辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷

辽宁省六校协作体2020届高三上学期期中考试数学（理）试卷

数学试题（理科）‎ ‎ ‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知全集，集合，则= （ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A．“至少有1个白球”和“都是红球” ‎ B．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”‎ C．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球” ‎ D．“至多有1个白球”和“都是红球”‎ ‎3. 若，则的值为（　　）‎ A．                 B．                  C．                   D． ‎ ‎4. 已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 ‎＝（ ）‎ A．－3 B． 1 C．－1 D．3‎ ‎5. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角A的值为（　　） ‎ A． 　 B. 　 C. 　 D. ‎ ‎6. 是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若样本的平均数是10，方差为2，则对于样本，下列结论正确的是（ ） ‎ A．平均数为20，方差为4 B．平均数为11，方差为4 ‎ C．平均数为21，方差为8 D．平均数为20，方差为8‎ ‎8.等差数列的第四项为( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知的定义域为，且满足，‎ 若则( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（　　） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎11. 设函数,已知在有且仅有5个零点,‎ 有下述四个结论：‎ ‎①在恰好有3次取到最大值 ‎ ‎②在恰好有2次取到最小值 ‎③在单调递增 ‎ ‎④的取值范围是 其中所有正确结论的编号是（ ） ‎ A．①③④ B．②④ C．①④ D．①③‎ ‎12. 已知函数有两个零点，， ，则下面说法正确的是（ ） ‎ A． B． ‎ C． D． 有极小值点，且 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13. 函数的值域是_________. ‎ ‎14.若向量 则与夹角的正弦值等于________. ‎ ‎15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_______. ‎ ‎16. 如图，已知中，点在边上，‎ 为 的平分线，‎ 且.‎ 则的值为_______，‎ 的面积为_______________. ‎ ‎（本题第一空2分，第二空3分．）‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数f(x)的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）讨论函数f(x)在上的单调性.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 的内角、、的对边分别为、、，已知．‎ ‎（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 辽宁省六校协作体（葫芦岛第一高中、东港二中、凤城一中、北镇高中、瓦房店高中、丹东四中）中的某校理科实验班的100名学生期中考试的语文、数学成绩都不低于100分，其中语文成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[100,110），[110,120），[120,130），[130,140），[140,150]．‎ ‎0.005‎ ‎0.030‎ ‎0.040‎ 频率/组距 成绩(分数)‎ ‎100‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ ‎0.020‎ ‎150‎ 这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数 之比如下表所示：‎ 分组区间 ‎[100,110）‎ ‎[110,120）‎ ‎[120,130）‎ ‎[130,140）‎ ‎1:2‎ ‎2:1‎ ‎3:4‎ ‎1:1‎ ‎（1）估计这100名学生数学成绩的平均数、方差；‎ ‎（同一组数据用该区间的中点值作代表）‎ ‎（2）从数学成绩在[130，150] 的学生中随机选取2人，该2人中数学成绩在 ‎[140，150]的人数为，求的数学期望．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知数列、满足，且 ‎（1）令证明：是等差数列，是等比数列；‎ ‎（2）求数列和的通项公式；‎ ‎（3）求数列的前n项和公式．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个极值点、，且．‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，使不等式对 恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线的普通方程是，曲线的参数方程是（为参数）．在以为极点，‎ 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．‎ ‎（1）写出及的极坐标方程；‎ ‎（2）已知，，与交于两点，与交于两点，‎ 求的最大值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 设，．‎ ‎（1）求证：．‎ ‎（2）求证：．‎ 数学参考答案（理科）‎ 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A B C D D A B C A D 二、填空题 ‎13、 14、 15、 16、‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1），‎ ‎…………（3分）‎ 因为，所以最小正周期，…………（5分）‎ 令，所以对称轴方程为，.…………（6分）‎ ‎（2）令，得，，‎ ‎…………（8分）‎ 设，，‎ 易知，…………（10分）‎ 所以，当时，在区间上单调递增；‎ 在区间上单调递减. …………（12分）‎ ‎18. （1）由题设及正弦定理得．‎ 因为，所以．‎ 由，可得，故．‎ 因为，故，因此．…………（4分）‎ ‎（2）由正弦定理，，所以 ，‎ 的面积 ‎…………（8分）‎ 因为为锐角三角形，所以，因此.…………（10分）‎ 所以，，所以，‎ 因此的面积的取值范围是. …………（12分）‎ ‎19. 解：（1）这100名学生语文成绩的平均数是：‎ ‎…………（2分）‎ 这100名学生语文成绩的方差是：‎ ‎…………（4分）‎ ‎（2）∵数学成绩在[100，140）之内的人数为 ‎∴数学成绩在[140，150]的人数为人，‎ 而数学成绩在[130，140）的人数为人，…………（6分）‎ 可取0,1,2，‎ ‎，，，‎ 的分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…………（10分）‎ ‎∴． …………（12分）‎ ‎（注：或用超几何分布的期望公式计算：‎ 这里服从参数为的超几何分布，‎ 因此）‎ ‎20.（1）证明：由题设得，‎ 即，因此，又，‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列. …………（2分）‎ 又由题设得，‎ 即，因此，又，‎ 所以数列是首项为1，公比为的等比数列. …………（4分）‎ ‎(2)由（1）知 即，解得…………（6分）‎ ‎（3）‎ 所以.…………（12分）‎ ‎21. 解：（1） ， ………………（2分）‎ ‎，‎ ‎∴，即， ………………（4分）‎ 解得的取值范围． ………………（6分）‎ ‎（2）由，解得，‎ 而在上递增，在上递减，在上递增 ‎∵，∴．∴在上单调递增， ‎ ‎∴在上，． ………………（7分）‎ ‎∴“，使对恒成立”等价于“不等式恒成立”，‎ 即，不等式对任意的（）恒成立．‎ ‎ ………………（8分）‎ 令，则．‎ ‎． ‎ ‎①当时，，在上递减．‎ ‎，不合题意．‎ ‎②当时，，∵，‎ 若，即时，则在上先递减，‎ ‎∵，∴时，不能恒成立；‎ 若，即时，则在上单调递增，‎ ‎∴恒成立，‎ ‎∴的取值范围为． ………………（12分）‎ ‎22. 解：（1）把，代入得，‎ 所以极坐标方程是．‎ 的普通方程是，其极坐标方程是．‎ ‎ …………（5分）‎ ‎（2）：，：，分别代入，得，．‎ 所以．‎ 因为，当时，所以取最大值．‎ ‎ …………（10分）‎ ‎23. 证明：（1）因为，同理，，‎ 所以． …………（5分）‎ ‎（2）由（1）得．因为，‎ 所以．‎ 因为．‎ 所以，即． …………（10分）‎