xx ，解得 1 2
16
41
kx k
， 2 2
8
41
kx k
.
∴ 2 2
8 8 21414
kx k k k
（当且仅当 1
2k 时取“ ”） .
12 22
16 8 84 1 4 1
kkxx kk
， 12 2
44 2241
mx x mk
，得 5m ，
∴当 5m 时，点 B 横坐标最大.
方法二：设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 11( ,1 )AP x y ， 22( , 1)PB x y，
∵ 2AP PB ，∴ 12
12
2
32
xx
yy
，
∴
2
22
2
2
22
2
( 2 ) (3 2 ) (1)4
(2)4
x ym
x ym
，由(1) (2) 得 2
3
4
my . (3)
将 代入 ，得
2
2
2
( 5) 16
4
mx ，∴
2
2
( 5) 16
2
mx ，
∴当 5m 时， 2x 取最大值.
例3.设椭圆
22
221xx
ab(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 5
3
，点A的坐标为( ,0)b ，
且 62FB AB .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线 l： ( 0)y kx k与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q.
若 52sin4
AQ AOQPQ (O 为原点) ，求 k 的值.
解：（1）设椭圆的焦距为 2c ，由已知有
2
2
5
9
c
a
，
又由 2 2 2a b c，可得 23ab ．由已知可得， FB a ， 2AB b ，
由 62FB AB，可得 6ab ，从而 3a ， 2b ．
所以，椭圆的方程为
22
194
xy．
（2）设点 P 的坐标为 11,xy，点Q 的坐标为 22,xy ．
由已知有 120yy，故 12sinPQ AOQ y y ．
又因为 2
sin
yAQ OAB
，而 π
4OAB，故 22AQ y ．
由 52sin4
AQ AOQPQ ，可得 1259yy ．
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由方程组 22
194
y kx
xy
消去 x ，可得 1 2
6
94
ky
k
．
易知直线 AB 的方程为 – 20xy，
由方程组
20
y kx
xy
消去 x ，可得 2
2
1
ky k
．
由 1259yy ，可得 25 1 3 9 4kk ，
两边平方，整理得 256 50 11 0kk ，
解得 1
2k ，或 11
28k ．所以， k 的值为 1
2
或 11
28
．
四、归类巩固
*1.由椭圆x2
2＋y2＝1 的左焦点作倾斜角为 45°的直线 l 交椭圆于 A、B 两点．则OA→
·OB→ ．
答案：－1
3 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)
2．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2
2 ，长轴长为 4.过椭圆
的左顶点 A 作直线 l，分别交椭圆和圆 x2＋y2＝a2 于相异两点 P，Q.
*①若直线 l 的斜率为1
2，求AP
AQ的值；
**②若PQ→ ＝λAP→，求实数 λ 的取值范围．
答案：①5
6；②（0,1）
(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)
**3.设椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F，离心率为 3
3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的
线段长为4 3
3 .设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点．若AC→·DB→
＋AD→·CB→＝8，求 k 的值．
答案： 8 6
3 . (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)
**4.已知椭圆 C：x2
6＋y2
2＝1 设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线 x＝－3 上任意一点，过 F 作 TF 的垂线
交椭圆 C 于点 P，Q.
①证明：OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点)；
②当|TF|
|PQ|最小时，求点 T 的坐标．
答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)．
(求取最值时的条件)
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综合应用篇
一、例题分析
例 1. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
x2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭
圆上一点（在 x 轴上方），连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1
→＝λF1Q→．
*（1）若点 P 的坐标为 (1，3
2)，且△PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程；
**（2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率
e∈[1
2， 2
2 ]，求实数 λ 的取值范围．
解：（1）因为 F1，F2 为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点，
所以 PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而△PQF2 的周长为 4a．
由题意，得 4a＝8，解得 a＝2．
因为点 P 的坐标为 (1，3
2)，所以1
a2＋ 9
4b2＝1，
解得 b2＝3．
所以椭圆 C 的方程为x2
4＋y2
3＝1．
（2）方法一：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0．设 Q(x1，y1)．
因为 P 在椭圆上，所以c2
a2＋y2
0
b2＝1，解得 y0＝b2
a ，即 P(c，b2
a ).
因为 F1(－c，0)，所以PF1
→＝(－2c，－b2
a )，F1Q→＝(x1＋c，y1)．
由PF1
→＝λF1Q→，得－2c＝λ(x1＋c)，－b2
a ＝λy1，
解得 x1＝－λ＋2
λ c，y1＝－b2
λa，所以 Q(－λ＋2
λ c，－b2
λa).
因为点 Q 在椭圆上，所以(λ＋2
λ )2e2＋ b2
λ2a2＝1，
即(λ＋2)2e2＋(1－e2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e2＝λ2－1，
因为 λ＋1≠0，
（第 18 题）
x
O
y
P
F1
F2 Q
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第 17 页 共 26 页
所以(λ＋3)e2＝λ－1，从而 λ＝3e2＋1
1－e2 ＝ 4
1－e2－3．
因为 e∈[1
2， 2
2 ]，所以1
4≤e2≤1
2，即7
3≤λ≤5．
所以 λ 的取值范围为[7
3，5]．
方法二：因为 PF2⊥x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y0)，y0＞0．
因为 P 在椭圆上，所以c2
a2＋y2
0
b2＝1，解得 y0＝b2
a ，即 P(c，b2
a )．
因为 F1(－c，0)，故直线 PF1 的方程为 y＝ b2
2ac(x＋c)．
由
y＝ b2
2ac(x＋c)，
x2
a2＋y2
b2＝1，
得(4c2＋b2)x2＋2b2cx＋c2(b2－4a2)＝0．
因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c，b2
a )．设 Q(x1，y1)，
则 x1＋c＝－ 2b2c
4c2＋b2，即－c－x1＝ 2b2c
4c2＋b2．
因为PF1
→＝λF1Q→，
所以 λ＝ 2c
－c－x1
＝4c2＋b2
b2 ＝3c2＋a2
a2－c2 ＝＝3e2＋1
1－e2 ＝ 4
1－e2－3．
因为 e∈[1
2， 2
2 ]，所以1
4≤e2≤1
2，即7
3≤λ≤5．
所以 λ 的取值范围为[7
3，5]．
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.
求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量 a，b，c 的齐次不等关系；
②题中给出的是关于基本量 a，b，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即 f(P)＝g(a，b，c)，根据 g(a，
b，c)在 f(P)的值域内，可得关于基本量 a，b，c 的齐次不等关系．
（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从 P 点
坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用 λ 表示离心率 e，解不等式求出 λ
的范围.
例 2.已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F(－c，0)，右顶点为 A，点 E 的坐标为(0，c)，△EFA 的面积
为b2
2 .
*（1）求椭圆的离心率；
（2）设点 Q 在线段 AE 上，|FQ|＝3
2c，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P，点 M，N 在 x 轴上，PM∥QN，且
直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c，四边形 PQNM 的面积为 3c.
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**（i）求直线 FP 的斜率；
***（ii）求椭圆的方程.
解：(1)设椭圆的离心率为 e.由已知，可得1
2(c＋a)c＝b2
2 .又由 b2＝a2－c2，可得 2c2＋ac－a2＝0，即 2e2
＋e－1＝0.又因为 0＜e＜1，解得 e＝1
2.
所以，椭圆的离心率为1
2.
（2）（ ⅰ）方法一：依题意，设直线 FP 的方程为 x＝my－c(m＞0)，则直线 FP 的斜率为1
m.
由（Ⅰ）知 a＝2c，可得直线 AE 的方程为 x
2c＋y
c＝1，即 x＋2y－2c＝0，与直线 FP 的方程联立，可解得 x
＝(2m－2)c
m＋2 ，y＝ 3c
m＋2，即点 Q 的坐标为((2m－2)c
m＋2 ， 3c
m＋2).
由已知|FQ|=3c
2 ，有[(2m－2)c
m＋2 ＋c]2＋( 3c
m＋2)2＝(3c
2 )2，整理得 3m2－4m＝0，所以 m＝4
3，即直线 FP 的
斜率为3
4.
方法二：由（Ⅰ）知 a＝2c，可得直线 AE 的方程为 x
2c＋y
c＝1，即 x＋2y－2c＝0，又|FQ|＝3
2c
设 Q(x0，y0) ，则
x0＋2y0－2c＝0
(x0＋c)2＋y02＝9
4c2 消 y0 得 5x20＋4cx0－c2＝0， x0＝－c（舍）或c
5 ，所以 Q(c
5， 9
10
c) ，直线 FP 的斜率为3
4.
（ii）方法一：由（i）得直线 FP 的方程为 3x－4y＋3c＝0 ，与椭圆 x2
4c2＋ y2
3c2＝1 联立得 7x2＋6cx－13c2＝
0，x＝－13
7 c （舍）或 c ，所以 P(c，3
2c) 由（i）得 Q(c
5， 9
10c)，由题直线 QN,直线 PM 的斜率一定存在，
设为 k0 , 设 PM：k0x－y－k0c＋3
2c＝0 ，QN：k0x－y－k0
5c＋ 9
10c＝0，两平行线距离为
|－k0c＋3
2c＋k0c
5 － 9
10c|
k02＋1
＝c ，解得 k0＝－4
3 ，所以 M(17
8 c，0)，N(7
8c，0) ，四边形 PQNM 的面积为 SΔPFM－SΔFQN＝1
2(17
8 c＋c)×3
2c
－1
2(7
8c＋c)× 9
10c＝3c ，解得 c＝2 ，所以椭圆的方程为 x2
16＋y2
12＝1 .
方法二：同方法一求出 k0＝－4
3，所以 FP⊥QN，FP⊥PM , 又 P(c，3
2c)，Q(c
5， 9
10c)，直线 FP 的斜率为3
4.
即 tan∠PFM＝3
4 ，|FQ|＝3
2c，|FP|＝5
2c
，
所以四边形 PQNM 的面积为 1
2(QN＋PM)·c＝1
2(3
4×3
2c＋3
4×5
2c)·c
＝3c ，解得 c＝2 ，所以椭圆的方程为 x2
16＋y2
12＝1 .
方法三：可利用|FQ|＝3
2c，|FP|＝5
2c 得 FP－FQ＝c 即直线 PM 与直线 QN 间的距离，直接得 FP⊥QN，
FP⊥PM，避免求 k0 的值简化运算过程.
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〖教学建议〗
（1）问题归类与方法：
1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量 a，b，c 的一个齐次关系，从而求出离心率；
2．直线与椭圆相交于两点问题
①已知其中一点坐标(x0,y0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；
②两点均未知
方法 1 设两点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去 y 得关于 x 的方程 Ax2＋Bx＋C
＝0，由韦达定理得 x1＋x2＝－B
A，x1x2＝C
A，代入已知条件所得式子消去 x1，x2(其中 y1，y2 通过直线方
程化为 x1，x2)． 有时也可以直接求出两交点.
（2）方法选择与优化：
本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类
题目，利用 a,b,c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程
组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形 PQNM 的几
何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.
二、反馈巩固
*1．已知椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，离心率为 3
3 ，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B
两点．若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为 ．
答案：x2
3＋y2
2＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
*2.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2－y2＝1 右支上的一个动点．若点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离
大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为________．
答案：
2
2 (利用双曲线与渐近线的几何性质求解)
*3．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线 y＝b
2与椭圆交于 B,C
两点，且∠BFC＝90°,则该椭圆的离心率是 .
答案: 6
3
(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)
*4．已知方程 x2
m2+n－ y2
3m2–n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为
4，则 n 的取值范围是 .
答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)
*5．椭圆C：x2
4＋y2
3＝1的左右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么
直线PA1的斜率的取值范围是 ．
答案：[3
8，3
4] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)
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x
y
O
A
P B
**6．设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋y2
b2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．
若 AF1＝3F1B，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________．
答案：x2＋3
2y2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)
***7．点 M 是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)上的点，以 M 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的焦点 F，圆 M 与 y 轴
相交于 P，Q，若 ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ．
答案：(0， 6－ 2
2 ) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算)
**8．如图，点 A 是椭圆 x2
a2 ＋ y2
b2 ＝1(a＞b＞0)的下顶点．
过 A 作斜率为 1 的直线交椭圆于另一点 P，点 B 在 y 轴上，
且 BP∥x 轴，AB→·AP→＝9，若 B 点坐标为(0，1)，则椭圆
方程是 ．
答案：x2
12＋y2
4＝1 (考查平面图形的几何性质，求椭圆方程，向量的数量积运算)
**9．已知椭圆x2
4＋y2
2＝1 上有一点 P，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2 为直角三角形，则这样的点
P 有________个．
答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)
**10．椭圆 C：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P，使得
△F1F2P 为等腰三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是 ．
答案：(1
3，1
2)∪(1
2，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)
**11．在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝1
x(x＞0)图象上一动点,若点 PA 之间的最短
距离为 2 2，则满足条件的实数 a 的所有值为_______.
答案：－1 或 10 (考查两点距离，函数的最值问题)
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别是椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点 B 的坐
标为(0，b)，连结 BF2 并延长交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C．
*(1)若点 C 的坐标为(4
3，1
3)，且 BF2＝ 2，求椭圆的方程；
** (2)若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值．
答案：(1) x2
2＋y2＝1；(2) 5
5 ．
(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)
F1 F2 O x
y
B
C
A
(第 14 题)
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13．已知椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(3，0),离心率为 e.
*(1)若 e＝ 3
2 ，求椭圆的方程；
**(2)设直线 y＝kx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2 的中点，若坐标原点 O 在以 MN
为直径的圆上，且 2
2 ＜e≤ 3
2 ，求 k 的取值范围.
答案：（1）x2
12＋y2
3＝1 ；
（2）(－∞，－ 2
4 ]∪[ 2
4 ，＋∞) .
(本题可以利用平面几何知识得 F2A⊥F2B 简化运算，考查函数值域问题)
14.如图，已知动直线 :l y kx m与椭圆
2
2 14
x y交于 ,AB两个不同点.
*(1)若动直线 又与圆 22(y 2) 1x 相切，求 m 的取值范围.
**(2)若动直线 与 y 轴交于点 P ，满足 2PB AP ，点 O 为坐标原点.求 AOB 面积的最大值，
并指出此时 k 的值.
解：把 y kx m代入椭圆方程 224 4 0xy 得：
2 2 2(4 1) 8 4 4 0, (1)k x kmx m
（Ⅰ） 2 2 2(8 ) 4(4 1)(4 4) 0km k m
即 224 1 0 (2)km 直线l 与圆 22( 2) 1xy 相
切，
22
2
2 1, 4 3 (3)
1
m k m m
k
把（3）代入（2）得： 23 16 13 0mm
解得： 13
3m 或 1m
（Ⅱ） (0, ),Pm设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ， 122 , 2 0PB AP x x
由（1）式得： 1 2 1 1 222
88, ( )4 1 4 1
km kmx x x x xkk
又 1x 是方程（1）的根，
2 2 2 2
22
2 2 2
64 64(4 1) 4 4 0(4 1) 4 1
k m k mkmkk
2
2
2
41
36 1
km k
，依题意得 0k ，显然满足
1 2 1 2
243,41
kmx x x k
2
12 22
12 121 ,2 4 1 36 1AOB
m k kS x x m kk
3 119 4k k
第 15 题
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第 22 页 共 26 页
当且仅当 19 4k k 即 1.6k （符合题意），
当 1
6k 时， AOB 的面积取最大值为 1.
(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)
15．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F1、F2 分别是椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，
过点 F1、F2 分别作倾斜角都为 α(α≠0)的两条直线 AB、DC，分别交椭圆 E 于点 A、B 和 D、C.当 α＝π
4 时，
点 B 坐标为(0，1)．
*(1) 求椭圆 E 的方程；
** (2) 当 α 变化时，讨论线段 AD 与 BC 长度之间的关系，并给出证明；
*** (3) 当 α 变化时，求四边形 ABCD 面积的最大值及对应的 α 值．
答案：(1) x2
2＋y2＝1；(2) AD＝BC；(3)α＝π
2 .
(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)
16.如图，圆 O 与离心率为 3
2 的椭圆 T：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)相切于点 M(0，1)．
*⑴求椭圆 T 与圆 O 的方程;
⑵过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1，l2 与两曲线分别交于点 A，C 与点 B，D(均不重合).
**①若 P 为椭圆上任一点，记点 P 到两直线的距离分别为 d1，d2，求 d2
1＋d2
2的最大值；
***②若 3 MA→· MC→＝4 MB→· MD→，求 l1 与 l2 的方程．
解: (1)x2
4＋y2＝1，x2＋y2＝1．
(2)①16
3 ，此时 P(±4 2
3 ，－1
3)．
②l1：y＝ 2x＋1，l2：y＝－ 2
2 x＋1
或 l1：y＝－ 2x＋1，l2：y＝ 2
2
(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另
一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题 2 中，d2
1＋d2
2实际上就是矩形的对角线的平方，
即 PM2．问题 3 中，求出 A，C 点坐标后，直接用－1
k替换 k，得到 B，D 点坐标．或将 3 MA→·MC→＝4 MB→·MD→
转化为 3(k2＋1)xAxC＝4(1
k2＋1)xBxD．)
17.如图，已知抛物线 x2＝y，点 A(－1
2，1
4),B(3
2，9
4)，抛物线上的点 P(x，y)(－1
2
＜x＜3
2)．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q．
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*（1）求直线 AP 斜率的取值范围；
***（2）求|PA|·|PQ|的最大值．
答案：（1）(－1，1)；（2）27
16
(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 x－1
2，由－1
2＜x＜3
2，得 AP 斜率的取值范围；（2）
联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进而表达|PA|与|PQ|的长度，通过函数 f(k)＝－(k－1)(k＋1)3
求解|PA|·|PQ|的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA|·|PQ|＝PA
→
·PB→减少了求 Q 点坐标问
题达到简化运算的目的.)
18.已知斜率为 k 的直线l 与椭圆
22
143
xyC ： 交于 A ， B 两点．线段 AB 的中点为 (1, )( 0)M m m ．
（1）证明： 1
2k ；
（2）设 F 为C 的右焦点， P 为C 上一点，且 FP FA FB 0．证明： 2| | | | | |FP FA FB ．
解：（1）设直线l 方程为 y kx t，设 11( , )A x y , 22( , )B x y ,
22
143
y kx t
xy
联立消 y 得 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x ktx t ，
则 2 2 2 264 4(4 12)(3 4 ) 0k t t k ，
得 2243kt …①，
且 12 2
8 234
ktxx k
， 1 2 1 2 2
6( ) 2 234
ty y k x x t mk
，
∵ 0m ，∴ 0t 且 0k .
且
234
4
kt k
…②.
由①②得
22
2
2
(3 4 )4316
kk k
，
∴ 1
2k 或 1
2k .
∵ ，∴ .
（2） 0FP FA FB ， 20FP FM,
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第 24 页 共 26 页
∵ (1, )Mm， (1,0)F ，∴ P 的坐标为(1, 2 )m .
由于 在椭圆上，∴
214 143
m，∴ 3
4m ， 3(1, )2M ，
又
22
11143
xy，
22
22143
xy，
两式相减可得 1 2 1 2
1 2 1 2
3
4
y y x x
x x y y
，
又 122xx， 12
3
2yy，∴ 1k ，
直线l 方程为 3 ( 1)4yx ，
即 7
4yx ，
∴ 22
7
4
143
yx
xy
，
消去 y 得 228 56 1 0xx ， 1,2
14 3 21
14x ，
2 2 2 2
1 1 2 2| | | | ( 1) ( 1) 3FA FB x y x y ，
2233| | (1 1) ( 0)22FP ,
∴| | | | 2| |FA FB FP .
(考查直线与椭圆的位置关系，中点弦问题及椭圆的统一定义等)
19.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 2
2 ，上顶点 A 到右焦点的距
离为 2 ．过点 D(0，m)(m≠0)作不垂直于 x 轴，y 轴的直线 l 交椭圆 E 于 P，Q 两点，C 为线段 PQ 的中
点，且 AC⊥OC．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）求实数 m 的取值范围；
（3）延长 AC 交椭圆 E 于点 B，记△AOB 与△AOC 的面积分别为 S1，S2，若S1
S2
＝8
3，求直线 l 的方程．
19.
解：（1）因为
c
a＝ 2
2 ，
a＝ 2，
所以 c＝1，b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆 E 的方程为x2
2＋y2＝1．
y
P
D
A
C
O x
Q
B
(第 19 题)
南京市 2019 届高三数学二轮专题复习资料
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解法一：
（2）由（1）得 A(0，1)．
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)，其中 x0，y0 均不为 0，且 x1≠x2．
因为 P，Q 两点都在椭圆 E 上，所以 x12＋2y12＝2 且 x22＋2y22＝2，
两式相减得y2－y1
x2－x1
×y0
x0
＝－1
2． 又y2－y1
x2－x1
＝y0－m
x0
，所以y0－m
x0
×y0
x0
＝－1
2，
即 x02＝2y0(m－y0)． ①
又 AC⊥OC，所以y0－1
x0
×y0
x0
＝－1，
即 x02＝y0(1－y0)． ②
由①②得 y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)∈(0，2)，
所以1
2＜m＜1．
（3）设 B(x3，y3)，点 B 在椭圆 E 上，所以 x32＋2y32＝2．
又 AC⊥OC，所以y3－1
x3
×y0
x0
＝－1，即 y3＝－x0
y0
x3＋1，
代入上式消去 y3，得 x3＝ 4x0y0
y20＋2x20
，
所以S1
S2
＝
1
2AO×|x3|
1
2AO×|x0|
＝|x3
x0
|＝| 4y0
y20＋2x20
|．
由（2）知 y0＝2m－1，x02＝(1－2m) (2m－2)，1
2＜m＜1，
所以S1
S2
＝| 4(2m－1)
(2m－1)2＋2(1－2m)(2m－2) |＝| 4
3－2m |＝ 4
3－2m．
因为S1
S2
＝8
3，所以 4
3－2m＝8
3，解得 m＝3
4，
此时 y0＝2m－1＝1
2，x02＝(1－2m) (2m－2)＝1
4，所以 x0＝±1
2，
所以 C 点坐标为(±1
2，1
2)，D 点坐标为(0，3
4)，
所以直线 l 的方程为 y＝±1
2x＋3
4．
解法二：
（2）由（1）得 A(0，1)．设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，C(x0，y0)．
设直线 l 方程为 y＝kx＋m(k≠0)，
将其与椭圆 E 的方程联立，消去 y 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0 (*)，
所以 x1＋x2＝－4km
1＋2k2，
所以 x0＝x1＋x2
2 ＝－2km
1＋2k2，y0＝kx0＋m＝ m
1＋2k2，即 C(－2km
1＋2k2， m
1＋2k2)，
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所以 kAC＝y0－1
x0
＝
m
1＋2k2－1
－2km
1＋2k2
＝2k2＋1－m
2km ．
又因为 kOC＝y0
x0
＝
m
1＋2k2
－2km
1＋2k2
＝－ 1
2k，且 AC⊥OC，
所以 kAC×kOC＝2k2＋1－m
2km ×( － 1
2k)＝－1，
整理得 m＝2k2＋1
4k2＋1．
因为 k≠0，则 m＝2k2＋1
4k2＋1＝4k2＋1－2k2
4k2＋1 ＝1－ 2k2
4k2＋1＝1－ 1
2＋ 1
2k2
∈(1
2，1)，
此时△＝8(2k2＋1－m)＞0，
所以实数 m 的取值范围为(1
2，1)．
（3）设 B(x3，y3)，
kAB＝－ 1
kOC
＝2k，所以直线 AB 的方程为 y＝2kx＋1，
与椭圆 E 方程联立解得 x＝－ 8k
1＋8k2或 0（舍），即 x3＝－ 8k
1＋8k2．
又因为 x0＝－2km
1＋2k2＝ －2k
1＋2k2×2k2＋1
4k2＋1＝ －2k
1＋4k2，
所以S1
S2
＝
1
2AO×|x3|
1
2AO×|x0|
＝|
－8k
1＋8k2
－2k
1＋4k2
|＝4＋16k2
1＋8k2 ．
因为S1
S2
＝8
3，所以4＋16k2
1＋8k2 ＝8
3，解得 k＝±1
2，
此时 m＝2k2＋1
4k2＋1＝3
4，D 点坐标为(0，3
4)，
所以直线 l 的方程为 y＝±1
2x＋3
4．
