2020高中数学第四章函数应用4

2020高中数学第四章函数应用4

‎4.2 实际问题的函数建模 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒(　　)‎ A．2 000套　　　　 B．3 000套 C．4 000套 D．5 000套 解析：选D.因为利润 ＝12x－(6x＋30 000)，‎ 所以 ＝6x－30 000，由 ≥0解得x≥5 000，故至少日生产文具盒5 000套．‎ ‎2．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1 000元，设这种手机每年降价20 ，那么两年前这部手机的价格为(　　)‎ A．1 535.5元 B．1 440元 C．1 620元 D．1 562.5元 解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1 000，解得a＝1 562.5元．‎ ‎3．国家规定出版印刷行业税收如下：年收入在280万元及以下的税率为p ，超过280万元的部分按(p＋2) 征税，有一公司的实际缴税比率为(p＋0.25) ，则该公司的年收入是(　　)‎ A．560万元 B．420万元 C．350万元 D．320万元 解析：选D.由题意可知该公司年收入大于280万元，设为x万元．‎ ＝(p＋0.25) ，解得x＝320.‎ ‎4．某企业产值连续三年持续增长，这三年年增长率分别为P1、P2、P3，则这三年的年平均增长率为(　　)‎ A.(P1＋P2＋P3)‎ B. C.－1‎ D．1＋(P1＋P2＋P3)‎ 解析：选C.设这三年的年平均增长率为x，企业产值的基数为a，则a(1＋x)3＝a(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)．所以x＝－1.‎ ‎5．某生产厂家生产某种产品的总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系为y＝x2－80x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为(　　)‎ A．52 B．52.5‎ C．53 D．52或53‎ 解析：选D.因为利润＝收入－成本，当产量为x件时(x∈N)，利润f(x)＝25x－(x2－80x)，‎ 所以f(x)＝105x－x2＝－＋，‎ 所以x＝52或53时，f(x)有最大值．‎ ‎6．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式y＝a·0.5x＋b，‎ 4‎ 现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份该产品的产量为________万件．‎ 解析：由题意有 解得所以y＝－2×0.5x＋2，所以当x＝3时，y＝－2×0.53＋2＝1.75，即3月份此厂的产量为1.75万件．‎ 答案：1.75‎ ‎7．有一段长为‎40 m的篱笆，如果利用已有的一面墙作为一边，围成一块矩形的菜地，已知墙的长度为‎16 m，当菜地的长宽各为________时，菜地的面积最大．‎ 解析：设矩形与墙所对的边为x m，则其邻边为 m，且0≤x≤16，‎ 所以面积S＝x×＝－(x2－40x)‎ ‎＝－(x－20)2＋200，‎ 因为0≤x≤16，所以x＝16时，菜地面积最大．‎ 即矩形的长为‎16 m，宽为‎12 m时，菜地面积最大．‎ 答案：‎16 m，‎‎12 m ‎8．一个旅社有100间客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律：如果客房定价为每天每间160元时，入住率为55 ；每间定价为140元时，入住率为65 ；每间定价为120元时，入住率为75 ；每间定价为100元时，入住率为85 .要使每天收入达到最高，每间每天应定价为________．‎ 解析：每间每天定价为160元时，收入为 ‎160×100×55 ＝8 800元；‎ 每间每天定价为140元时，收入为140×100×65 ＝9 100元；‎ 每间每天定价为120元时，收入为120×100×75 ＝9 000元；‎ 每间每天定价为100元时，收入为100×100×85 ＝8 500元；‎ 所以当每间每天定价为140元时，收入最高．‎ 答案：140元 ‎9．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：‎ 第一套 第二套 椅子高度x(cm)‎ ‎40.0‎ ‎37.0‎ 桌子高度y(cm)‎ ‎75.0‎ ‎70.2‎ ‎(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；‎ ‎(2)现有一把高‎42.0 cm的椅子和一张高‎78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？‎ 解：(1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝ x＋b( ≠0)．将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，‎ 得所以 4‎ 所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11.‎ ‎(2)把x＝42代入(1)中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.‎ 所以给出的这套桌椅是配套的．‎ ‎10．声强级Y(单位：分贝)由公式Y＝10lg给出，其中I为声强(单位：W/m2)．‎ ‎(1)平常人交谈时的声强约为10－6 W/m2，求其声强级；‎ ‎(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？‎ ‎(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10－7 W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？‎ 解：(1)当声强为10－6W/m2时，由公式Y＝10lg得Y＝10lg＝10lg 106＝60(分贝)．‎ ‎(2)当Y＝0时，由公式Y＝10lg得 ‎10lg＝0，‎ 所以＝1，即I＝10－12 W/m2，则最低声强为10－12 W/m2.‎ ‎(3)当声强为5×10－7 W/m2时，声强级为 Y＝10lg＝10lg(5×105)＝50＋10lg 5(分贝)，‎ 因为50＋10lg 5>50，所以这两位同学会影响其他同学休息．‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎1．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：‎ 表1　市场供给表 单价(元/ g)‎ ‎2‎ ‎2.4‎ ‎2.8‎ ‎3.2‎ ‎3.6‎ ‎4‎ 供给量(1 ‎000 g)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ ‎90‎ 表2　市场需求表 单价(元/ g)‎ ‎4‎ ‎3.4‎ ‎2.9‎ ‎2.6‎ ‎2.4‎ ‎2‎ 需求量(1 ‎000 g)‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎65‎ ‎70‎ ‎75‎ ‎80‎ 根据上面提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在下列哪个区间内(　　)‎ A．(2.3，2.4) B．(2.4，2.6)‎ C．(2.6，2.8) D．(2.8，2.9)‎ 解析：选C.当供给量与需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6，2.8)时最有可能达到供需平衡，故选C.‎ ‎2．某企业生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为________．‎ 解析：设去年年末生产总值为a，则今年年末生产总值为a(1＋p)12，所以年平均增长率为＝(1＋p)12－1.‎ 答案：(1＋p)12－1‎ ‎3．某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p)，其中p，‎ 4‎ q均为常数且q>1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推，x∈[0，5])‎ ‎(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；‎ ‎(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？‎ 解：(1)据题意，该种水果的价格变化趋势是先增加后减少，基本符合开口向下的二次函数的变化趋势，故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.‎ ‎(2)由f(2)＝11，f(3)＝10，‎ 解得f(x)＝－x2＋4x＋7.‎ g(x)＝＝＝－.‎ 所以g(x)＝－，此函数在[0，2]上是增加的，在[2，5]上是减少的，‎ 所以当x＝2时，g(x)最大．‎ 所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号．‎ ‎4．(选做题)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额x(万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3， 6]，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x(万元)超过64万元，按年销售额的10 发奖金．‎ ‎(1)求奖金y关于x的函数解析式；‎ ‎(2)某营销人员争取年奖金y∈[4，10](万元)，求年销售额x在什么范围内．‎ 解：(1)依题意知y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，‎ 由题意得所以a＝2，‎ 所以y＝ ‎(2)易知x≥8.‎ 当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，‎ 则4≤log2x≤10，所以16≤x≤1 024，所以16≤x≤64.‎ 当x＞64时，要使y∈[4，10]，‎ 则x∈[4，10]，即40≤x≤100，‎ 所以64＜x≤100.‎ 综上，当年销售额x在[16，100](万元)内时，年奖金y∈[4，10](万元)．‎ 4‎